电路理论/卷积积分/示例/示例43

使用卷积积分求解的 2R 1L 1C 电路.. 适用于维基教科书电路分析

已知 i_s = 1 + cos(t)，使用卷积积分求解 i_o。

概述

传递函数

$H(s)={\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {I} _{s}}}={\frac {\mathbb {V} _{T}}{\mathbb {I} _{s}}}*{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{T}}}={\frac {1}{{\frac {1}{1/s}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{s+1}}}}*{\frac {1}{s+1}}$

simplify(1/((s+1)*(s + 1 + 1/(s+1))))

$H(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+2}}$

齐次解

将分母设置为零并找到 s 的值

solve(s^2 + 2*s + 2)

$s=-1\pm i$

这意味着解的形式为

$i_{o_{h}}(t)=e^{-t}(A\cos t+B\sin t)+C_{1}$

特解

经过很长时间后，电容打开，电感器短路。电流在两个电阻之间分配。每个电阻将获得单位阶跃函数源的 1/2，即 1/2 安培。

$i_{o_{p}}(t)={\frac {1}{2}}$

初始条件

$i_{o}={\frac {1}{2}}+e^{-t}(A\cos t+B\sin t)+C_{1}$

特解仍然需要应用，所以当 t= ∞ 时

$i_{o}(\infty )={\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}+C_{1}$

$C_{1}=0$

最初，这条支路的电流必须为零，所以

$i_{o}(0)={\frac {1}{2}}+A=0$

$A=-{\frac {1}{2}}$

电容两端的初始电压为零，支路的电压为零，电感两端的电压也为零。所以

$V_{L}(t)=L*{di_{o}(t) \over dt}$

f := 1/2 + exp(-t)*((-1/2)*cos(t) + B*sin(t));
g = diff(f,t)

$V_{L}(t)=e^{-t}(B(cos(t)-sin(t))+{\frac {1}{2}}(cos(t)+sin(t))$

$V_{L}(0)=B+{\frac {1}{2}}=0$

$B=-{\frac {1}{2}}$

所以现在

$i_{o}={\frac {1}{2}}(1-e^{-t}(\cos t+\sin t))$

脉冲响应

对上述公式求导

f := 1/2*(1-exp(-t)*(cos(t) + sin(t)));
g = diff(f,t)

得到

$i_{o_{\delta }}(t)=e^{-t}\sin t$

卷积积分

$i_{o}(t)=\int _{0}^{t}e^{-t+x}\sin(t-x)*(1+cos(x))dx$

f := exp(x-t)*sin(t-x)*(1 + cos(x));
S =int(f,x=0..t);

$i_{o}(t)=0.2\cos(t)+0.4\sin(t)-0.7\cos(t)e^{-t}-1.1\sin(t)e^{-1}+0.5$