复变函数/复数/拓扑

正如我们已经看到的那样，复数被识别为欧几里得平面。因此，我们对平面的许多了解都适用于复数并不奇怪。在本节中，我们将特别关注复平面的*拓扑*性质。什么是“拓扑性质”？在数学中，拓扑一词用来描述空间的某些几何性质。在这里，我们将主要关注开放、封闭和连通的概念。极限的概念也属于这一部分，因为它实际上是关于复平面几何的一个表述，即说两个量是“接近的”或一个量“趋近于”另一个量。

我们从复数序列的极限概念开始。

我们说复数序列 $z_{n}$ 的极限为 $z$ ，如果给定 $\epsilon >0$ ，存在一个自然数 $N$ ，使得如果 $n>N$ ，则 $|z-z_{n}|<\epsilon .$

极限这个概念的一个困难之处在于，它要求我们事先知道极限，才能确定一个序列是否收敛。为了处理我们不知道极限的情况，下面给出了一个等价的重新表述，称为收敛的柯西判据。

一个复数序列 $z_{n}$ 收敛于某个极限，当且仅当给定 $\epsilon >0$ ，存在一个自然数 $N$ ，使得如果 $m,n>N$ ，则 $|z_{m}-z_{n}|<\epsilon .$

这个等价性的一个方向很容易证明，但另一个方向依赖于复数的完备性。这是一个我们将在后面讨论的主题。

当然，这与 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的点序列的极限定义完全相同。当然，序列极限的一个重要应用是定义数列的收敛性。

给定一个级数 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }z_{n}$ ，我们定义阶数为 $N$ 的部分和为 $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}z_{n}$ 。如果 $z=\lim _{n\to \infty }S_{n}$ ，则我们说这个无穷级数收敛于 $z$ 。

请注意，当柯西准则应用于无穷级数时，它将采用以下形式：给定 $\epsilon >0$ ，存在一个 $N$ 使得，如果 $n,m>N$ ，则 ${\bigg |}\sum _{m+1}^{n}z_{n}{\bigg |}<\epsilon$ 。

为了提供一个具体的例子，考虑级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$ 。对于固定的 $z$ ，很容易看出这个级数收敛，我们将它收敛到的值表示为 $e^{z}$ 。

为了证明这一点，我们只需从我们对实数的了解开始“自举”。回想一下，对于实数 $|z|$ ，我们知道 $e^{|z|}$ 的和收敛。将柯西准则应用于 $e^{|z|}$ ，我们知道存在一个 $N$ 使得，如果 $n,m>N$ ，则 $\sum _{m+1}^{n}{\frac {|z|^{n}}{n!}}<\epsilon$ 。现在考虑级数 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}/n!$ 。对于上面确定的 $N$ ，让我们检查 ${\big |}S_{n}-S_{m}{\big |}$ ，其中 $n\geq m>N$ 。

{\big |}S_{n}-S_{m}{\big |}={\bigg |}\sum _{m+1}^{n}{\frac {z^{n}}{n!}}{\bigg |}\leq \sum _{m+1}^{n}{\frac {|z|^{n}}{n!}}<\epsilon

.

因此，根据柯西判据，级数 $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}/n!$ 收敛。

更进一步，我们证明了该级数绝对收敛。回想一下，对于实数级数，级数的任何重新排序都收敛于相同的值。该定理对于复数也成立。对我们来说，研究级数 $e^{i\theta }$ 非常有用，其中 θ 是一个实数。

在这种情况下，我们有

e^{i\theta }=1+(i\theta )+{\frac {(i\theta )^{2}}{2}}+{\frac {(i\theta )^{3}}{6}}+{\frac {(i\theta )^{4}}{4!}}+{\frac {(i\theta )^{5}}{5!}}+{\frac {(i\theta )^{6}}{6!}}+{\frac {(i\theta )^{7}}{7!}}+\cdots

现在，利用 $i^{2n}=(-1)^{n}$ 和 $i^{2n+1}=(-1)^{n}i$ ，我们可以将上面的级数改写为

e^{i\theta }=1+i\theta -{\frac {\theta ^{2}}{2}}-i{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+i{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-i{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots

最后，如果我们重新排列级数以确定实部和虚部，我们得到

e^{i\theta }={\bigg (}1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\cdots {\bigg )}+i{\bigg (}\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots {\bigg )}

但现在，我们通过观察注意到，第一个括号中的级数正是 $\cos \theta$ 的泰勒级数，第二个括号中的级数正是 $\sin \theta$ 的泰勒级数。因此，我们得出结论

欧拉公式: $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \!.$

因此，我们不再需要 cis θ 这个名称，而是直接使用 $e^{i\theta }$ .

高级主题

本节包含一些更高级的主题，在第一次阅读本文时，可能需要跳过这些主题。

度量性质

定义度量 $d:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {R}$ 为

$d(z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|$

不难看出， $d$ 满足正定性、对称性和三角不等式，这意味着 $\mathbb {C}$ 是一个度量空间。

完备性

回想一下，如果每个柯西序列都收敛到一个极限，那么度量空间被称为完备。

对于任何点 $z_{0}\in \mathbb {C}$ ，我们称开球 $B_{\delta }(z_{0})$ ，它包含所有满足 $|z-z_{0}|<\delta$ 的所有点 $z$ ，是 $z_{0}$ 的邻域。类似地，对于正的 δ，由满足 $|z|>\delta$ 的点 z 组成的集合被称为无穷大的邻域。给定一个集合 ${\mathfrak {G}}\subset \mathbb {C}$ ，如果 ${\mathfrak {G}}$ 中的每个点都有一个完全包含在 ${\mathfrak {G}}$ 中的邻域，我们称该集合为开集。类似地，如果一个集合的补集是开集，我们称该集合为闭集。一个点 $z$ 被称为 ${\mathfrak {G}}$ 的聚点，如果 z 的每个邻域都包含 ${\mathfrak {G}}$ 中的一个点，该点不同于 z 本身。可以证明，一个集合是闭集当且仅当它包含所有它的聚点：见证明.