电路理论/卷积积分

可以驱动电路的任意源示例

冲激响应

到目前为止，电路一直由直流源、交流源和指数源驱动。如果我们能够找到由狄拉克δ函数或脉冲电压源δ产生的电路电流，那么就可以使用卷积积分来找到任何给定电压源的电流！

冲激响应示例

通过对由于直流电压源产生的电流求导来找到电流！假设目标是找到一个串联LR电路的δ电流...这样在未来就可以使用卷积积分来找到任何任意源的电流。

串联LR电路，脉冲δ函数作为电压源

选择一个1伏特的直流源（然后真实的Vs可以以此为基础进行缩放）。

串联LR电路，单位μ阶跃函数电压源

特定的齐次解（稳态）为0。非齐次方程的齐次解具有以下形式

$i(t)=Ae^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}+C$

假设电感器中的初始电流为零。初始电压将为1，并且将跨越电感器（因为没有电流流动）。

$v(t)=L{di(t) \over dt}$

$v(0)=1=L*(-{\frac {AR}{L}})$

$A=-1/R$

如果电感器中的初始电流为零，那么

$i(0)=0=A+C$

这意味着

$C=-A=1/R$

因此，在t=0时开启到1伏特的直流电压源的响应（称为单位响应μ）为

$i_{\mu }(t)={\frac {1}{R}}(1-e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}})$

对它求导，得到脉冲（δ）电流为

$i_{\delta }(t)={\frac {e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}}{L}}$

现在可以使用卷积积分找到由于任意V_S(t)引起的电流。

$i(t)=\int _{0}^{t}i_{\delta }(t-\tau )V_{s}(\tau )d\tau =\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau +C_{1}$

不要将i_δ视为电流。它实际上是${d \over dt}{\frac {current}{1volt}}$。V_S(τ) 变成了乘数。

LRC 示例

电路理论维基教科书的RLC问题

已知 I_s = cos(t + π/2)μ(t) amp，求 i_o 的时域表达式。

之前已经找到了这个问题的阶跃响应。

$i_{o_{\mu }}={\frac {1}{2}}(1-e^{-t}(\cos t+\sin t))$

冲激响应将是此响应的导数。

$i_{o_{\delta }}={di_{o_{\mu }} \over dt}=0+{\frac {1}{2}}e^{-t}(\cos t+\sin t)-{\frac {1}{2}}e^{-t}(-\sin t+\cos t)$

$i_{o_{\delta }}={\frac {1}{2}}e^{-t}(\cos t+\sin t+\sin t-\cos t)=e^{-t}\sin t$

$I_{s}=1+\cos t$

$i_{o}(t)=\int _{0}^{t}i_{o_{\delta }}(t-\tau )I_{s}(\tau )d\tau +C_{1}$

$i_{o}(t)=\int _{0}^{t}e^{-(t-\tau )}\sin(t-\tau )(1+\cos \tau )d\tau +C_{1}$

$i_{o}(t)={\frac {\cos t}{5}}+{\frac {2\sin t}{5}}-{\frac {7e^{-t}\cos t}{10}}-{\frac {11e^{-t}\sin t}{10}}+{\frac {1}{2}}+C_{1}$

求解积分的Mupad代码（用x代替τ）为

f := exp(-(t-x)) *sin(t-x) *(1 + cos(x));
S := int(f,x = 0..t)

求解积分常数

$i_{o}(0_{+})=0={\frac {1}{5}}-{\frac {7}{10}}+{\frac {1}{2}}+C_{1}$

这意味着

$C_{1}=0$

待办事项

$i(t)=\int _{0}^{t}i_{\delta }(t-\tau )V_{s}(\tau )d\tau =\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

这是用 matlab 创建的，用 ImageMagick 转化为 gif，用照片编辑器裁剪，然后发布到 公共领域。

其他一些 人创建了 替代 动画。

• 蓝色符号 $f(t)$ 代表 $i_{\delta }(t)$.
• 红色符号 $g(t)$ 代表任意 $V_{s}(t)$.
• 由于 V_S 产生的电流（在黄色上面）。
• 开启事件发生在 t = 5 秒，而不是 0 秒。
• 电源电压不是无限期地开启。它在零时刻开启，并在 5 个时间常数后关闭。