电路理论/联立方程/例 6

例 6 电路

找出电流和电压。假设电源和电阻值已知。符号解。

符号解这些方程可能会失败。目标是开始准确而有条理地以符号形式输入微分方程......也许会找到解！

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添加了符号

有一个电流源与电阻器和电感器串联，它们共享相同的电流：$i_{S}$.

回路

添加了回路和 + -

有两个回路。方向这次是顺时针，因为电流源向下指向。

添加到电流源的 + 和 - 与用手指绕圆圈移动的规则相反。该规则被违反，因为电路中只有一个电源，它必须将能量泵入电路。因此，电流必须流入 - 并从 + 流出。

最终，添加的极性必须影响

• 电流方向
• 回路方程中电压项的符号

只要回路方程写成电流源电压为负号，那么违反规则是可以的。

请记住，现在 + 和 - 不是在猜测答案的极性，而是在捕捉电路的布局。

没有平凡回路（并联的元件）。

节点

突出显示恒定电动势部分

选择节点并添加电流方向

有两个平凡节点，其中串联元件共享相同的电流。一个在电流电压源和 $R_{1}$ 之间。另一个在电流源和电感器之间。

有两个非平凡节点，请查看以不同颜色阴影的恒定电动势区域。

这意味着只有一个非平凡节点可以生成一个方程。

方程计数

我们被告知电阻器和电压源具有值，因此应该被视为已知量。我们只是不知道具体的值，所以我们必须符号地工作。

$R_{1}=\surd$
$R_{2}=\surd$
$I_{S}=\surd$
$i_{1}=?$
$i_{2}=?$
$v_{1}=?$
$v_{2}=?$
$v_{3}=?$
$v_{4}=?$
$v_{5}=?$
$v_{6}=?$

该电路有 8 个未知数。从电阻器得出 2 个方程，从电容器得出 1 个方程，从电感器得出 2 个方程，从回路得出 2 个方程，从节点得出 1 个方程。因此，该问题可以显式求解。

端子方程

所选择的电流源符号意味着直流电流源。经过很长时间后，电容器将断开，两个电感器将短路。该电路简化为一个 2 个电阻串联电路。显然，我们需要假设电流源是不断变化的……例如交流电。然后，写出微分方程是有意义的。

$v_{1}(t)=i_{1}(t)*R_{1}$
$v_{2}(t)=i_{2}(t)*R_{2}$
$i_{1}(t)=C_{4}{d \over dt}v_{4}(t)$
$v_{5}(t)=L_{5}{d \over dt}i_{2}(t)$
$v_{6}(t)=L_{6}{d \over dt}i_{S}(t)$

如果源电流 $i_{S}(t)$ 是时间的函数，那么其他所有电压和电流也是时间的函数。

回路方程

$L_{1}:v_{4}(t)+v_{1}(t)-V_{3}(t)+v_{6}(t)=0$
$L_{2}:v_{5}(t)+v_{2}(t)-v_{4}(t)=0$

节点方程

$J_{1}:i_{1}(t)-i_{2}(t)-i_{S}(t)=0$

求解方程

代数

我们将在本学期结束之前手动求解这些方程。无论如何，该电路几乎太复杂了，无法手动求解。这里的目标是看看符号计算系统会得出什么结果。

微分方程

微分方程是存在的！它们以端子方程的形式存在。显然，为了求解它们，我们需要知道初始条件。但是，没有给出任何初始条件或值，因此我们可以假设它们为零。

传统的“手工”解法需要知道电阻器、电感器和电容器的值，因为它们指向三种替代解法。将微分方程输入 MuPad 并查看其符号响应将很有趣。

查看上面的方程，有趣的是微分特性来自端子关系。这是有道理的。电压和电流，即使作为时间的函数，也必须加起来为零。

符号计算

MuPad

文件：Ex6-6.png

MathWorks MuPAD 解法 .. 点击 这里 获取要剪切粘贴的文本 .. MuPad 解法包含变量解

对于微分方程，符号解是不可能的。我们将尽可能多地使用符号。这就是我们练习将符号输入 MuPad 的原因。

为了真正求解，我们需要电阻器的值以及 $i_{S}$ 的方程。

下一章开始解释需要做什么的过程。这是一项练习，让我们走到未知事物的边缘，并弄清楚在哪里停下来。

数值解

没有数值解，因为没有给出任何数字。

模拟

没有数字，模拟是不可能的。

建立直觉

• 微分方程需要已知的电压和/或电流，这些电压和/或电流是时间的函数，并且电容器和/或电感器。
• 如果电路中只有电阻器，则端子关系中没有微分。
• 如果电压或电流不随时间变化，则电容器和电感器变成开路和短路......然后消失。因此，没有微分方程。
• 但是，如果切换开关以接通直流电路，则在切换开关后的短时间内，事物就会发生变化。微分方程将是合适的。那么，我们如何为这种情况写出一个方程呢？......进入下一章。