电路理论/线性方程组

线性方程

线性方程的形式为 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$

a₁,a₂等称为方程的系数，b称为常数项。线性代数中的变量通常用x_n表示，而不是用x、y、z等表示，因为现实世界中的问题可能会有数百万个变量。本文中的问题不超过5或6个。

出现在线性方程左侧的项必须具有正好为1的幂。出现在右侧的项必须具有0的幂。

例子

1. $2x_{1}-5x_{2}+x_{3}=9\!$
一个线性方程

2. $x_{1}+2x_{2}+2{\sqrt {x_{3}}}=1\!$
由于根号，它不是一个线性方程。根号${\sqrt {x_{3}}}$等于$x_{3}$的$1/2$次方，而不是1次方。

3. $-10x_{1}+2x_{2}=0\!$
一个线性方程

4. $x_{1}x_{2}+2x_{3}=0\!$
它不是一个线性方程，因为$x_{1}x_{2}$是2次方项。

线性方程组

m个包含n个变量的方程组的形式为 ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\cdots &+a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&\cdots &+a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&\cdots &+a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}$

注意，如果线性方程中变量的系数为零，我们可以省略它。因此，并非每个变量都需要出现在每个方程中。下面是两个线性方程组

1. ${\begin{matrix}2x_{1}&-2x_{2}&+x_{3}&=&1\\-3x_{1}&+2x_{2}&&=&3\\3x_{1}&+2x_{2}&+x_{3}&=&7\end{matrix}}$

2. ${\begin{matrix}2x_{1}&-2x_{2}&-x_{3}&+2x_{4}&=&0\\-3x_{1}&&+2x_{3}&&=&0\\3x_{1}&+2x_{2}&+x_{3}&-x_{4}&=&0\end{matrix}}$

第二个系统称为**齐次系统**，因为所有常数项都为零。

通常，线性方程组由两个或更多具有相同变量的线性方程组成。理论上，我们也可以将单个线性方程视为一个系统。

矩阵形式

将线性系统中的系数排列成一个 *m* 行 *n* 列的矩阵（即一个具有 *m* 行和 *n* 列的数组），得到

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

并设 $b=\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{matrix}}\right)$ 和 $x=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{matrix}}\right)$。线性方程组可以写成

$Ax=b$

这促使了矩阵理论的研究。有关更详细的介绍，请参阅线性代数/矩阵。

线性方程组的解

线性方程组的解是指一组为每个变量分配的值，使得所有方程都成立。例如，第一个系统的一个解是 (0,1.5,4)，因为 2(0)-1.5(2)+1(4)=1，-3(0)+2(1.5)=3，以及 3(0)+2(1.5)+4=7。

参见代数/线性方程组的解。

应用

求解线性方程组在现代工程中至关重要。高度复杂的物理系统需要难以描述的公式，但可以通过求解一组非常大的线性方程组来进行高精度近似。通过将研究对象分成微小、有限的片段，可以在大量暴力计算后得到解。当这种数值分析在计算中引入误差时，足够复杂的分析通常可以弥补在较少数值方法中引入的简化。通过使用更小的片段或更复杂的算法可以避免误差。具体方法包括有限差分分析、有限元分析和边界层分析。具体的应用包括计算流体力学、传热、疲劳分析、应变分析和应力分析。

线性方程组也用于统计回归。最小二乘回归的一种常见算法使用一个具有 *n* 行和 *m* 列的矩阵，其中 *n* 代表数据点的数量，*m* 代表基函数的数量，或者所求系数的数量。（例如，多项式 ax^3 + bx^2 + cx + d 使用四个基函数：x^3、x^2、x 和 1。）在《数值算法：科学计算的艺术》中可以找到对该算法的详细解释。