控制系统/方程列表

以下是文本中重要方程的列表，按主题排列。有关这些方程的更多信息，包括每个变量和符号的含义、这些函数的用途或这些方程的推导，请参阅正文中的相关页面。

基本方程

[欧拉公式]

$e^{j\omega }=\cos(\omega )+j\sin(\omega )$

[卷积]

$(a*b)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

[卷积定理]

${\mathcal {L}}[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)$

${\mathcal {L}}[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)$

[特征方程]

$|A-\lambda I|=0$

$Av=\lambda v$

$wA=\lambda w$

[分贝]

$dB=20\log(C)$

基本输入

[单位阶跃函数]

$u(t)=\left\{{\begin{matrix}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{matrix}}\right.$

[单位斜坡函数]

$r(t)=tu(t)$

[单位抛物线函数]

$p(t)={\frac {1}{2}}t^{2}u(t)$

误差常数

[位置误差常数]

$K_{p}=\lim _{s\to 0}G(s)$

$K_{p}=\lim _{z\to 1}G(z)$

[位置误差常数]

$K_{v}=\lim _{s\to 0}sG(s)$

$K_{v}=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)$

[速度误差常数]

$K_{a}=\lim _{s\to 0}s^{2}G(s)$

$K_{a}=\lim _{z\to 1}(z-1)^{2}G(z)$

系统描述

[一般系统描述]

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t,r)x(r)dr$

[卷积描述]

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

[传递函数描述]

$Y(s)=H(s)X(s)$

$Y(z)=H(z)X(z)$

[状态空间方程]

$x'(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

[传递矩阵]

$C[sI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (s)$

$C[zI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (z)$

[传递矩阵描述]

$\mathbf {Y} (s)=\mathbf {H} (s)\mathbf {U} (s)$

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\mathbf {U} (z)$

[梅森公式]

$M={\frac {y_{out}}{y_{in}}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {M_{k}\Delta \ _{k}}{\Delta \ }}$

反馈回路

[闭环传递函数]

$H_{cl}(s)={\frac {KGp(s)}{1+KGp(s)Gb(s)}}$

[开环传递函数]

$H_{ol}(s)=KGp(s)Gb(s)$

[特征方程]

$F(s)=1+H_{ol}$

变换

[拉普拉斯变换]

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

[逆拉普拉斯变换]

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={1 \over {2\pi }}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{st}F(s)\,ds$

[傅里叶变换]

$F(j\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

[逆傅里叶变换]

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$

[星形变换]

$F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{i=0}^{\infty }f(iT)e^{-siT}$

[Z 变换]

$X(z)={\mathcal {Z}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

[逆Z变换]

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\$

[修正的Z变换]

$X(z,m)={\mathcal {Z}}(x[n],m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n+m-1]z^{-n}$

变换定理

[终值定理]

$x(\infty )=\lim _{s\to 0}sX(s)$

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z)$

[初值定理]

$x(0)=\lim _{s\to \infty }sX(s)$

状态空间方法

[一般状态方程解]

$x(t)=e^{At-t_{0}}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

$x[n]=A^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}A^{n-1-m}Bu[n]$

[一般输出方程解]

$y(t)=Ce^{At-t_{0}}x(t_{0})+C\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)$

$y[n]=CA^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}CA^{n-1-m}Bu[n]+Du[n]$

[时变通解]

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )u(\tau )d\tau$

$x[n]=\phi [n,n_{0}]x[t_{0}]+\sum _{m=n_{0}}^{n}\phi [n,m+1]B[m]u[m]$

[脉冲响应矩阵]

$G(t,\tau )=\left\{{\begin{matrix}C(\tau )\phi (t,\tau )B(\tau )&{\mbox{ if }}t\geq \tau \\0&{\mbox{ if }}t<\tau \end{matrix}}\right.$

$G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}N&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.$

根轨迹

[幅值方程]

$1+KG(s)H(s)=0$

$1+K{\overline {GH}}(z)=0$

[相位方程]

$\angle KG(s)H(s)=180^{\circ }$

$\angle K{\overline {GH}}(z)=180^{\circ }$

[渐近线数量]

$N_{a}=P-Z$

[渐近线角度]

$\phi _{k}=(2k+1){\frac {\pi }{P-Z}}$

[渐近线起点]

$\sigma _{0}={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}$

[分离点位置]

${\frac {G(s)H(s)}{ds}}=0$ 或 ${\frac {{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0$

李雅普诺夫稳定性

[李雅普诺夫方程]

$MA+A^{T}M=-N$

控制器和补偿器

[PID]

$D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s$

$D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]$

控制系统