电路理论/卷积积分/示例/示例 42

使用维基教科书电路分析中的卷积积分求解的二阶电路示例，包含两个电感器和两个电阻器。

已知 V_s = (1 + 2t)μ(t)，使用卷积积分求解 i_o。

传递函数

$H(s)={\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {\mathbb {I} _{T}}{\mathbb {V} _{s}}}*{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {I} _{T}}}={\frac {1}{s+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+s}}}}}}*{\frac {\frac {1}{1+s}}{1+{\frac {1}{1+s}}}}$

simplify((1/(1+s))/((s+1/(1+1/(1+s)))*(1 + 1/(1 + s))))

$H(s)={\frac {1}{s^{2}+3s+1}}$

solve(s^2 + 3*s + 1,s)

齐次解

两个不同的实根

$s_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {5}}}{2}}$

所以 I_o 的形式如下

$i_{o}(t)=Ae^{s_{1}t}+Be^{s_{2}t}$

特解

经过很长时间后，电感器变成短路，两个 1 欧姆电阻上的电压为 1 伏特，因此 i_o 为 1 安培

$i_{o_{p}}(t)=1$

初始条件

将特解和齐次解加在一起，形式如下

$i_{o}(t)=1+Ae^{s_{1}t}+Be^{s_{2}t}+C_{1}$

经过很长时间后（再次使用特解初始条件），电流将为 1

$i_{o}(\infty )=1+C_{1}=1$

$C_{1}=0$

最初，两个电感器将是开路，因此 i_o 必须为 0

$i_{o}(0)=0=1+A+B$

最初，所有压降都将在第一个电感器上，使第二个电感器上的电压为零。电流 i_o 流过第二个电感器和串联电阻，因此可以通过求导得到该电压的方程

$V_{L}(t)=L{di_{o}(t) \over dt}=s_{1}Ae^{s_{1}t}+s_{2}Be^{s_{2}t}$

$V_{L}(0)=0=s_{1}A+s_{2}B$

solve([1+A+B,s1*A + s2*B],[A,B])

$A={\frac {s_{2}}{s_{1}-s_{2}}}$

$B=-{\frac {s_{1}}{s_{1}-s_{2}}}$

所以

$i_{0}(t)=1+{\frac {s_{2}e^{s_{1}t}-s_{1}e^{s_{2}t}}{s_{1}-s_{2}}}$

脉冲解

对上述公式求导，得到

$i_{o_{\delta }}(t)={\frac {s_{1}s_{2}}{s_{1}-s_{2}}}(e^{s_{1}t}-e^{s_{2}t})$

卷积积分

$i_{o}(t)=\int _{0}^{t}{\frac {s_{1}s_{2}}{s_{1}-s_{2}}}(e^{s_{1}t}-e^{s_{2}t})*(1+2x)dx$

syms t x
s1 = (-3 + sqrt(5))/2;
s2 = (-3 - sqrt(5))/2;
f = (s1*s2/(s1-s2)*(exp(s1*(t-x))-exp(s2*(t-x)))*(1+2*x));
S =int(f,0,t);
vpa(S, 3)

$i_{o}(t)=2t+4.96e^{-0.382t}+0.0403e^{-2.62t}-5+C_{1}$

当 t=0 时

$i_{o}(0)=0=4.96+.04-5+C_{1}$

这意味着 C_1 = 0，所以最终得到

$i_{o}(t)=2t+4.96e^{-0.382t}+0.0403e^{-2.62t}-5$