符号、变量、代数、函数、等号和运算符

学生：变量用符号表示。变量可以是已知的或未知的。当变量已知时，它们会被赋予一些值。我理解这一点。当我查看相量和拉普拉斯变换表时，我感到困惑。什么是函数？

教授：变量不是“被赋予一些值”。变量被赋值（== := 或 '='）一个函数。代数问题是通过将数字代入已知值来解决的。在这种情况下，一个数值常数函数，例如 $100$ 被代入了。但“函数”这个词从未被使用过，…是有意的。

函数是两组值之间的映射。映射指的是一种对应关系。例如，考虑实数的平方函数。

第一组包含我们允许进行平方运算的数字。我们小心地为正在讨论的函数定义了这个集合。这个集合被称为函数的定义域。

第二组包含所有可以作为实数平方的数字。这个集合被称为函数的陪域。我们知道从平方函数的性质来看，这个集合包含正实数。

这两个集合都包含无限多个值。

除了定义域和陪域的定义外，函数还具有一个规则，该规则将定义域中的每个值与陪域中的一个值关联起来。这就是我所说的映射。如果我知道定义域中的某个值，例如 4.0，那么我知道它在陪域中的对应值，这里为 16.0。

这个规则可以用多种方式给出：

通过一个表格，将定义域的值列在一列中，将陪域中的相关值列在另一列中。但是，这仅适用于有限集。

通过一个算法，即对将定义域中的一个值转换为其在陪域中的对应值的过程进行描述。例如，将数字乘以它本身。

通过代数表达式。这里，如果

x

是定义域中的一个值，并且

y

是陪域中的一个值，那么该规则可以用一个方程表示：

y==x*x

因此，函数也可以描述为一种对应关系，例如 $120*cos(377t+4\pi /3)$ 。这里，两个不同的对应关系被赋予 $v_{S}$

V_{S}==100

... 一个常数函数

V_{S}==120*cos(377t+4\pi /3)

... 一个随时间变化的函数

学生：上面的时间 $t$ 不是一个变量吗？上面的 $V_{S}$ 现在不是一个方程吗？时间难道不是一个通过数学运算出现的未知数，它也出现在解中吗？

教授：不。时间是函数的一个参数。作为一种映射，函数本身存在。变量名是一个符号。符号被赋值了一个函数。方程通常不会以时间为自变量来求解电阻和电感。时间通常是函数映射的自变量。

学生：为什么不针对某个特定时间值来求解问题呢？

教授：问题可以有三种类型的答案：

数值 ... 这是你最熟悉的 ... 选择一个时间数值，然后代入

符号 ... 与数值类似，但不使用小数，用符号

pi

和符号或整数的比率表示

函数 ... 答案是时间的函数 ... 可以代入特定时间值，但是作为函数的答案可以比单个数字更好地生成直觉、预测未来并通过图表进行传达。

学生：好的。C = 1、C = 1 + D 和 C = cos(377D + 1.14) 之间有什么区别？

教授：这取决于上面等号的含义。等号有两个可能的含义：

函数赋值

函数之间的关系或方程

这就是为什么所有计算机程序都开始使用等号。像 C 或 perl 这样的编程语言使用 == 来评估表达式是否为真或假，并使用 = 来赋值或定义函数。像 MatLab 或 Mathematica 这样的程序则相反。

等号本身意味着一件事：它表示两件事具有相同的值。双等号或冒号等号意味着另一件事：它表示等号右侧表达式产生的值被赋值给等号左侧的符号。数学有两个基本活动：

可以求值成一个数字、一个东西的函数

关联值的方程

学生：你没有回答我的问题。

教授：C = 1 可以是将常数函数 1 分配给符号 C，也就是说，C 的值始终为 1。或者 C = 1 可以是一个代数方程式，根据当前 C 的值，这个方程式要么为真，要么为假--如果 C 的当前值为 2，那么这个方程式就为假。其他表达式包含符号 D。这并不会改变每个表达式都可以用两种不同的方式解释的事实。我有一个问题要问你。你的等号代表什么？

学生：我不知道。我怎么会不理解这个问题就进行到这一步了呢？

教授：你一生大部分时间都在学习初等代数。代数有很多种。语法、音乐，甚至艺术都可以被认为是一种代数。函数没有与代数一起学习。

函数是事物。它们比代数更基础。函数可以用其他函数来定义。等号并不意味着你可以对看起来像代数方程两边的任何东西做相同的事情。左边通常是新的函数，右边是正在组合的其他函数的集合。

我认为你在脑海中试图将代数和函数合二为一。现在你被要求将两者分开。三角函数是你对函数的介绍。函数是你需要熟悉的一种强大的工具。一些编程语言，例如Scheme、Haskell和FP，试图用函数的概念来完成所有事情。

学生：好吧。我放弃了。代数和函数是不同的。我学习的第一个函数是什么？

教授：你可能学习的第一个函数是三角函数或圆函数。记住，函数是一个事物，一个映射，一个对现实的描述。它不是代数。我们可以用函数进行代数运算，就像我们用数字进行代数运算一样。我们可以得到以函数为解的方程，就像我们可以得到以数字为解的方程一样。我们可以得到以符号为解的方程，在某些情况下，这些符号可以是函数或数字。

学生：好吧。假设 $y=sin(x)$ ，或者用你的语言来说，符号“y”被分配了函数 sin(x)。那么 $csc={\frac {1}{sin}}$ 是什么？为什么 $csc$ 有一个特殊的名称？

教授： $csc$ 是一个函数，而不是一个变量。 $csc$ 是一个新的函数，它用之前定义的函数来定义。这个“运算”被称为倒数或乘法逆元。

$csc$ 作为一个概念，早于计算器和计算机。它作为一个计算辅助工具存在，并且是学习用手进行物理数字运算的一部分。现在它不再被大量使用，尽管仍然有一些非常贫穷的国家教他们最好的学生如何记忆三角函数表。

学生：好吧。倒数。有点像 ${\frac {1}{x}}$ 。那么什么是 $arcsin$ 或 $sin^{-1}$ ？

教授： $sin^{-1}$ 是个不好的记号，因为如果 $sin^{2}$ 表示一个函数乘以自身，那么从逻辑上讲， $sin^{-1}$ 的记号几乎等同于 $csc$ 。不幸的是 $arcsin$ 则描述了另一种对函数的操作。这个操作“arc”被称为逆函数或复合逆。逆函数可以“撤销”当前函数。它将原始函数的陪域映射到原始函数的定义域。在乘法逆和

g(x)={\frac {1}{f(x)}}

以及逆函数之间存在很多混淆

f^{'}(f(x))=x

学生：好的。乘法逆和逆函数是不同的东西。那么平方根呢？它是平方一个数的“逆函数”吗？

教授：不。平方根是平方运算的代数相反运算。它不是逆函数，因为答案可能是 2 或 -2。没有唯一的映射。但是可以通过将新陪域定义为正实数集来创建一个平方函数的逆函数。

在这里，英语让我们感到困惑。“逆”这个词在两种不同的上下文中使用。在代数意义上，这个词指的是相反的运算，比如加法和减法，或者乘法和除法。在讨论函数时，它指的是一个反转原始函数效果的运算。

学生：你一直在介绍新词。“运算符”是什么，它对函数执行“运算”？

教授：在初等代数中，+ 和 - 被称为运算符。在函数上下文中，运算符的定义是针对函数执行的操作，该操作会创建一个新函数。我们上面已经讨论了乘法逆运算和逆函数运算之间的区别。在代数和函数的上下文中，必须明确“逆”和“运算”的精确含义。在微积分中，你了解了极限运算与导数和逆导数（积分）运算之间的相似之处。

这门课的一个目标是理解称为卷积的“运算”，它使用一种积分类型将两个函数组合在一起。

学生：我们为什么要讨论这个？这与相量和拉普拉斯变换有什么关系？

教授：如果不理解代数和函数之间的区别，就很难理解相量或拉普拉斯表表示什么。到目前为止，我们一直在使用代数运算（有一些区别）将函数组合成新的函数。

“变换”这个词用于表示更复杂的映射。通常的目标是找到一种捷径，以便可以用更简单的方式手动完成数学运算。变换通常涉及完全改变参数符号，变换函数和变换运算。

变换通常涉及表格，而不是线性方程式。相量变换从本质上来说并不是真正的变换。时间只是被封装起来，以便在计算过程中可以被忽略，并在最后才插入。而且所有相量映射都是线性的。拉普拉斯变换和傅立叶变换是对参数符号和运算符的映射。