微积分/常微分方程

常微分方程 包含以下内容的方程：

• 变量
• 函数
• 它们的导数

以及它们的解。

在研究积分的过程中，您已经考虑过非常简单的微分方程的解。例如，当您试图求解

$\int f(x)\,dx=g(x)$

对于 g(x)，您实际上是在求解微分方程

$g'(x)=f(x)\,$

符号和术语

我们用来求解微分方程的符号将决定这些方程的可解性。

本文档主要使用三种符号

• f' 表示 f 的导数
• D f 表示 f 的导数
• ${df \over dx}$ 表示 f 的导数（用于可分离方程）。

术语

考虑微分方程

$3f^{\prime \prime }(x)+5xf(x)=11$

由于方程的最高阶导数为 2，我们说该微分方程的阶数为 2。

一些简单的微分方程

求解微分方程的关键思想是 积分。

让我们考虑二阶微分方程（记住函数作用于一个值）。

$f''(x)=2\,$

我们该如何解决这个问题？它告诉我们，两次求导后，我们得到常数 2，因此，如果我们两次积分，我们应该得到结果。

首先积分一次

$\int f''(x)\,dx=\int 2\,dx$

$f'(x)=2x+C_{1}\,$

我们将看似困难的二阶微分方程转化为一个更简单的方程，即

$f'(x)=2x+C_{1}\,$

该方程告诉我们，如果我们对一个函数求导一次，我们将得到 $2x+C_{1}$。如果我们再积分一次，我们应该找到解。

$\int f'(x)\,dx=\int 2x+C_{1}\,dx$

$f(x)=x^{2}+C_{1}x+C_{2}\,$

这是微分方程的解。对于所有 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的值，我们都会得到 $f''=2\,$ 。

值 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 与被称为初始条件的量有关。

为什么初始条件有用？ODE（常微分方程）在模拟物理条件方面很有用。我们可能希望模拟一个最初处于静止状态的特定物理系统（因此一个初始条件可能是零），或者绕到某个点（因此一个初始条件可能是非零的，例如 5），我们可能希望看到系统在这样的初始条件下如何反应。

当我们用给定的初始条件解决系统时，我们在积分过程后进行代入。

示例

当我们求解 $f''(x)=2\,$ 时，假设我们有初始条件 $f'(0)=3\,$ 和 $f(0)=2\,$。（注意，初始条件不一定要出现在 f(0)）。

积分后进行代入

$f'(0)=2(0)+C_{1}\,$

$3=C_{1}\,$

$\int f'(x)\,dx=\int 2x+3\,dx$

$f(x)=x^{2}+3x+C_{2}\,$

$f(0)=0^{2}+3(0)+C_{2}\,$

$2=C_{2}\,$

$f(x)=x^{2}+3x+2\,$

没有初始条件，我们得到的答案被称为通解，即方程族的解。有了初始条件，我们的解被称为特解。

基本一阶微分方程

在本节中，我们将考虑 *四* 种主要的微分方程类型。

• 可分离的
• 齐次的
• 线性的
• 精确的

当然还有许多其他形式的微分方程，这些将在下一节中讨论。

可分离的方程

一个 *可分离的* 方程可以写成以下形式（使用 dy/dx 符号，这将在这里非常有用）。

${dy \over dx}=f(x)/g(y)$

之前我们只处理过简单的微分方程，其中 g(y)=1。那么我们如何解决上面这样的可分离方程呢？

我们将 *x* 和 *dx* 项放在一起，*y* 和 *dy* 项也放在一起。

$g(y)\ dy=f(x)\ dx$

对左侧关于 y 积分，对右侧关于 x 积分。

$\int g(y)\,dy=\int f(x)\,dx+C$

我们将得到解。

实例

这里有一个实例来演示这个过程。

我们被要求解决

${dy \over dx}=3x^{2}y$

分离变量

${dy \over y}=(3x^{2})\,dx$

积分

$\int {dy \over y}=\int 3x^{2}\,dx$

$\ln {y}=x^{3}+C\,\!$

$y=e^{x^{3}+C}$

令 $k=e^{C}$，其中 k 是一个常数，我们得到

$y=ke^{x^{3}}$

这是通解。

验证

这一步不需要成为你工作的一部分，但是如果你想检查你的解，可以通过微分来验证你的答案。

我们得到

$y=ke^{x^{3}}$

作为

${dy \over dx}=3x^{2}y$

的解。对我们的解关于 x 微分，

${dy \over dx}=3kx^{2}e^{x^{3}}$

并且由于 $y=ke^{x^{3}}$，我们可以写成

${dy \over dx}=3x^{2}y$

我们可以看到我们得到了原始的微分方程，因此我们的工作一定是正确的。

齐次方程

一个 *齐次* 方程可以写成以下形式。

${dy \over dx}=f(y/x)$

虽然看起来很复杂，但我们可以使用以下替换。

$v={y \over x}$

因此，我们现在处理的是 F(v) 而不是 F(y/x)。

现在我们可以用 v 表示 y，因为 y=xv，并使用乘积法则。

使用乘积法则，上面的方程变为

${dy \over dx}=v+x{dv \over dx}$

然后

$v+x{dv \over dx}=f(v)$

$x{dv \over dx}=f(v)-v$

${dv \over dx}={f(v)-v \over x}$

这是一个可分离方程，可以用上述方法求解。

但是，让我们来看一个求解的例子，以了解齐次方程是如何求解的。

实例

我们有方程

${dy \over dx}={y^{2}+x^{2} \over yx}$

这似乎不是直接可分离的，但让我们展开得到

${dy \over dx}={y^{2} \over yx}+{x^{2} \over yx}$

${dy \over dx}={x \over y}+{y \over x}$

用 y=xv 代入，这与用 v=y/x 代入是一样的

${dy \over dx}=1/v+v$

现在

$v+x{dv \over dx}=1/v+v$

从两边消去 v

$x{dv \over dx}=1/v$

分离变量

$v\,dv=dx/x$

对两边积分

${1 \over 2}v^{2}+C=\ln(x)\,$

${1 \over 2}\left({y \over x}\right)^{2}=\ln(x)-C$

$y^{2}=2x^{2}\ln(x)-2Cx^{2}\,$

$y=x{\sqrt {2\ln(x)-2C}}$

这是我们想要的解决方案。

线性方程

一阶线性微分方程是以下形式的微分方程：

$a(x){dy \over dx}+b(x)y=c(x)$

用任何非零的x函数乘或除这个方程都不会影响它的解，因此我们可以始终用a(x)除以使微分系数为1，但是以这种更一般形式写这个方程可能会提供一些见解。

乍一看，似乎不可能对左边进行积分，但有一个特例。如果b恰好是a的微分，那么我们可以写成

$a(x){dy \over dx}+b(x)y=a(x){dy \over dx}+y{da \over dx}={d \over dx}a(x)y$

现在积分就很简单了。

由于我们可以自由地乘以任何函数，让我们看看是否可以使用这种自由度将左边写成这种特殊形式。

我们用一个任意函数I(x)乘整个方程，得到

$aI{dy \over dx}+bIy=cI$

然后施加条件

${\frac {d}{dx}}aI=bI$

如果满足这个条件，新的左边将具有特殊形式。请注意，用任何常数乘以I将使此条件仍然得到满足。

重新排列此条件得到

${\frac {1}{I}}{\frac {dI}{dx}}={\frac {b-{\frac {da}{dx}}}{a}}$

我们可以对它进行积分得到

$\ln I(x)=\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz-\ln a(x)+c\quad I(x)={\frac {k}{a(x)}}e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}$

我们可以将常数k设置为1，因为这没有任何区别。

接下来我们对原始微分方程使用I，得到

$e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{dy \over dx}+e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {b(x)}{a(x)}}y=e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}$

因为我们选择I将左边置于特殊形式，所以我们可以将其重写为

${d \over dx}(ye^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz})=e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}$

对等式两边积分，然后除以$e^{I}$，得到最终结果

$y=e^{-\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}\left(\int e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}dx+C\right)$

我们称I为积分因子。类似的技术可以应用于其他一些微积分问题。

示例

考虑

${\frac {dy}{dx}}+y\tan x=1\quad y(0)=0$

首先我们计算积分因子。

$I=e^{\int \tan xdx}=e^{\ln \sec x}=\sec x$

将等式乘以该因子得到

$\sec x{\frac {dy}{dx}}+y\sec x\tan x=\sec x$

或者

${\frac {d}{dx}}y\sec x=\sec x$

现在我们可以积分

$y=\cos x\int _{0}^{x}\sec z\,dz=\cos x\ln(\sec x+\tan x)$

精确方程

精确方程的形式为

f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0

并且具有以下性质

D_x f = D_y g

(如果微分方程不具有此性质，那么我们无法继续进行)。

因此，如果我们有一个精确方程，那么存在一个函数 h(x, y)，使得

D_y h = f 且 D_x h = g

因此，解的形式为

h(x, y) = c

通过使用全微分的性质。我们可以通过积分找到 h(x, y)

基本二阶及高阶常微分方程

n阶常微分方程的一般解将包含n个积分常数。为了计算它们，我们需要n个额外的方程。最常见的是，我们有以下两种情况：

边界条件，即y及其导数在两个不同的x值上取得的值

或者

初始条件，即y及其前n-1个导数在一个特定的x值上取得的值。

可约常微分方程

1. 如果自变量x在微分方程中没有出现，那么它的阶数可以降低一个。这将把二阶常微分方程降为一阶常微分方程。

考虑以下方程

$F\left(y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0$

定义

$u={\frac {dy}{dx}}$

然后

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {du}{dx}}={\frac {du}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dy}}\cdot u$

将这两个表达式代入方程，得到

$F\left(y,u,{\frac {du}{dy}}\cdot u\right)$=0

这是一个一阶常微分方程

示例

解

$1+2y^{2}\operatorname {D} ^{2}y=0$

当x=0时，y=Dy=1

首先，我们进行代换，得到

$1+2y^{2}u{\frac {du}{dy}}=0$

这是一个一阶常微分方程。通过重新排列项，我们可以分离变量

$udu=-{\frac {dy}{2y^{2}}}$

对该式积分得到

$u^{2}/2=c+1/2y$

我们知道当x=0时y和u的值，因此可以求出c

$c=u^{2}/2-1/2y=1^{2}/2-1/(2\cdot 1)=1/2-1/2=0$

接下来，我们反向代换

${\frac {dy}{dx}}^{2}=u^{2}={\frac {1}{y}}$

并开方

${\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {y}}}$

为了确定保留平方根的哪个符号，我们再次使用初始条件Dy=1，在x=0时，并排除负平方根。现在我们又得到了另一个可分离的一阶常微分方程，

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {y}}}$

它的解为

${\frac {2}{3}}y^{\frac {3}{2}}=x+d$

由于y=1，当x=0时，d=2/3，因此

$y=\left(1+{\frac {3x}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}$

2. 如果因变量y没有出现在微分方程中，那么它也可以简化为一个一阶方程。

考虑以下方程

$F\left(x,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0$

定义

$u={\frac {dy}{dx}}$

然后

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {du}{dx}}$

将这两个表达式代入第一个方程，得到

$F\left(x,u,{\frac {du}{dx}}\right)$=0

这是一个一阶常微分方程

线性常微分方程

形式为

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{n}y=F(x)$

称为线性。这种方程比典型的非线性常微分方程更容易求解。虽然只有少数特殊情况可以用基本函数精确求解，但关于一般线性常微分方程的解，有很多可以说明的。详细介绍将超出现本书的范围。

如果对于所有x，F(x)=0，则该常微分方程称为齐次

一般线性方程有两个有用的性质：

1. 齐次线性方程的解的任意线性组合也是解。
2. 如果我们有一个非齐次线性方程的解，并且我们加上相应的齐次线性方程的任意解，那么我们就会得到非齐次线性方程的另一个解。

常数变易法

假设我们有一个线性常微分方程，

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{n}y=0$

并且我们知道一个解，y=w(x)

其他解总是可以写成y=wz。将此代入常微分方程，我们会得到包含z从一阶到n阶的每一阶导数的项，但不会更高，因此我们最终会得到z的n阶线性常微分方程。

我们知道z是常数是一个解，因此z的常微分方程一定不包含z项，这意味着它实际上是n-1阶线性常微分方程。我们已经将阶数降低了一阶。

让我们看看在实践中是如何工作的。

示例

考虑

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {6}{x^{2}}}y=0$

这个方程的一个解是y=x²，因此将y=zx²代入这个方程。

$\left(x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+4x{\frac {dz}{dx}}+2z\right)+{\frac {2}{x}}\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}+2xz\right)-{\frac {6}{x^{2}}}x^{2}z=0$

重新排列并简化。

$x^{2}D^{2}z+6xDz=0$

这是对于Dz的一阶方程。我们可以求解它得到

$z=Ax^{-5}\quad y=Ax^{-3}$

由于方程是线性的，我们可以将它添加到任何其他解的倍数以获得通解。

$y=Ax^{-3}+Bx^{2}$

具有常数系数的线性齐次微分方程

假设我们有一个微分方程

$(D^{n}+a_{1}D^{n-1}+...+a_{n-1}D+a_{0})y=0$

我们可以对解进行一个有启发的猜测（对此进行说明）

$y=e^{px}$

对于此函数，Dⁿy=pⁿy，因此微分方程变为

$(p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_{0})y=0$

y=0 是微分方程的平凡解，因此我们可以将其丢弃。然后我们剩下一个方程

$p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_{0}=0$

这称为微分方程的特征方程。

它最多可以有n个根，p₁，p₂ … p_n，每个根都为我们提供了微分方程的不同解。

由于微分方程是线性的，我们可以将所有这些解以任何线性组合的形式加在一起，以获得通解

$y=A_{1}e^{p_{1}x}+A_{2}e^{p_{2}x}+...+A_{n}e^{p_{n}x}$

为了了解这种方法在实践中的运作方式，我们将研究二阶情况。求解更高阶的类似方程使用的是完全相同的原理；只是代数更加复杂。

二阶

如果微分方程是二阶的，

$D^{2}y+bDy+cy=0$

那么特征方程就是二次方程，

$p^{2}+bp+c=0$

其根为

$p_{\pm }={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}$

这些根的性质取决于b²-4c的符号，因此我们需要考虑三种情况。

1) b² > 4c

在这种情况下，我们有两个不同的实根，因此可以直接写下解。

$y=A_{+}e^{p_{+}}+A_{-}e^{p_{-}}$

2) b² < 4c

在这种情况下，两个根都是虚数。我们可以直接将它们代入公式，但如果我们对实数解感兴趣，则用另一种方式写出它们更有用。

定义 k²=4c-b²，则解为

$y=A_{+}e^{ikx-{\frac {bx}{2}}}+A_{-}e^{-ikx-{\frac {bx}{2}}}$

为了使该解为实数，A必须是复共轭的

$A_{\pm }=Ae^{\pm ia}$

进行此替换，我们可以写成：

$y=Ae^{-bx/2}\cos(kx+a)$

如果 *b* 为正数，则为阻尼振荡。

3) b² = 4c

在这种情况下，特征方程只给我们一个根 *p=-b/2*。我们必须使用另一种方法来寻找另一个解。

我们将使用常数变易法。我们需要求解的 ODE 为：

$D^{2}y-2pDy+p^{2}y=0$

根据根重写 *b* 和 *c*。从特征方程中我们知道一个解是 $y=e^{px}$，所以我们进行替换 $y=ze^{px}$，得到

$(e^{px}D^{2}z+2pe^{px}Dz+p^{2}e^{px}z)-2p(e^{px}Dz+pe^{px}z)+p^{2}e^{px}z=0$

简化为 D²z=0，很容易求解。我们得到

$z=Ax+B\quad y=(Ax+B)e^{px}$

所以第二个解是第一个解乘以 *x*。

更高阶线性常系数 ODE 的行为类似：对于特征方程的每个实根，都有一个指数函数；对于每个复共轭对，都有一个指数函数乘以一个三角函数因子；如果根是重复的，则两者都乘以一个多项式。

例如，如果特征方程分解为

$(p-1)^{4}(p-3)(p^{2}+1)^{2}=0$

则 ODE 的通解为

$y=(A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3})e^{x}+Ee^{3x}+F\cos(x+a)+Gx\cos(x+b)$

最困难的部分是寻找特征方程的根。

常系数线性非齐次 ODE

首先，我们考虑 ODE

$Dy-y=x$

这是一个非齐次一阶 ODE，我们知道如何求解。

使用积分因子 *e^-x*，我们发现

$y=ce^{-x}+1-x$

这是对应齐次方程的解和一个多项式的和。

更高阶的非齐次 ODE 的行为类似。

如果我们有一个非齐次 ODE 的单一解 *y_p*，称为 *特解*，

$(D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\cdots +a_{n})y=F(x)$

则通解为 *y=y_p+y_h*，其中 *y_h* 是齐次 ODE 的通解。

对于任意 *F(x)* 找到 *y_p* 需要超出本章范围的方法，但有一些特殊情况，在这些情况下找到 *y_p* 很简单。

记住，在一阶问题中，对于一个多项式 *F(x)*，*y_p* 本身也是一个相同阶数的多项式。我们可以将其扩展到更高阶。

示例

$D^{2}y+y=x^{3}-x+1$

考虑一个特定的解

$y_{p}=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+x^{3}$

将y代入并收集系数

$x^{3}+b_{2}x^{2}+(6+b_{1})x+(2b_{2}+b_{0})=x^{3}-x+1$

所以b₂=0，b₁=-7，b₀=1，通解为

$y=a\sin x+b\cos x+1-7x+x^{3}$

这是因为多项式的所有导数本身都是多项式。

另外两个特殊情况是

$F(x)=P_{n}e^{kx}\quad y_{p}(x)=Q_{n}e^{kx}$

$F(x)=A_{n}\sin kx+B_{n}\cos kx\quad y_{p}(x)=P_{n}\sin kx+Q_{n}\cos kx$

其中P_n，Q_n，A_n和B_n都是n次多项式。

进行这些替换将得到一组关于多项式系数的线性方程组。