电路理论/联立方程/例4

例4电路

找出所有内容。用符号 $V_{s}$ 表示电压源，用符号 R 表示 100 欧姆电阻，用符号 2R 表示 200 欧姆电阻。然后用数值求解。

标注

符号已添加

看起来 $V_{s}$ 和一个电阻是串联的，最右边的两个电阻也是串联的，因此它们共享相同的电流。

回路

回路和 + - 已添加

有三个回路。请记住，现在的 + 和 - 并不是猜测答案的极性，而是反映了电路的布局。

没有简单的回路（并联元件）。

节点

节点已识别，电流方向的选择与 + - 极性一致

有两个简单的节点，其中串联元件共享相同的电流。有三个非简单的节点，它们导致两个可用的节点。选择使用的是顶部标记为 $J_{1}$ 和 $J_{2}$ 的两个节点。

等式计数

我们被告知电阻和电压源有值，但要朝着符号解的方向努力。但是，与其让所有电阻都用单独的符号表示，不如让它们的值都为 R 或 2R。所以，在符号解方面，目标是使用 $R$ 和 $V_{s}$ 来表示这些“已知量”。

$R=100ohms$
$V_{s}=1volt$
$V_{1}=?volt$
$V_{2}=?volt$
$V_{3}=?volt$
$V_{4}=?volt$
$V_{5}=?volt$
$V_{6}=?volt$
$i_{1}=?amp$
$i_{2}=?amps$
$i_{3}=?amps$
$i_{4}=?amps$
$i_{5}=?amp$

一共有 11 个未知数。从电阻器可以得到 6 个方程，从回路可以得到 3 个方程，从节点可以得到 2 个方程。因此，这个问题可以明确地求解。

端点方程

$v_{1}=i_{1}*R$
$v_{2}=i_{2}*2R$
$v_{3}=i_{3}*R$
$v_{4}=i_{4}*2R$
$v_{5}=i_{5}*R$
$v_{6}=i_{5}*2R$

回路方程

$L_{1}:v_{1}+v_{2}-V_{s}=0$
$L_{2}:v_{3}+v_{4}-V_{2}=0$
$L_{3}:v_{5}+v_{6}-V_{4}=0$

节点方程

$J_{1}:i_{1}-i_{2}-i_{3}=0$
$J_{2}:i_{3}-i_{4}-i_{5}=0$

求解方程

代数

代数解法非常复杂，混乱，难以检查，而且无法激发任何人的兴趣。我不会尝试它。

微分方程

这个问题中没有微分方程，但这门课程有四分之三时间都在讲解这种复杂的电路，使用电容和电感代替电阻，并考察微分方程。

符号计算

Wolfram Alpha

无论方程形式如何，Wolfram Alpha 都无法处理超过 6 或 7 个方程。

MuPad

MathWorks MuPAD 解法.. 点击 这里 获取要剪切和粘贴的文本.. MuPAD 解法包含变量解，符号解

MuPAD 扩展到 11 个未知数，效果很好。剪切和粘贴使代码输入（点击标题中的链接）比看起来更容易。

数值解

Matlab 解法.. 点击 这里 进行剪切和粘贴

目标是至少以两种不同的方式完成任务，只是为了检查工作。由于没有做代数运算，必须创建 11x11 矩阵。

设置解法的步骤

• 将已知值代入方程

$v_{1}=i_{1}*100$
$v_{2}=i_{2}*200$
$v_{3}=i_{3}*100$
$v_{4}=i_{4}*200$
$v_{5}=i_{5}*100$
$v_{6}=i_{5}*200$
$v_{1}+v_{2}-1=0$
$v_{3}+v_{4}-v_{2}=0$
$v_{5}+v_{6}-v_{4}=0$
$i_{1}-i_{2}-i_{3}=0$
$i_{3}-i_{4}-i_{5}=0$

• 整理方程，使未知数在列中，数字位于等号右侧

跳过这一部分，直接进入矩阵。一遍又一遍地输入 8 或 9 + 0 是很愚蠢的。

• 创建两个矩阵，一个是方阵，另一个是包含等号右侧数字的列向量

模式已经建立，矩阵很大，重复它们来展示矩阵运算是不必要的。只需写下大矩阵，然后直接转到MatLab。

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c|}i_{1}&i_{2}&i_{3}&i_{4}&i_{5}&v_{1}&v_{2}&v_{3}&v_{4}&v_{5}&v_{6}&=\\\hline 100&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&0&0\\0&200&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&0\\0&0&100&0&0&0&0&-1&0&0&0&0\\0&0&0&200&0&0&0&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&100&0&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&200&0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&-1&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&-1&1&1&0\\1&-1&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&-1&-1&0&0&0&0&0&0&0\\\end{array}}$

模拟

模拟结果匹配.

功率检查

• $P=i*v$
• $P_{source}+P_{R1}+P_{R2}+P_{R3}+P_{R4}+P_{R5}+P_{R6}+P_{Vs}=0$
• $(0.004884)*0.4884+(0.002558)*0.5116+(0.002326)*0.2326+$
  

$(0.001395)*0.2791+(0.0009302)*.0930+(0.0009302)*0.1860+(-.004884)*1=0$

将电阻项加起来得到 $0.004884-.004884=0$

流过电压源的电流是 $-i_{1}=-0.004884$。它是负数，因为它被画出正极，计算值是0.004884。这使得电流在 $r_{1}$ 端点方程中为正，但它相对于电源为负，因为图纸的原因。

负功率意味着电源正在向电路中注入能量。正功率意味着能量正在离开电路。所有电阻功率都是正的。电阻是能量离开电路的地方。

建立直觉

• 此时，MuPAD 和 MatLab 的使用时间几乎相同。
• MuPAD 将符号附加到答案... 创建了更好的上下文来解释答案
• MatLab（线性代数）在输入中创建模式，有助于检查错误
• 越来越有信心，这两种方法足够不同，当答案匹配时，可以假设没有犯任何错误
• = 列中的单个 1 足以触发解决方案中的所有电流和电压。这个 1 来自一个电源。此列中的多个数字可能意味着有多个电源。
• 该电路看起来像课程或最重要的在左边，而最不重要的（最小的）在右边。几乎是一种显示系统。
• 模拟也执行此数学运算，但它使用绘图作为输入，然后遵循上述步骤。尽管如此，对模拟工具的信心正在增强。