时钟和数据恢复/杂项

来自（抖动）传递函数的单位阶跃响应

单位阶跃响应可以从（抖动）传递函数中获得，如下所示

• 取 s 域中的（抖动）传递函数(可能使用 r 代替 s/ω_n 来简化符号，即将 ω_n 缩放到 1 ) : 它的逆变换（即 t 的函数）是单位脉冲响应。(单位脉冲的变换在 s 域中只是一个常数 1.)
• 将（抖动）传递函数乘以单位阶跃函数的变换，即 1/s
• 逆变换到时域，即获得 USR。 (注意：当使用尺度变化属性f(s/a) → a*F(t*a) 时，它不适用于来自单位阶跃的因子 1/s，因为阶跃是单位阶跃！)

一阶，类型 1 循环

${\tfrac {Y(s)}{X(s)}}={\tfrac {1}{({\tfrac {s}{\omega _{n}}}+1)}}$ = $L{\Big \{}$单位脉冲响应${\Big \}}$

${\tfrac {Y(s)}{sX(s)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {1}{({\tfrac {s}{\omega _{n}}}+1)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {\omega _{n}}{(s+\omega _{n})}}$ = $L{\Big \{}$单位阶跃响应${\Big \}}$

$\int \limits _{0}^{t}\omega _{n}e^{-\omega _{n}t}dt=\omega _{n}\left|{\tfrac {e^{-\omega _{n}t}}{-\omega _{n}}}\right|_{0}^{t}$

$={\color {blue}1-e^{-\omega _{n}t}}$

二阶，类型 1 循环

$L{\Big \{}$单位脉冲响应${\Big \}}$ = ${\tfrac {Y(s)}{X(s)}}$ $={\tfrac {1}{\left({\tfrac {s^{2}}{\omega _{n2}^{2}}}+{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1\right)}}$

$L{\Big \{}$单位阶跃响应${\Big \}}$ = = ${\tfrac {Y(s)}{sX(s)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s^{2}}{\omega _{n2}^{2}}}+{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1\right)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}$

$L^{-1}{\Big \{}{\tfrac {1}{s}}{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}{\Big \}}=\int \limits _{0}^{t}\omega _{n2}{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}u}\sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}u}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\,du\,\!$

$={\tfrac {\omega _{n2}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left|{\tfrac {e^{ax}(a\sin {bx}-b\cos {bx})}{a^{2}+b^{2}}}\right|_{0}^{t}$

$={\tfrac {\omega _{n2}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left|{\frac {e^{-\zeta \omega _{n2}x}(-\zeta \omega _{n2}\sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}x}-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}x})}{\omega _{n2}^{2}\zeta ^{2}+(1-\zeta ^{2})\omega _{n2}^{2}}}\right|_{0}^{t}$

$={\tfrac {\left[e^{-\zeta \omega _{n2}t}(-\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t})-e^{-\zeta \omega _{n2}0}(-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})\right]}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$={\tfrac {\left[-e^{-\zeta \omega _{n2}t}(\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}+{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t})+{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right]}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$={\color {red}1-{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\left(\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}+{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}\right)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$

二阶，类型 2 循环

${\tfrac {Y(s)}{X(s)}}={\tfrac {(s\tau _{z}+1)}{(s^{2}{\tfrac {\tau _{z}}{G}}+s\tau _{z}+1)}}$ , ${\tau _{z}={\tfrac {2\zeta }{\omega _{n2}}}}$

${\tfrac {Y(s)}{X(s)}}$ = $L{\Big \{}$单位脉冲响应${\Big \}}$ $={\tfrac {{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1}{\left({\tfrac {s^{2}}{\omega _{n2}^{2}}}+{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1\right)}}$

${\tfrac {Y(s)}{sX(s)}}=L{\Big \{}$单位阶跃响应${\Big \}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1}{\left({\tfrac {s^{2}}{\omega _{n2}^{2}}}+{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1\right)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}$

$L^{-1}{\Big \{}{\tfrac {1}{s}}{\Big (}{\tfrac {\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}+{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}{\Big )}{\Big \}}$

$=L^{-1}{\Big \{}{\tfrac {2\zeta }{\omega _{n2}}}{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}{\Big \}}+USR_{2.1}$

$={\tfrac {2\zeta \omega _{n2}}{\omega {n2}}}\ {\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}+1-{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\left(\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}+{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}\right)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$=1+{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\left(2\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}-\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}\right)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$={\color {green}1+{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\left(\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}\right)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$

三种情况在下面一起绘制，主要使用参数值以便进行有意义的比较。

需要强调的是，此图中用于二阶环路的 ζ 值低于实际应用中的值。

3 种 PLL 基本模型对 1 弧度的输入阶跃的响应。
参数选择是为了产生有意义的比较，尽管用于二阶环路的 ζ 值低于实际应用中的值。

仅仅一阶和二阶的架构？并非偶然！

实际上只使用两种阶次的 CDR 架构。

它们可以通过其抖动传递函数的阶次来识别

1. 一阶，用于相位对准 CDR，(在本书开头介绍)；
2. 二阶，用于两种可能的类型 1 和 2，(也在同一页介绍)。

这个“事后”结果可以与“先验”数学理论优雅地联系起来。

众所周知，任何可能的传递函数都可以用复频率“s”的有理函数很好地近似（即用 s 的两个多项式的比率）。
反过来，有理函数可以用部分分式展开表示

F(s) = ${\frac {\sum _{i=0}^{m}b^{i}s^{i}}{\sum _{i=0}^{n}a^{i}s^{i}}}$= ${\frac {\sum _{i=0}^{m}b^{i}s^{i}}{\prod _{i=1}^{r}(s+p_{i})_{i}^{n}}}$ = $b_{n}+\sum _{i=1}^{r}\sum _{k=1}^{n_{i}}{\frac {c_{i}k}{(s+p_{i})^{k}}}$

F(s) = ${\frac {\sum _{i=0}^{m}b^{i}s^{i}}{\sum _{i=0}^{n}a^{i}s^{i}}}$ = $b_{n}+{\frac {c_{11}}{(s+p_{1})}}+{\frac {c_{22}}{(s-\sigma -j\omega )(s-\sigma +j\omega )}}+$ 更多复杂项

(分母多项式有 $n_{1}$ 个根等于 $p_{1}$, $n_{2}$ 个根等于 $p_{2}$, ..., $n_{r}$ 个根等于 $p_{r}$ 其中 $\textstyle \sum _{i=1}^{r}\textstyle n_{i}$ = n)

也就是说，CDR 可以使用一阶环路或二阶环路实现，也可以使用它们的乘积或和实现。

常见的工程常识要求设计要“尽可能简单”。

因此，我们将只选择最简单的可能性之一。

• 一个常数 $b_{n}$ 是一个平坦的抖动传递函数，而不是一个实际的选择；
• 当主要考虑因素是简单的实现、快速的响应（= 采集）以及对参数漂移和非线性的高鲁棒性时，将选择一阶（抖动）传递函数；
• 当低频性能（稳态误差 = 直流相位误差；抑制低频噪声；...）或高频性能（紧凑带宽用于输入抖动滤波）是主要关注点时，将选择二阶（抖动）传递函数。在第一种情况下，将选择 2.2，在第二种情况下，将选择 2-1。
• 任何其他（不可避免地更复杂）的可能性并不会带来更多性能，反而会使电路对参数变化和小的非线性更加敏感（通常过于敏感）。

这三种基本模型将在三个专门章节中进一步开发。

1. 一阶（类型 1）PLL
2. 二阶类型 1 PLL
3. 二阶类型 2 PLL.

PLL 模拟

它们是什么

为了验证本书内容，开发了一些建模和仿真程序。每个程序的输出都包含时间和/或频率图，这些图被用作本书的插图。它们基于简单的计算表格，这些表格是用免费的电子表格软件（Apache Open Office 和/或 LibreOffice）编写的，并且作为免费软件提供给读者。

一些计算文件（最早的那些）可以通过以下链接找到和下载：

PLL Simulator 11 21 22 线性 PhComp Rev 3.3 2011 年 8 月 21 日

PLL Simulator 11 21 22 bang-bang PhDet Rev 3.2 2011 年 8 月 29 日

PLL 11 21 22 线性小信号模型，包括抖动传递、误差、容差和噪声 Rev 1.0 2011 年 8 月 13 日

它们可以在任何标准的个人电脑上运行。

列表中的第一个程序模拟了基于线性鉴相器的 PLL 电路中的信号。

列表中的第二个程序模拟了基于 bang-bang 鉴相器的 PLL 电路中的信号。

列表中的第三个程序模拟了列表中第一个程序模拟的电路的小信号线性模型的 jω 函数的幅值。

这三个程序都涵盖了 PLL 的三种主要拓扑结构：一阶（类型 1）、二阶类型 1 和二阶类型 2。

更晚和更专业的版本（例如，大多数时间和频率图使用的版本）可以根据要求提供。^[5]

目的

教学目的，为了

• 识别和指出 PLL 的基本模块，以及 CDR 的时钟恢复部分。
  • 每个模块都根据其功能、输入/输出连接、特性和主要限制（= 不可避免的非线性）进行识别。
  • 模拟的结构是 PLL 的完整结构。
• 理解 PLL 的整体操作（= 时钟恢复）。
• 熟悉构成数学模型的公式和方程（以及它们在模拟器或建模计算表格中的实现）。
• 引入离散时间的概念，因为实际的 PLL 通常是用数字的、离散时间电路制造的。实际上，该工具

  • 仅使用 1500 或 3000 个时间或频率步骤，
  • 使用差分方程的形式为递归关系。另见：差分方程，以了解循环滤波器和 VCO 仿真中使用的公式。

如何制作

每个文件都包含一些描述表格，详细介绍了软件的构建方式。

这些细节有助于理解甚至修改计算表格。

读者被鼓励尽可能地利用这些页面，就像利用进行实际计算的页面一样。

模拟的每个模块都遵循本书中的描述，这些描述在每个软件部分的说明表格中被重复和进一步详细说明。

局限性

这些程序是简单的工具，因此有相应的局限性。
必要的注意事项与以下方面相关：

接收线路脉冲的周期与仿真中使用的时步不一致。在大多数情况下，时步明显更长。

出现的唯一频率是表征环路操作的频率。它们是唯一真正被模拟或绘制的频率。

对于您想模拟的情况，线路频率始终应明显高于（通常是 10 倍或更多倍）环路操作的任何重要频率。

这些程序仅使用 1500 或 3000 个时间或频率步骤。

模拟的是一个 PLL，而不是整个 CDR。模拟器将显示以下事件：

相位误差的抖动，因为输入正弦变化（主要代表符号间干扰抖动）使鉴相器在锯齿形特性的齿边缘来回反转；

时钟滑移，当 PLL 停止跟踪与输入信号平行的信号但存在一个鉴相器范围的倍数的间隙时，很容易检测到。

模拟程序将无法显示以下内容：

比特错误，因为模拟不考虑输入比特流，只考虑其相位；

环路增益变化（由可变输入转换密度或鉴相器的非线性增益引起）。这是因为与上述原因相同。

一些时间模拟研究了具有非线性相位和相位/频率检测器的 PLL 的捕获阶段。

参见：CDR 鉴相器 和后续页面，了解更多考虑因素以及使用这些模拟器生成的时序图。

尽管存在许多局限性，但这些工具仍然有效，并且足够复杂，可以帮助普通电子工程师

更好地理解 CDR 中 PLL 的工作原理.

突发模式上行：20 到 50 个转换，用于锁定到传入的突发。以 2.5 Gbps 上行/1.25 Gbps 下行 GPON 为例

http://www.itu.int/rec/T-REC-G.984.2/en ITU-T 建议 G.984.2

GPON 的示例比 EPON 更重要，因为

• GPON 规范在突发捕获阶段的要求更高，并且
• GPON 规范定义了速度最快的突发模式接收器（在捕获阶段），并且在光接入应用的频率下，其锁定状态性能仍然良好。

物理层开销

在定义了下行 2.5 Gbps 和上行 1.25 Gbps 的 GPON 中，上行突发允许多达 96 个比特，用于所谓的物理层开销 (Plo)。

这些比特用于检测突发的出现，用于 CDR 电路的锁相，以及准确识别突发信息比特接收的开始（= 突发分隔功能）。

将 Plo 的比特分配给 OLT 功能

96 个比特时间中的前 32 个分配用于生成突发之间的保护时间。

32 个中的 16 个分配用于屏蔽先前突发的远程发射器的熄灭瞬变。

接下来的 16 个分配用于提供对接管并发送新突发的远程发射器的激活瞬变的裕量。

96 个比特中的最后 20 个用于突发分隔功能。

在 96 个中的中间 44 个比特期间，ONT 中的远程发射器发送一个前导码模式，该模式为快速电平恢复和时钟恢复功能提供最大的转换密度。

根据实现的选择，OLT 接收器可以允许自突发开始以来多达 50 个转换（p1=0，p2=0，p3=10 重复 22 次，加上分隔符的一些初始脉冲），或少至 20 个转换，以实现锁定。下图显示了后一种情况下的实际可能的瞬态。