电路理论/卷积积分/实例/example48

求1欧姆电阻上的电压...很明显它是V_t的一半或V_r...最终V_t是1欧姆电阻上的电压

已知V_s(t) = 3μ(t) mV，I_L(0_-) = 1 mA，求1欧姆电阻上的电压。

概要

• 求传递函数/微分方程
• 求齐次解
• 求阶跃函数的特解
• 求初始条件
• 从阶跃函数解中求脉冲解
• 用卷积积分求通解
• 求积分常数

传递函数

从观察中可以看到以下内容

$V_{TR}=V_{R}={\frac {V_{T}}{2}}$

所以

$H(s)={\frac {V_{tr}}{V_{s}}}={\frac {V_{tr}}{V_{s}}}={\frac {V_{T}}{V_{s}}}{\frac {V_{tr}}{V_{T}}}={\frac {1}{1+s}}*{\frac {1}{2}}$

齐次解

将分母设置为零，可以看到时间常数为-1。因此解的形式为

$V_{TR_{h}}=A*e^{-t}+C_{1}$

特解

经过长时间连接到直流电源后，电感器表现为短路。这意味着所有的3mV都将落在相当于1欧姆电阻的阻抗上。其中的一半将是V_TR。所以特解将是

$V_{TR_{p}}=1.5mV$

初始条件

初始电流将是1 mA。这将由1欧姆电阻产生V_T，因此V_T(0₊) = 1 mV，V_TR将是0.5 mV。这意味着

$V_{TR}(t)=A*e^{-t}+C_{1}+1.5mV$

$V_{TR}(0)=0.5mV=A+C_{1}+1.5mV$

$A+C_{1}=-1mV$

电感器配合电路的其他部分，并降下另外2mV，这样电源就可以正常工作。这是另一个初始条件的来源。首先必须将V_TR转换为总电流的表达式，也就是电感器电流

$i_{TR}={\frac {V_{TR}}{1}}=V_{TR}$

由于电流在通过电阻器时被分成两半，因此总电流是 i_{TR} 的两倍。

$i_{L}=2*V_{TR}=2*(A*e^{-t}+C_{1}+1.5m)$

从电感端子关系式中可知，该时间的导数乘以电感将等于电感上初始的 2 mV。

$V_{L}(t)=L*{di_{L} \over dt}=L*-2Ae^{-t}$

$V_{L}(0)=2m=L*-2A=-2*A$

$A=-1m$

这意味着 C₁ 为零。所以答案是

$V_{TR}=1.5-e^{-t}mV$