电路理论/相量

相量

变量

变量的定义方式相同。但存在差异。之前变量要么是“已知”的，要么是“未知”的。现在出现了一种介于两者之间的状态。

此时，需要回顾一下常数函数（数字）和变量函数（随时间变化）的概念。请参阅此学生教授 对话。已知量用函数描述，未知量根据已知量计算得出，也是函数。

例如

$v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})$ 随时间变化的电压

这里 $v(t)$ 是函数的符号。它被分配给符号 $M_{v},\omega ,\phi _{v}$ 和 $t$ 的函数。通常情况下，时间永远不会被求解。

时间仍然是未知量。此外，所有功率、电压和电流都变成时间方程。时间不会被求解。由于时间无处不在，它可以从方程中消除。积分和微分变成代数运算，答案可以是纯数值（在时间被添加回来之前）。

在最后时刻，时间被重新添加到电压、电流和功率中，最终的解是一个时间的函数。

本课程中的大多数数学运算都包含以下步骤

1. 在时域内描述已知量和未知量，描述所有方程
2. 将已知量转换为相量，从方程中消除微分和积分
3. 在相量域内对未知量进行数值或符号求解
4. 将未知量转换回时域

无源电路输出类似于输入

如果线性电路的输入是正弦波，那么电路的输出将是正弦波。具体来说，如果我们有一个电压正弦波，如下所示

$v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})$

那么线性电路中的电流也将是正弦波，尽管它的幅值和相位可能不同

$i(t)=M_{i}\cos(\omega t+\phi _{i})$

请注意，电压和电流都是具有相同角频率但幅值和相位角不同的正弦波。无源电路元件无法改变正弦波的频率，只能改变幅值和相位。为什么我们还需要在每个方程中写出 $\omega$，如果它没有改变呢？同样，为什么我们需要写出 cos( ) 函数，如果它也没有改变呢？这些问题的答案是：我们不需要每次都写这些东西。相反，工程师们发明了一种简写方式来表示这些函数，称为“相量”。

相量变换

相量是一种“变换”。我们正在变换电路数学，使时间消失。想象一下去一个时间不存在的地方。

我们知道，每个函数都可以写成一系列不同频率和幅度的正弦波加在一起。（查询傅里叶变换动画）。整个世界都可以用正弦波构建。由于正弦波是重复的，所以你观察它的具体时间并不重要，重要的是你观察的位置相对于周期的开始位置。这里，一个正弦波被观察，它的重复性($\omega$) 被剥离了。剩下的就是相量。由于时间是由圆圈组成的，如果我们只考虑其中的一个圆圈，我们可以进入一个时间不存在、圆圈是“事物”的世界。不要使用“世界”这个词，使用“域”或“平面”这样的词，就像二维空间一样。

相量域中的数学几乎与直流电路分析相同。这很方便，因为这意味着你不需要每次想要解决一个电路时都去解微分方程。不同的是，电感器和电容器会产生需要考虑的影响。

变换到相量平面或域以及变换回时间是基于欧拉方程。这就是你过去在数学课上学过复数的原因。

欧拉方程

欧拉公式

欧拉从这三个级数开始。显然，它们之间存在关系

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots$

他做了以下操作

$e^{ix}=1+ix+{\frac {i^{2}x^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}x^{3}}{3!}}+{\frac {i^{4}x^{4}}{4!}}+{\frac {i^{5}x^{5}}{5!}}+\cdots$

$e^{ix}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-i{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+i{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-i{\frac {x^{7}}{7!}}\cdots$

$e^{ix}=(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots )+i(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots )$

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

令 x = π，则

$e^{i\pi }=-1$

欧拉公式在数学、物理和工程学中无处不在。物理学家理查德·费曼称这个公式为“我们的宝石”，“数学中最非凡、几乎令人惊叹的公式之一”。

欧拉公式的更一般形式是

$Me^{j(\omega t+\phi )}=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )$

这个等式使我们可以将正弦波视为复指数函数。在相量域/平面上，用径向频率和相位角表示的电压、电流或功率的周期函数将变成长度为$\mathbb {C}$（幅度）和角度为$\phi$（相位）的箭头，或者在复数域/平面上具有实部（$X$）和虚部（$Y$）坐标的点。

通常，相量$\mathbb {C}$（可能是电压、电流或功率）可以写成

$\mathbb {C} =X+jY$（矩形坐标）

$\mathbb {C} =M_{v}\angle \phi$（极坐标）

我们可以将点 (X, Y) 绘制在复数平面上，并绘制一条指向它的箭头，以显示$X,Y,\mathbb {C}$ 和$\phi$之间的关系。

利用这个事实，我们可以通过函数获得从复数平面原点到我们的点 (X, Y) 的角度

[角度方程]

$\theta _{C}=\arctan({\frac {Y}{X}})$

并且使用勾股定理，我们可以找到 C 的幅度 - 从原点到点 (X, Y) 的距离 - 为

[勾股定理]

$M_{C}=|\mathbb {C} |={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$.

相量符号

相量不考虑频率信息或偏移量，因此请确保您将频率和偏移量记录在安全的地方。

假设在时域中

$v(t)=M_{v}e^{j(\omega t+\phi )}$

在相量域中，此电压表示如下

$\mathbb {V} =M_{v}\angle \phi$

径向速度 $\omega$ 从已知函数（不包括导数和积分运算）中消失，并在未知量的时域表达式中重新出现。

不是向量？

有些人认为相量是向量。要注意。相量图在灵感、数学或概念上都没有向量空间或场空间那么丰富。相量只是一个数字，可能是虚数。相量图用于“解释”虚数是什么。相量可以相除、相乘、相加和相减。它们是一维的东西。

相量的数学运算与普通数学完全相同，只是多了虚数。向量需要新的数学运算，比如点积和叉积。例如，北可以除以东，或者从西减去吗？

更多详情请参见 http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor_(electronics) 或阅读关于此争议的资料 https://www.quora.com/What-is-difference-b-w-phasor-diagram-and-vector-diagram

• 向量的点积用于求一个向量在另一个向量上的投影。
• 向量的叉积用于将向量组合成一个垂直于两者的第三个向量。

这些乘积也适用于相量，比如电机定子和转子的交流电流相量，其结果是产生了一个转矩，所有这些都可以通过向量乘积精确表达。

余弦约定

在本教材中，所有相量都对应于 **余弦** 函数，而不是 **正弦** 函数。

记住你的相量映射到哪个三角函数很重要。由于相量只包含幅度和相角信息，因此无法知道给定相量是映射到 sin() 函数还是 cos() 函数。按照惯例，本维基教科书和大多数电子文本/文档都映射到余弦函数。

如果你得到的是 sin 函数，则通过减去 90 度将其转换为 cos 函数

$\sin(\omega t+\phi )=\cos(\omega t+\phi -{\frac {\pi }{2}})$

如果你的模拟器要求源以 sin 形式给出，但起点是 cos，则通过加 90 度将其转换为 sin 函数

$\cos(\omega t+\phi )=\sin(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}})$

相量概念

在相量域内，概念出现并被命名。电感和电容可以与其导数算子变换耦合，并显示为称为“电抗”的虚阻。电阻和电抗的组合称为“阻抗”。阻抗可以作为相量进行代数处理，尽管技术上它不是。功率概念，如真实功率、无功功率、视在功率和功率因数，出现在相量域中。相量域中可以进行数值计算。符号可以在相量域中进行操作。

相量数学

有关相量的更多信息，请参见
附录

相量数学变成了虚数数学，下面将回顾一下。

相量 A 可以乘以相量 B

[相量相乘]

$\mathbb {A} \times \mathbb {B} =(M_{a}\times M_{b})\angle (\phi _{a}+\phi _{b})$

相角相加，因为在时域中它们是两个相乘的事物的指数。

[相量相除]

$\mathbb {A} /\mathbb {B} =(M_{a}/M_{b})\angle (\phi _{a}-\phi _{b})$

同样，相角被视为指数，所以它们相减。

相量的幅度和角度形式不能用于加减法。为此，我们需要将相量转换为直角坐标形式

$\mathbb {C} =X+jY$

以下是将极坐标形式（幅度和角度）转换为直角坐标形式（实部和虚部）的方法

$X=M\cos(\phi )$, $Y=M\sin(\phi )$

转换为直角坐标形式后

• 实部相加或相减
• 虚部相加或相减

[相量相加]

$\mathbb {C} =\mathbb {A} +\mathbb {B} =(X_{A}+X_{B})+j(Y_{A}+Y_{B})=X_{C}+jY_{C}$

以下是如何将直角坐标转换为极坐标形式

$\mathbb {C} =M_{c}\angle \phi _{c}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle \arctan({\frac {Y}{X}})$

一旦处于极坐标相量形式，就可以很容易地转换回时域

$\operatorname {Re} (Me^{j(\omega t+\phi )})=M\cos(\omega t+\phi )$

函数变换推导

$g(t)$ 代表电压、电流或功率。

$g(t)=G_{m}cos(\omega t+\phi )$ 出发点

$g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi )})$ 来自欧拉方程

$g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j\phi }e^{j\omega t})$ 指数定律

$g(t)=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})$ .... $G_{m}$ 是一个实数，所以它可以移动到里面

$g(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})$ $....\mathbb {G}$ 是相量的定义，这里它是 $G_{m}e^{j\phi }$ 的表达式

$g(t)\Leftrightarrow \mathbb {G}$ 其中 $\mathbb {G} =G_{m}e^{j\phi }$

$e^{j\omega t}$项会发生什么？详细解答。它会一直保留，直到需要转换回时域。因为它是一个指数，并且所有相量数学都是与指数相关的代数，所以最终的相量可以乘以它。然后表达式 的实部将是时域解。

时域	变换	相量域
$Acos(\omega t)$	$\Leftrightarrow$ 证明	$A$
$Asin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$ 证明	$-Aj$
$Acos(\omega t)+Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A-Bj$
$Acos(\omega t)-Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A+Bj$
$Acos(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$Acos(\phi )+Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$Asin(\phi )-Acos(\phi )j$
$Acos(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$Acos(\phi )-Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 证明	$-Asin(\phi )-Acos(\phi )j$

在所有上述情况下，请记住 $\phi$ 是一个常数，在大多数情况下是一个已知值。 因此，相量在大多数计算中是一个复数。

在“相量微积分”中讨论了与导数相关的另一种变换。

将微积分运算符转换为相量

当正弦量表示为相量时，微分方程变为代数。 这一结果源于以下事实：复指数是操作的特征函数

${\frac {d}{dt}}(e^{j\omega t})=j\omega e^{j\omega t}$

也就是说，只有复数幅度会因导数运算而改变。 对上述等式的两边取实部，得到熟悉的结论

${\frac {d}{dt}}\cos {\omega t}=-\omega \sin {\omega t}\,$

因此，正弦量的导数，当转化为相量域时，变为代数

${d \over dt}i(t)\rightarrow j\omega \mathbb {I}$ (j 是 -1 的平方根或虚数)

类似地，当转化为相量域时，时间积分是

$\int V(t)dt\rightarrow {\frac {\mathbb {V} }{j\omega }}$

在翻译回时域时，将不得不处理一个积分常数。 它不会消失。

以上适用于电压、电流和功率。

问题是为什么这有效？ 证明在哪里？ 让我们做三遍：一次针对电阻，然后是电感，最后是电容。 通过端子的电流和电压的符号为： $V_{m}cos(\omega t+\phi _{v})$ 和 $I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$

电阻端子方程

$V=RI$ . 端子关系

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=RI_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$ .. 替换示例函数

$V_{m}e^{\omega t+j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t+j\phi _{I}}$ .. 欧拉形式的端点关系式

$V_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{I}}$ .. 指数运算定律

$V_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{I}}$ .. 等号两边做相同的操作

$V_{m}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{j\phi _{I}}$ .. 时域结果

$\mathbb {V} =R\mathbb {I}$ .. 相量表达式

只需将电压和电流表示为相量形式，然后代入方程，即可将方程迁移到相量域。

电感端点方程

$V=L{\frac {d}{dt}}I$ ... 端点关系式

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=L{\frac {d}{dt}}(I_{m}cos(\omega t+\phi _{I}))$ .. 代入一般的正弦函数

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=-\omega LI_{m}sin(\omega t+\phi _{I})$ .. 求导

$-sin(\omega t+\phi _{I})=cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 三角函数

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=\omega LI_{m}cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 代入

$V_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V})})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})})$ 根据欧拉公式

$V_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})$ 指数律

$\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega LI_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})$ ... 实数可以移到运算符内部

$e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j$ ... 代入上式

$\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}$ 和 $\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}$ .. 代入上式

两边约去 $e^{j\omega }$ 项

$\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega L\mathbb {I} e^{j\omega t})$ ... 相量定义

$\mathbb {V} =j\omega L\mathbb {I}$ ... 方程转换为相量域

结论：将电压和电流写成相量形式，用 $j\omega$ 替换 ${\frac {d}{dt}}$ ，将方程转换为相量域。

电容器端点方程

电容器基本相同，V 和 I 交换位置，C 代替 L。

$I=C{\frac {d}{dt}}V$ ... 端点关系式

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=C{\frac {d}{dt}}(V_{m}cos(\omega t+\phi _{V}))$ .. 将一个通用的正弦函数代入

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=-\omega CV_{m}sin(\omega t+\phi _{V})$ .. 求导

$-sin(\omega t+\phi _{V})=cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 运用三角函数

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=\omega CV_{m}cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 代入

$I_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I})})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})})$ 运用欧拉公式

$I_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})$ 指数运算定律

$\operatorname {Re} (I_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega CV_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})$ .... 实数可以移入

$e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j$ ... 代入上式

$\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}$ 和 $\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}$。代入上面的公式。

两边约去 $e^{j\omega }$ 项

$\operatorname {Re} (\mathbb {I} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega C\mathbb {V} e^{j\omega t})$ .... 相量定义

$\mathbb {I} =j\omega C\mathbb {V}$ .... 方程转换到相量域。

结论：将电压和电流写成相量形式，用 $j\omega$ 替换 ${\frac {d}{dt}}$ ，将方程转换为相量域。

总而言之，所有端点关系都有$e^{j\omega }$ 项抵消。

$V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*R$

$\mathbb {V} =\mathbb {I} R$

$V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *L$

$\mathbb {V} =\mathbb {I} j\omega L$

$I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *C$

$\mathbb {I} =\mathbb {V} j\omega C$

这种探究/逻辑/思考路径的有趣之处在于，一个新的概念出现了。

器件	${\frac {\mathbb {V} }{\mathbb {I} }}$	${\frac {\mathbb {I} }{\mathbb {V} }}$
电阻器	$R$	${\frac {1}{R}}$
电容	${\frac {1}{j\omega C}}$	$j\omega C$
电感	$j\omega L$	${\frac {1}{j\omega L}}$

没有抵消的 $j\omega$ 项来自终端关系中的导数项。这些导数项与电容器和电感器本身有关，而不是与电源有关。虽然导数作用于电源，但导数产生的独立器件（电容器或电感器）在变换后仍然保留其特性！因此，如果我们将驱动力的表达式保留为 ${\frac {output}{input}}$ 的形式，我们可以分别考虑等式另一侧作为函数！这些函数有一个名称...传递函数。当我们根据 R、L 和 C 分析电压/电流比时，我们可以将 $\omega$ 扫描各种驱动源频率，或保持频率恒定并扫描各种电感值......我们可以分析电路的响应！

注意：传递函数是本课程的完整部分。它们也会出现在机械工程控制系统课程中。两者之间存在相似之处。越过颠簸就像涌浪或尖峰。越过路边就像打开电路。当机械工程师研究振动时，他们会处理正弦驱动函数，但他们处理的是三维物体，而不是像我们本课程中的一维物体。

相量域到时域

回到时域非常简单。在相量域中完成方程并找到 $\mathbb {V}$ 和 $\mathbb {I}$ 之后，目标是将它们转换为 $V$ 和 $I$。

相量解将具有形式 $\mathbb {G} =A+Bj=G_{m}e^{j\phi }$，你现在应该能够在两种形式的解之间进行转换。然后

$G=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j(\omega t+\phi )})=G_{m}cos(\omega t+\phi )$

如果相量数学中涉及积分，则需要在时域解中添加一个常数。时间常数由初始条件计算得出。如果解不涉及微分方程，则时间常数立即计算得出。否则，解被视为特解，并在找到齐次解的幅度后计算时间常数。有关更多详细信息，请参见 相量示例。

未涵盖的内容

还有另一种思考电路的方法，其中电感器和电容器是复阻抗。这个想法是

阻抗 = 电阻 + j * 电抗

或者用符号表示

$Z=R+j*X$

这里导数附加到电感和电容上，而不是像我们之前那样附加到端子方程上。这将解决电路问题的数学运算分成更小的部分，更容易检查，但它使符号解更加复杂，并且由于中间计算，会导致数值解误差累积。

相量概念无处不在。如果您参与涉及“短截线”的微波项目或涉及“加载线圈”的天线项目，您迟早需要学习它...... 这样的例子不胜枚举。

这里我们的目标是避免使用电导、电抗、阻抗、电纳和导纳的概念，并避免在尝试将相量数学与微积分和拉普拉斯变换进行比较时，将这些概念联系起来所带来的混淆。

相量表示法

记住，相量代表一个可以用多种方式表示的单一值。

$\mathbb {C} =M\angle \phi$ "极坐标表示"

$C=Me^{j(\omega t+\phi )}$ "指数表示"

$\mathbb {C} =A+jB$ "直角坐标表示"

$C=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )$ "时域表示"

这 4 种表示法仅仅是表示同一事物的不同方式。

相量符号

在黑板上或纸上书写时，使用帽子${\hat {V}}$ 来表示相量。注意书籍和网上的符号可能会有所不同。

• $\mathbb {V}$（我们在本维基百科中使用的大胆的块字母）
• ${\bar {V}}$（“条”表示法，由维基百科使用）
• ${\vec {V}}$（不好... 为向量保留... 向量箭头表示法）
• ${\tilde {V}}$（一些教科书）
• ${\hat {V}}$（一些教科书）

微分方程

相量生成特解

相量可以代替微积分，可以代替拉普拉斯变换，可以代替三角函数。但有一点它们做不到：初始条件/积分常数。在用相量和拉普拉斯或相量和微积分解题时，答案之间的差异将是一个积分常数。

本课程中微分方程的求解分为三个步骤

• 找到特解...... 对驱动函数的特定解...... 对电压源或电流源的特定解
• 找到齐次解...... 无论驱动函数是什么，解都是一样的...... 研究电路中初始能量不平衡如何达到平衡的解
• 根据初始条件确定系数，即积分常数

相量不生成积分常数

积分常数不会出现在相量解中。但它们将出现在相量解的拉普拉斯和微积分替代方案中。如果要解出完整的微分方程，那么必须注意相量在何处未能为未知积分常数创建符号...... 积分常数在第三步中计算出来。

相量是用来找到特定交流解的技术。积分常数记录了电路中初始直流偏置或能量差。找到这些常数首先需要找到齐次解，它处理了电容器在电路首次通电时可能被充电也可能不被充电的事实。相量并不能完全取代微分方程的步骤。相量只是取代了第一步：寻找特解。

微分方程回顾

目标是使用相量、微积分和拉普拉斯变换来求解一阶和二阶常微分方程（ODE）。这样，相量解就可以与先修或并修数学课程的内容进行比较。目标是使用诸如Matlab和MuPAD/Mathematica/WolframAlpha之类的数值和符号工具来解决这些问题。如果你已经修过微分方程课程，这只是一个快速回顾。

最重要的是理解函数的本质。三角函数、微积分、拉普拉斯变换和相量都与函数相关，而不是代数。如果你不理解代数和函数之间的区别，也许这个学生教授对话能帮到你。

我们从终端定义、回路和节点的方程开始。这些代数方程中的每个符号都是一个函数。我们不是变换方程，而是变换这些方程中的函数。这些方程中出现各种运算符，包括 + - * / 和 ${\frac {d}{dt}}$。第一个表格重点介绍了对这些运算符的变换，第二个表格重点介绍了对函数本身的变换。

拉普拉斯变换的真正强大之处在于它消除了积分和微分运算符。然后函数本身可以被变换。然后未知数可以用简单的代数找到。然后函数可以被变换回时域函数。

以下是一些性质和定理，它们是用来变换这门课中常见的正弦电压、功率和电流所需要的。

拉普拉斯运算符变换

单边拉普拉斯变换的性质

	时域	's' 域	注释
时间缩放	$f(at)$	${\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$	用来弄清楚$\omega$ 如何影响方程
时间移位	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	u(t) 是单位阶跃函数，用于弄清楚$\phi$ 相位角
线性	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	可以使用积分的基本规则来证明。
微分	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	假设 f 是一个可微函数，其导数是指数类型的。这可以通过分部积分得到。
积分	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	最后也会出现一个常数。

拉普拉斯函数变换

以下是一些在本课程中需要的变换。

函数	时域 $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	拉普拉斯 s 域 $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$	收敛域	参考
指数衰减	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	Re(s) > −α	频率偏移 单位阶跃
指数逼近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	Re(s) > 0	单位阶跃减去 指数衰减
正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
余弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
指数衰减 正弦波	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α
指数衰减 余弦波	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α