电路理论/傅里叶变换

约瑟夫·傅里叶，傅里叶变换以他的名字命名，是一位为拿破仑工作的著名数学家。

本课程从相量开始。我们学习了如何将正弦电压源之类的强迫函数转换为相量。为了处理更复杂的强迫函数，我们转向了复频率。这使我们能够处理以下形式的强迫函数

$e^{st}\cos(\omega t+\phi )$

其中s为

$s=\sigma +j\omega$

卷积积分可以做任何事。

在过程中，“s”开始将微积分运算符转换回代数。在复域中，“s”可以重新附加到电感器和电容器，而不是强迫函数。传递函数帮助我们使用“s”来捕捉电路的物理特性。

这对设计在单个频率ω下工作的电路来说很好。但是，对于在各种频率下工作的电路呢？遥控汽车可能在27mhz下运行，但是当按下控制按钮时，频率可能会增加或减少。或者幅度可能会增加或减少。或者相位可能会发生变化。所有这些都会发生在手机通话或wifi/蓝牙/xbee/AM/FM/无线电视等中。

单个电路如何响应这些变化？

傅里叶分析

傅里叶分析说我们不需要回答上面所有问题。只需要回答/设计一个问题。由于任何函数都可以转换为一系列相加的正弦波，那么让电路在各种omega范围内扫描可以预测它对任何特定组合的响应。

所以从这里开始，我们去掉指数项，回到相量。

将σ设为0

$s=j\omega$

变量ω被称为“角频率”或频率。利用它，我们可以为共享空气的所有手机设计电路，以及将多个频道打包到一条黑色电缆中的机顶盒。在传输或接收期间，每次语音或像素变化都可以在此框架内设计。所需要的只是扫描正弦电压或电流源可以产生的所有频率。

分析停留在频域。由于一切都在时间上重复，因此从设计的角度来看，没有必要回到时间。

角频率

在傅里叶变换中，值$\omega$被称为角频率，其单位为弧度/秒（rad/s）。人们可能更熟悉变量f，它被称为“频率”，用赫兹（Hz）为单位。转换如下进行

$\omega =2\pi f$

例如，如果给定的交流电源的频率为60 Hz，则产生的角频率为

$\omega =2\pi f=2\pi (60)=120\pi$

傅里叶域

然后，傅里叶域被分成两个不同的部分：幅度图和相位图。幅度图以jω为横轴，以变换的幅度为纵轴。记住，我们可以计算复值C的幅度，如下所示

$C=A+jB$

$|C|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$

相位图以jω为横轴，以变换的相位值为纵轴。记住，我们可以计算复值的相位，如下所示

$C=A+jB$

$\angle C=\tan ^{-1}\left({\frac {B}{A}}\right)$

尽管存在一些抽象关系，傅里叶变换的相位和幅度值可以被视为独立的值。每个傅里叶变换都必须包含一个相位值和一个幅度值，否则它无法被唯一地转换回时域。

电路的幅度和相位响应图的组合，以及一些特殊的格式和解释方法被称为伯德图。