复变函数/复数/引言

本书假设您对复数有一定的了解。事实上，本书中的许多内容都假设您已经熟悉多元微积分。如果您之前没有接触过复数，建议您阅读更详细的介绍，其中包含更多关于复数算术的练习，本书假设您已经熟悉这些练习。这类介绍通常可以在代数（或“代数 II”）教材中找到，例如代数华夏公益教科书中关于复数的部分。

直观地，一个复数z可以写成以下形式

$z=x+iy$,

其中x和y是实数，i是虚数，满足$i^{2}=-1$。我们称x为z的实部，y为z的虚部，分别用${\text{Re }}z$和${\text{Im }}z$表示。注意，对于数字$z=3-2i$，${\text{Im }}z=y=-2$，不是$-2i$。此外，为了区分复数和纯实数，我们通常用字母z和w表示复数。有一个更正式的复数定义很有用。例如，人们经常会遇到关于复数的处理方法，其中指出$i$是那个满足$i={\sqrt {-1}}$的数字，然后我们使用$i$，使用我们通常用于算术的许多规则。不幸的是，如果不注意，这会导致困难。并非所有通常的代数规则都能以我们预期的方式延续。例如，以下计算中存在一个缺陷：$i={\sqrt {-1}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {1}{i}}=-i$，但如果没有先清楚地了解复数是什么以及允许对复数进行哪些运算，就很难指出缺陷所在。

在数学上，复数被定义为一个有序对，并赋予代数运算。

定义

一个复数z是实数的有序对。也就是说$z=(x,y)$，其中x和y是实数。所有复数的集合用符号$\mathbb {C}$表示。

这个定义最直接的结果是我们可以将复数看作平面上的一点。将这个定义与上面的直观定义进行比较，很容易看出虚数i只是作为占位符来表示哪个数字属于第二个坐标。

定义

我们在复平面上定义以下两个函数。令 $z=(x,y)$ 为一个复数。我们定义实部为函数 ${\text{Re}}:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$，其定义为 ${\textrm {Re}}(z)=x$。类似地，我们定义虚部为函数 ${\textrm {Im}}:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$，其定义为 ${\textrm {Im}}(z)=y$。

我们说两个复数相等，当且仅当它们作为有序对相等。也就是说，如果 $z=(x,y)$ 和 $w=(u,v)$，那么 z = w 当且仅当 x = u 且 y = v。更简洁地说，两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部相等。

如果复数仅仅是有序对，那么我们对它们就没什么好说的了。但是，复数是有序对，并且还包含几个代数运算，正是这些运算使复数变得如此有趣。

定义

令 z = (x, y) 和 w = (u, v)，那么我们定义加法为

z + w = (x + u, y + v)

乘法定义为

z · w = (x · u − y · v, x · v + y · u)

当然，我们可以将任何实数 r 看作是一个复数。使用我们对复数的直观模型，很明显实数 r 应该对应于复数 (r, 0)，并且在这种识别下，上述运算完全对应于实数加法和乘法的通常定义。在本文的其余部分，我们将随意地将实数 r 称为复数，其中理解了上述识别。

以下关于加法和乘法的性质很容易从实数的对应运算中推导出。它们的验证留作读者练习。令 z、w 和 v 为复数，那么

• z + (w + v) = (z + w) + v	(加法结合律)；
• z · (w · v) = (z · w) · v	(乘法结合律)；
• z + w = w + z	(加法交换律)；
• z · w = w · z	(乘法交换律)；
• z · (w + v) = z · w + z · v	(分配律)。

复数加法和乘法的一个优点是，0 和 1 在复数中的作用与它们在实数中的作用相同。也就是说，0 是复数的加法单位元（意味着 z + 0 = 0 + z = z），而 1 是乘法单位元（意味着 z · 1 = 1 · z = z）。

当然，此时自然会问到减法和除法。但是，我们没有直接给出减法和除法的公式，而是遵循其他代数主题的惯例，首先讨论逆运算。

定义

令 z = (x, y) 为任何复数，那么我们定义加法逆元 −z 为

−z = (−x, −y)

然后很容易验证 z + −z = 0。

现在，对于任何两个复数 z 和 w，我们定义 z − w 为 z + −w。现在我们来对乘法做同样的事情。

定义

令 z = (x, y) 为任何非零复数，那么我们定义乘法逆元，${\tfrac {1}{z}}$ 为

${\frac {1}{z}}={\Big (}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}{\Big )}$

留给读者验证 $z\cdot {\tfrac {1}{z}}=1$。

现在我们可以定义除法为 ${\tfrac {z}{w}}=z\cdot {\tfrac {1}{w}}$。与实数一样，除以零仍然是未定义的。为了使最后这个定义更有意义，引入复数上的另外两个运算是有帮助的。第一个是绝对值。

定义

令 z = (x, y) 为任何复数，那么我们定义复数绝对值，记为 |z| 为

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

请注意，|z| **始终** 是一个实数，并且 |z| ≥ 0 **对于任何** z 都成立。

当然，根据绝对值的这个定义，如果 z = (x, y) ，那么 |z| 就与向量 (x, y) 的模相同。

在介绍第二个定义之前，请注意，我们直观的定义只是要求我们找到一个平方等于 -1 的数。当然， i² = (−i)² = −1 ，因此作为起点，可以选择 -i 作为最基本的虚数。这个想法激发了以下定义。

定义

设 z = (x, y) 是任何复数，则我们定义 z 的 **共轭** ，记为 ${\bar {z}}$ 为

${\bar {z}}=(x,-y).$

根据这个定义，很容易验证 $z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}$ ，因此将两边除以 |z|² ，我们得到 $z\cdot {\tfrac {\bar {z}}{|z|^{2}}}=1$ 。将此与上面乘法逆元的定义进行比较。

回顾一下，平面上的每个点都可以用直角坐标表示，例如 (x, y) ，当然数字分别表示到 x 轴和 y 轴的距离。但这个点也可以用极坐标 (r, θ) 表示，其中第一个数字表示到原点的距离，第二个数字是连接原点和点的一条线段与正 x 轴形成的角度。由于复数可以简单地看作平面上的点，我们可以立即推导出复数的极坐标表示。像往常一样，我们可以令一个点 z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) ，其中 $\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 。θ 的选择不是唯一的，因为正弦和余弦是 2π 周期的。一个 θ 值，使得 z = (r cos θ, r sin θ) 称为 z 的 **辐角** 。如果我们将 θ 的选择限制在 0 ≤ θ < 2π ，那么只要 z ≠ 0 ，θ 的选择就是唯一的。这通常被称为 **辐角的主值分支** 。

作为简写，我们可以写成 $\operatorname {cis} \,\theta =\cos \theta +i\sin \theta$ ，因此 $z=r\operatorname {cis} \theta$ 。这种表示法简化了乘法和求幂运算，因为

$z_{1}z_{2}\,\!$	$=(r_{1}\operatorname {cis} \theta _{1})(r_{2}\operatorname {cis} \theta _{2})$
	$=r_{1}r_{2}\left[\left(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1}\right)\left(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2}\right)\right]$
	$=r_{1}r_{2}\left[\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)+i\left(\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\right]$
	$=r_{1}r_{2}\left(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\right)$
	$=r_{1}r_{2}\operatorname {cis} (\theta _{1}+\theta _{2})$

根据基本三角恒等式。应用此公式可以简化许多复数计算。

使用归纳法，我们可以证明

$z^{n}=r^{n}\operatorname {cis} (n\theta )$,

对所有正整数 $n$ 成立。

现在我们已经建立了复数的基本概念，我们继续讨论复平面拓扑性质。

习题

1. 用 ${\bar {z}}_{1}$ 和 ${\bar {z}}_{2}$ 表示 ${\overline {(z_{1}+z_{2})}}$.
2. 用 ${\bar {z}}_{1}$ 和 ${\bar {z}}_{2}$ 表示 ${\overline {z_{1}z_{2}}}$.
3. 证明复平面上的绝对值满足 **三角不等式**。也就是说，证明

   $|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|.$

4. 证明复平面上的绝对值满足 **反三角不等式**。也就是说，证明

   $|z_{1}+z_{2}|\geq {\big |}|z_{1}|-|z_{2}|{\big |}.$

5. 给定一个非零复数 $z=r\operatorname {cis} (\theta )$，确定 $r'$ 和 $\theta '$，使得 ${\frac {1}{z}}=r'\operatorname {cis} (\theta ')$。
6. 确定 ${\text{Re }}z$ 和 ${\text{Im }}z$ 的公式，以 $z$ 和 ${\bar {z}}$ 表示。
7. 找到 $n$ 个不同的复数 $z_{k}$，$k=0,\ldots ,n-1$，使得 $z_{k}^{n}=z$。提示：使用上面给出的 $z_{k}^{n}$ 公式和 $2\pi$ 周期性 $\cos(\theta )$ 和 $\sin(\theta )$。

接下来