电路理论/联立方程/示例 2

找出所有未知电压和电流。

标号

目标是标记未知数和已知数。原始问题已经创建了符号 $I1,R1{\text{ and }}R2$ 并赋予了它们值。它们似乎是已知数。此时标记的未知数是 $V_{1},i_{R1}{\text{ and }}i_{R2}$ .

回路

此电路中存在两个平凡回路。每个回路中有两个元件共享相同的电压 $V_{1}$ 。实际上，电路中的所有三个元件（两个电阻和电流源）都共享相同的电压。任何编写的方程都必须为每个元件指定一个单独的电压符号，然后说明它们彼此相等。

接下来，将与电压相关的 + 和 - 放置在电压符号附近，即使所有三个器件都共享相同的极性。

节点

电路中有两个节点。底部节点标为接地。顶部节点标为 $J_{1}$ .

选择两个电流方向是为了使电流流入无源器件和反应式器件（电阻、电容和电感器）的 + 侧。

电流源的电压极性无关紧要，因为电流源会改变电压以保持恒定电流。

重要的是要记住，此时电流方向和电压极性反映的是电路配置。它们不是对最终值极性的猜测。

方程数

第一步是列出变量以及它们是已知数还是未知数。
$I_{1}=1amp$
$R_{1}=100ohm$
$R_{2}=50ohm$
$V_{1}=?volt$
$i_{R1}=?amp$
$i_{R2}=?amp$

所以有三个未知数，需要三个方程。

端点方程

有两个器件可以写出端子方程。
$TR1:v_{1}=i_{R1}*R_{1}$
$TR2:v_{1}=i_{R2}*R_{2}$

电源没有端子方程。

回路方程

没有回路，因此没有回路方程。如果要计算三个平凡回路，将有三个电压：每个元件（两个电阻和电源）上的电压。此时，必须编写三个平凡方程，说明它们都相等（取决于方向）。

节点方程

有一个节点方程
$J1:{\text{ }}I_{1}-i_{R1}-i_{R2}=0$

源电流为正，使用了“流入节点的电流为正，流出节点的电流为负”规则。我们可以使用相反的逻辑得出相同的公式。两者都以相同的方式捕获电路拓扑。

求解方程

三个方程是
${\begin{cases}TR1:{\text{ }}v_{1}=i_{R1}*R_{1}\\TR2:{\text{ }}v_{1}=i_{R2*}R_{2}\\J1:{\text{ }}I_{1}-i_{R1}-i_{R2}=0\end{cases}}$

代数

求解概述

求解TR:1和TR:2得到电流，代入L1:，求解未知量 $V_{1}$
将电流解代入TR:1和TR:2，求解未知量 $i_{R1}i_{R2}$
将已知值代入符号以获得数值解。

代数解

$v_{1}={\frac {I_{1}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$
$i_{R1}={\frac {I_{1}*{\frac {1}{R_{1}}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$
$i_{R1}={\frac {I_{1}*{\frac {1}{R_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$

代数数值解

$v_{1}={\frac {1}{{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{50}}}}={\frac {100}{3}}=33.3volts$
$i_{R1}={\frac {1*{\frac {1}{100}}}{{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{50}}}}={\frac {1}{3}}=0.333amps$
$i_{R1}={\frac {1*{\frac {1}{50}}}{{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{50}}}}={\frac {2}{3}}=0.667amps$

这是一个简单的问题。但目标是练习我们所有的数学工具。其中一种或多种工具将来会让我们失败。目标是现在体验每种工具的成功，这样我们就知道失败是什么样子。

微分方程

这个问题中没有微分方程，但本课程的四分之三内容都是关于这种复杂电路，使用电容和电感器而不是电阻，并观察微分方程。

符号计算

Wolfram Alpha

点击上面的链接，进入 Wolfram 网站，查看输入的语法和答案。注意以下几点

Wolfram Alpha 不能处理“i”，可能认为它是虚数。不得不切换到“k”。
Wolfram Alpha 不能处理双下标，从 R1 切换到 2，从 R2 切换到 3。

一个不能解释我们符号的自然语言、符号解释器有什么用？幸运的是 MuPad 可以。事实上，它遵循了这个解决方案的概述。

MuPad

MuPAD 从将内部符号设置为表示符号开始。然后要求它根据未知数列表求解一组线性方程。这将给出变量形式的解。

然后将常数的值提供给 MuPAD，并要求它重新评估线性方程。这将生成分数和 $\pi$ 等符号的符号解。

最后，告诉 MuPAD 求数值解而不是符号解。手册中提到，与在 MatLab 中进行等效操作相比，这需要更长的时间。

数值解

Matlab 矩阵输入，用于求解三个方程、三个未知数的线性代数问题.. 点击这里获取要剪切和粘贴的文本

设置解决方案的步骤

将已知值代入方程

${\begin{cases}TR1:{\text{ }}v_{1}=100*i_{R1}\\TR2:{\text{ }}v_{1}=50*i_{R2}\\L1:{\text{ }}1-i_{R1}-i_{R2}-1=0\end{cases}}$

整理方程，使未知数位于列中，数字位于等号右侧

${\begin{cases}TR1:{\text{ }}v_{1}-100*i_{R1}+0=0\\TR2:{\text{ }}v_{1}+0-50*i_{R2}=0\\L1:{\text{ }}0+i_{R1}+i_{R2}=1\end{cases}}$

创建两个矩阵，一个方阵，另一个列向量，包含等号右侧的数字。

{\begin{array}{|c|c|c||c|}v_{1}&i_{R1}&i_{R2}&=\\\hline 1&-100&0&0\\1&0&-50&0\\0&1&1&1\\\end{array}}

\Rightarrow

{\begin{bmatrix}1&-100&0\\1&0&-50\\0&1&1\end{bmatrix}}

\bullet

{\begin{bmatrix}v_{1}\\i_{R1}\\i_{R2}\end{bmatrix}}

=

{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

将矩阵输入到MatLab或类似的程序中。

{\begin{bmatrix}v_{1}\\i_{R1}\\i_{R2}\end{bmatrix}}

=

{\begin{bmatrix}33.3\\0.333\\0.667\end{bmatrix}}

模拟

目标是在www.circuitlab.com 上进行模拟。点击该链接并点击底部的模拟按钮。将鼠标移动到电路周围。

电阻器：流入 100 欧姆和 50 欧姆电阻顶部（正极）的电流为正，并且具有预测的值。电压是预测的值。

电压相对于接地而言。电源顶部和电阻器顶部的电压相同，因为它们都并联。

电源：电源则相反。电流从电源顶部 (A) 流出，标记为负，即使符号箭头向上。这是因为电流从电源正极流出（与电阻器相反）。这意味着电源正在向电路中注入能量。

功率计算

电压和电流是恒定的。

$P=i*v$
$P_{source}+P_{R1}+P_{R2}=0$
$(-1)*33.3+(.333)*33.3+(.667)*33.3=0$

建立直觉

电阻器不按串联方式相加。它们以这种有趣的方式相加，称为“一除以一除”。看看代数，并查看此项在解中重复出现

${\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$

MuPad 和 Wolfram Alpha 进行交叉相乘，并将其转换为此。将此视为代数中的一个中间步骤。

${\frac {R_{1}*R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

问题是，如果并联有三个电阻器，上面的公式会变得很复杂。但“一除以一除的公式”不会。它只是扩展到这个

${\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}}}$

这就是为什么概念“电阻器相加……一除以一除……对于并联电路”几乎成为“电阻器相加……串联……对于串联电路”的推论。

在计算机出现之前，所有数学运算都是手工完成的，“一除以一除”的概念会导致错误。相反，还有另一整层电路分析，涉及另一整套符号、单位、端点方程和并联电路的概念，称为“导纳”。我们现在做的是被称为“阻抗”的另一半。我们没有学习另一整层电路分析，而是花时间学习使用 MatLab 和 MuPad。“一除以一除”的遗留问题在“导纳”没有被介绍时就出现了。

没有被介绍的电路分析涉及使用一种像计算尺一样的计算辅助工具，称为“史密斯圆图”。当人们遍历电路时，人们可以通过相加来组合串联部分。为了并联组合，在史密斯圆图上绘制一个点，测量到中心的距离，通过中心绘制一条直线，在中心绘制一个圆，两条线相交的地方读出数字答案。这是一个舞蹈。它有与现在截然不同的节奏。但它需要更长的时间，更容易出错。在第二次世界大战期间，分析单个电路时，人们会把史密斯圆图堆放在地板上，在上面乱涂乱画，然后多次扔掉。