电路理论/TF 实例/实例 14

找到本书中重复出现的示例之一的偏微分方程解。给定 V_S，求解 i_o。这需要分成两个传递函数

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {I} _{t}}}{\frac {\mathbb {I} _{t}}{\mathbb {V} _{s}}}

它属于以下形式

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\text{电流分配器}}*{\text{导纳}}

电流分配器将是

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {I} _{t}}}={\frac {\frac {1}{R_{3}}}{{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}}}}={\frac {sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}{R_{3}+sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}}

代入传递函数

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}{R_{3}+sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}}*{\frac {1}{R_{1}+{\frac {1}{sC_{1}}}+sL_{1}+{\frac {1}{{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{sL_{2}+{\frac {1}{sC_{2}}}}}}}}}

使用以下 mupad 代码代入并求解

R1 :=1000;C1 :=.0001;C2 :=.0002;R3 := 2000;L1 := .001;L2 := .001;
f := (s*L2 + 1/(s*C2))/(R3 + s*L2 + 1/(s*C2))*1/(R1 + 1/(s*C1) + s*L1 + 1/(1/R3 + 1/(s*L2 + 1/(s*C2)))):
factor(f);

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {1000*(s^{2}+5000000.0)*s}{s^{4}+5000000.0*s^{3}+2.000015*10^{12}*s^{2}+3.5*10^{13}*s+5.0*10^{13}}}

这个的微分方程将是

1000({d^{2}V_{s} \over dt^{2}}+5000000.0){dV_{s} \over dt}={d^{4}I_{o} \over dt^{4}}+5000000.0{d^{3}I_{o} \over dt^{3}}+2.000015*10^{12}{d^{2}I_{o} \over dt^{2}}+3.5*10^{13}{dI_{o} \over dt}+5.0*10^{13}I_{o}

将源 V_s 设置为零，然后通过将二阶技术相加来查找 I_o（实根是欠阻尼的，等根是临界阻尼的，虚根是过阻尼的）。

求解零点（将分母设为零）

solve(s^4 + 5000000.0*s^3 + 2.000015*10^12*s^2 + 3.5*10^13*s + 5.0*10^13 = 0, s)

{\text{zeros}}=-4561551.036,-438431.4637,-15.93127461,-1.569297305

因此，在这种情况下，解将是

i_{o}=Ae^{-4561551.036t}+Be^{-438431.4637t}+Ce^{-15.93127461t}+De^{-1.569297305}+E

下一步将是找到 i₀ 的四个初始条件（以及最终条件）。大多数教材都不会尝试解决如此复杂的问题。稳态特定解早就用相量轻松地找到了。传递函数有助于找到任何类型的电压源的通用解。它还有助于找到描述电路刚接通时的斜坡上升的齐次解。工程师设计了哪些电路值得付出这些努力？滤波器。事实上，如今大多数这些工作都是数字化的，这意味着所有这些都需要在数字环境中重复。（模拟变成了现实！）。因此，使用数学工具来解决这些问题，为理解更高级的工具做好准备，是继续这一内容主题的理由。

因此，让我们继续研究滤波器（伯德图...傅里叶分析），其中常数消失了，我们仍然处于复数域。我们将需要极点来分析作为滤波器（将分子设为零）

solve(s*(1000.0*s^2 + 5000000000.0)=0,s)

{\text{poles}}=0,-2236.067977i,2236.067977i