控制系统/离散时间稳定性
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离散时间或数字系统的稳定性分析类似于连续时间系统的分析。然而，两者之间存在足够的差异，因此需要单独的章节来进行说明。
如果存在一个正的常数 L，使得以下条件成立，则 LTI 因果系统是一致 BIBO 稳定的
![{\displaystyle x[n_{0}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6475aebd307d5c470fd8e34059615fcb0cd4861)
![{\displaystyle \|u[n]\|\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303eccf67e1d761aa092eee351727bc3108d9e09)
意味着
![{\displaystyle \|y[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8bf7f608ba8292dd99c8721ea388a903cfa32e)
我们可以将离散时间系统的脉冲响应矩阵定义为
[脉冲响应矩阵]
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3c7e26c324cb2aad5a5940457bfba00e3f77ce)
或者，在一般时变情况下
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}C\phi [n,n_{0}]B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c455ebe07eb605f959ad30aa1c65f4093b0783)
当且仅当存在一个正的常数 L，使得对于所有非负的 k，以下公式成立时，数字系统是 BIBO 稳定的
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\|G[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c006c870844644293fd834f0c0e1250b8fb800d)
当且仅当传递函数矩阵中每个传递函数的每个极点的幅值小于 1 时，MIMO 离散时间系统才是 BIBO 稳定的。所有传递函数的所有极点都必须存在于 Z 平面的单位圆内。
李雅普诺夫稳定性定理有一个离散版本适用于数字系统。给定离散李雅普诺夫方程
[数字李雅普诺夫方程]
我们可以使用这个版本的李雅普诺夫方程来定义离散时间系统稳定性的条件
- 李雅普诺夫稳定性定理（数字系统）
- 如果一个具有系统矩阵 A 的数字系统渐近稳定，当且仅当存在一个唯一的矩阵 M，对于每个正定矩阵 N，它都能满足李雅普诺夫方程。
G(z) 的每个极点都是系统矩阵 A 的一个特征值。但 A 的每个特征值不一定是 G(z) 的极点。与传递函数的极点类似，系统矩阵的所有特征值的大小必须小于 1。用数学公式表示为
如果系统矩阵 A 的特征值或传递函数的极点的大小大于 1，则系统不稳定。
数字计算机系统存在一个固有问题，因为可实现的计算机系统使用有限字长来处理数据。一些问题包括：
- 实数只能用有限精度表示。通常，计算机系统只能将一个数字精确地表示到有限的小数位数。
- 由于上述原因，具有反馈的计算机系统在每次程序迭代时都会累积误差。算法中的一步中的微小误差会导致程序后期出现较大误差。
- 计算机系统中的整数具有有限长度。因此，整数会根据计算机系统的设计，要么 **溢出**，要么 **饱和**。这两种情况都会导致结果不准确。