时钟与数据恢复/绪论/模型只能是线性的...

参考模型

如今，CDR 电路使用 PLL 架构实现，并且主要或完全使用 CMOS 数字电路实现。
电路的复杂性通常非常大，以至于架构并不总是清晰可见，因此电路的工作原理并不完全清楚。
参考使用一阶或二阶 PLL 架构实现 CDR 的相对简单的电路非常有用。
理解模型的特性以及描述其行为的数学方程非常适合理解几乎所有实际电路，并且通常甚至可以更好地设计它们。

数学描述

可以使用框图来描述物理系统，或者可以使用其原理图，或者可以使用描述其各个部分的数学方程组。
但是，当需要详细的关系时，需要以系统方程的形式建立数学模型。

理论上，每个控制系统都可以用数学方程来表征。
这些方程的解表示系统的行为。
通常，这个解很难找到，甚至不可能找到。
在这些情况下，必须在数学描述中做出一些简化假设。

线性模型

（适用于“小信号”条件 - 线性方程和公式 - s 和 jω 函数）

对于大量的控制系统，这些近似和简化导致可以用线性常微分方程描述的系统。求解这些方程的技术在数学和工程文献中都有详细的记载。

更准确地说，在PLL 的大部分工作范围内，它满足某些条件：它是线性的，时不变的，因果的，有时全部缩写为LTI。

在这些条件下，模型得到了简化

1. 微分方程在变换域中变成了代数多项式方程。
2. t 域中的所有解都是函数 = 0，对于所有 t < = 0，
3. 如果系统处于稳态，则拉普拉斯变换（s 的函数）与相应的傅里叶变换完全重叠。在前者中用0 + jω替换s就足以获得后者。

本书使用拉普拉斯变换的基本概念来分析所呈现的电路，识别极点和零点等。

对于稳态现象（抖动传递、抖动容限、噪声整形），分析仍然在变换域中进行，使用更简单的傅里叶变换（对于 s = 0 + jω 获得）。

抖动传递函数：输出抖动与输入抖动的比率（=闭环传递函数）。
自变量ω是定时转换正弦抖动的角频率.

简化在于使用实变量的实函数，即感兴趣的函数的幅值
1. 实自变量。在稳态下，并非所有可能的s值都需要考虑，而只需要其虚部ω的值，即实变量。得到的ω函数仍然假设复数值，例如幅值和相位或实部和虚部。
2. 实因变量。如果系统是最小相位系统（一个合理的假设），只需要使用系统频率响应的幅值（=绝对值），因为它包含所有信息。
幅值通常在波德幅值图中表示。PLL 工程师通常忽略相位。

对于瞬态现象，拉普拉斯域中的函数被反变换以获得时间函数形式的解（在本书中，主要是(单位)阶跃响应）。

在现代通信系统中，时钟与数据恢复电路（CDR）的实现主要为数字方式，并且电路可能非常复杂（特别是环路滤波器和本地振荡器）。

设计人员有时可能难以选择合适的架构，并且在某些情况下也难以理解电路本身的工作原理。

在产品开发的下游，负责验证、确认、表征和测试的工程师通常甚至不会尝试识别环路的根本架构。

解决此问题的最佳方法是选择一个与经过充分理解的 CDR 模型的结构相对应的系统架构，并参考其数学描述来理解所有条件下的闭环操作，并实际设计系统电路块。

参考基本结构和可应用的线性建模也将使随后的工业化、操作和维护的工程任务更容易和更有效。

一阶阶、类型 1 和二阶阶、类型 1 和 2 的三种模型架构，为实际 CDR 提供了稳定性和性能之间的最佳折衷方案。

它们还可以很好地用数学描述，并且其操作易于理解。

一旦熟悉了它们的操作，电路设计人员将能够决定在块结构甚至其 CDR 阶数方面做出哪些电路选择。

电路块的线性模型→整个电路的线性模型
只要电路块的参数保持不变，每个电路块都可以在一定范围的输入信号内用线性模型描述。

当（如 CDR 中经常出现的情况）块被设计为以输入到输出的线性关系运行时，整个系统可以用一个线性模型在很宽的运行范围内描述。

本书详细介绍了三种线性模型，适用于相位比较器块（基于锯齿波，在跳到前一个和下一个齿的点之间呈线性）和压控振荡器（基于具有连续控制并在控制范围的频率极限内呈线性的频率控制振荡器）都可以用线性模型描述的情况。
这三种模型属于两种基本架构

• 一阶（类型 1）环路
• 基于二阶 PLL 的（从属）CDR

  二阶类型 1

  二阶类型 2

某些电路块的非线性阻止了它们的建模→求助于架构的线性模型仍然有用

线性模型的实用性当然适用于其块可以用线性方程单独建模的系统。

但“线性”模型的实用性超出了它们旨在描述的线性电路的研究范围。

即使对于一个或多个块，线性模型也不可能，整个结构的“线性”模型仍然有用。

在许多实际情况下，可用技术的限制或成本限制了使用“线性”相位比较器和/或“线性”压控振荡器。

可以使用线性模型来研究非线性系统（例如基于邦邦相位检测器的 PLL），但限制在于线性模型仅在输入信号变化的有限范围内有用。

有必要将系统限制在“小信号”条件下，在该条件下，硬非线性不会使系统偏离线性太远。

因此，用线性方程对这些模块进行建模仅限于信号在工作点附近非常小的变化。只要信号在工作点附近变化很小，就可以认为模块的参数是恒定的。

尽管如此，“线性”情况下的线性模型仍然有用（除了它是唯一可用的闭式工具之外！）。

熟悉“线性”架构的模型可以非常有助于理解“非线性”电路在某个工作点附近的行为。.

当信号偏移量很大且无法忽略非线性方面时，线性模型不再有效，但仿真仍然是工程师可用的有效工具。

仿真器可以包含一些非线性。

（适用于“大信号”条件，仿真需要逐个案例重新计算）

系统的形式化建模基于数学模型，该模型试图找到分析解，以便根据一组参数和初始条件预测系统的行为。

当信号很大时，电路块的非线性不能忽略，线性模型不再准确。

计算机仿真随后被用作数学模型的补充或替代，用于无法获得简单闭式解析解的系统条件，例如，当一些硬非线性对于进行预测至关重要时。

这通常是CDR采集阶段的情况。

已经开发了一些建模和仿真程序来验证本书的内容。

特别是，一些程序被开发用于对一阶或二阶CDR的采集阶段进行良好的预测。

其他程序生成角频率ω的抖动函数的波德图。

它们都包含时间和/或频率图作为输出，这些图经常被用作本书中的插图。

它们都基于简单的计算表格，使用免费软件程序（Apache Open Office和/或LibreOffice）编写，并作为免费软件组件提供给读者。

只有三种架构具有实用价值

本书将展示一些可能的CDR模型架构，并指出实际选择仅限于三种！

在所有实际情况下，这三种模型之一是提供对CDR操作良好理解的基本工具。

将详细描述CDR电路的线性、时不变理想化。

以下基本情况：

1. 用于突发模式CDR的一阶环路（通常但并非总是相位对准器）（一阶类型1）
2. 用于再生（从属）CDR的二阶环路（二阶类型1）
3. 用于增益变化范围很大的非线性块的二阶环路（二阶类型2）

将被介绍并强调为唯一真正重要的使用模型（即使实际实现中的一些块是非线性的）。
有关为什么环路按阶数和类型识别的更多详细信息，请参见本书后面一点的页面。
尽管这种理想化在某些特定方面可能无法完美地描述我们的电路（某些电路块的非线性等），但它们有助于简化数学，使我们免于迷失在大量代数量中，并且最重要的是产生可以非常有用地解释的结果。
本书后面有一个名为CDR的结构和类型/示例的部分，其中显示了这三种模型的特征函数，以及其他一些模型的特征函数。
CDR的结构和类型/示例中介绍的其他模型架构仅用于教学目的，对于电子工程师没有实用价值。
相反，这三个基本模型将在三个专门的章节中进一步开发

1. 一阶（类型1）PLL
2. 二阶类型1 PLL
3. 二阶类型2 PLL.

一阶系统

这些系统只有一个自由度。
在一阶PLL的研究中，考虑了脉冲响应的时间常数，称为τ（tau）。

此时间常数τ正好是环路增益的倒数

1 / τ = G_φ * G_f * G_VCO = G

自然频率ω_n1定义为1/τ = G。(下标n表示自然，下标1 - 可选 - 表示一阶)

一阶系统主要用于快速锁定采集很重要的场合。

快速采集实际上意味着τ/T_p在25到100之间，其中T_p = 1/ f_p是每个接收脉冲的周期。

需要注意的是，G_φ和G_VCO几乎总是实现电路所选技术的必然结果。因此，电路设计人员主要需要调整G_f以获得所需的τ值。

二阶系统

这些系统有两个自由度。

在二阶PLL的模型中，考虑的量是阻尼比ζ和自然角频率（无阻尼）ω_n2。

（后缀_2-添加到ω_n只是为了记住此参数指的是二阶系统，
后缀₂₁或₂₂添加到ω_n和ζ只是为了记住该参数指的是二阶系统，类型1或2。类型0不用于CDR应用）

为了使PLL在CDR内部具有实用价值，阻尼比ζ必须接近1（0.7到1.3），以确保环路的特性既不过阻尼也不欠阻尼。

因此，说二阶环路比一阶环路多一个自由度是一种夸大其词。

更公平地说，在这两种情况下，环路的时间（和频率）响应主要由增益G设定。在二阶环路的情况下，可以获得与允许的（有限）ζ变化范围相关的稍高的可变性。$\zeta$.

二阶环路中的自然角频率ω_n2取决于

• 环路增益（类似于一阶环路）
• 阻尼比ζ
• 但也取决于环路的类型

如果频率ω_n1再次定义为1/G（如一阶环路中），则2-1和2-2环路的自然频率为

ω_n21 = 2 ω_n1 ζ₂₁；ω_n22 = ω_n1 / 2 ζ_n22

例如，如果ω_n2 = ω_n1，则ζ = ½.

用于数据传输中PLL时钟恢复的二阶架构模型

类型1和类型2的二阶环路彼此之间存在很大差异，并且它们的架构用于CDR的不同应用，本书后续页面将对此进行强调。

三阶系统

单位反馈

CDR的PLL是一个单位反馈系统，因为输出（恢复的时钟）应尽可能接近输入（嵌入在传入脉冲流中的时钟），除了抑制后者的高频分量。

低通

PLL 抖动传递函数的拐角频率（大约为 ω_nx，其中 x 为环路阶数）表示较低频率的抖动会被跟踪，而较高的输入频率则不会被跟踪（= 被抑制）。较低频率应该是采集瞬态以及跟踪输入信号固有抖动和漂移所需的频率。

仅限 1 型或 2 型

CDR 的 PLL 或者是 1 型环路，或者是 2 型环路(类型指的是开环传递函数在原点处的极点数，也就是因子 1/s 在开环传递函数中出现的次数)。在 1 型或 2 型环路中，输入和输出相位之间的平均距离（采样误差）要么是有限的，要么是零。

补偿器

额外的奇点（极点和零点）被加在一起，从而增加了环路的阶数，但没有改变其类型。它们构成了一个“补偿器”。

在不失一般性的前提下，任何三阶 CDR 环路都可以建模为二阶环路，并在 PLL 的前向路径中添加一对极点零点（包括零点或极点位于 ω = 0 或 ω = ∞ 的极端情况），从而增加了环路滤波器的复杂性。

CDR 的三阶系统模型（单位反馈）是
二阶环路，在前向路径中添加了一对极点零点。

滞后补偿器

补偿器必须是低通（ω_p < ω_z，即“滞后”补偿器），因为输入信号中的高频抖动和噪声必须被更多地抑制，而不是更少地抑制。

远离 ω_n2 的补偿

为了不干扰正在使用补偿器进行改造的 CDR 的主要特性，补偿器本身的作用频率应至少比被补偿环路的 ω_n2 远两个数量级。

例如，假设抖动传递函数应该在高达 ω_n2 的范围内保持非常接近幅度 = 1。在 ω_n2 以下，再生时钟的频谱应既不选择性地强调也不选择性地去强调需要从输入信号中恢复的时钟的频谱。

在再生设备或网络中的时钟分配情况下，此要求是明确且严格的.

这就是为什么二阶模型仍然描述了环路的重要性能，以及为什么可能的补偿只补偿边际性能的原因。但是三阶模型很复杂，不值得花精力去记住它们本身，因为基本性能仅取决于底层的二阶系统。

• 改造二阶系统并在较高频率范围内运行的滞后补偿器的情况并不复杂，并且在实际中总是相关的。所有实际系统在其频率行为上都受到高频极点的限制，这些极点不可避免地来自所涉及电路的有限带宽。此外，在 CDR 中，至少会故意添加一个第一个高频极点（相位比较器或电荷泵输出处的低通滤波器），但频率足够高，不会干扰所需的环路特性。

• 改造二阶系统并在较低频率范围内运行的滞后补偿器原则上是适用的，但仅适用于 2-1 系统。它不会改善 2-2 CDR，因为 2-2 CDR 在开环传递函数中已经在低频下具有非常高的增益。
  这种二阶 1 型系统显然会受益于稳态（= 采样）误差压缩到更低的值，这是添加补偿器带来的结果。但是，这种改进的性能只有在采集阶段很久之后才会显现出来，并且与补偿器的极点/零点对的平均频率与 ω_n2 之间的比率成正比。这是一个补偿 CDR 如何不会实质上改变基本环路行为的例子：实际上，更长的建立时间也将与跟踪带宽的成比例减少相关联，从而降低采样误差。

两个基本二阶模型（可以通过结合补偿器将其更贴切地建模为三阶系统）仍然是始终需要牢记的基本工具，以便理解环路的重要性能。

三阶模型很少以这种形式使用，尽管仿真通常会包含额外的极点和/或补偿器。