控制系统/噪声驱动系统

噪声驱动系统

系统通常不仅要处理控制输入u，还要处理随机噪声输入v。在某些学科中，例如在电信系统的研究中，噪声和数据信号可以加在一起形成一个复合输入r = u + v。但是，在研究控制系统时，由于各种不同的原因，我们不能将这些输入组合在一起

1. 控制输入用于稳定系统，而噪声输入用于使系统不稳定。
2. 这两个输入是独立的随机变量。
3. 这两个输入可能以完全不同的方式作用于系统。

正如我们将在下一个示例中展示的那样，将噪声和控制输入分开考虑通常是一个好主意

示例：考虑一辆正在移动的汽车。汽车的控制信号包括作用于车辆车轮的加速（油门踏板）和减速（刹车踏板）输入，并用于产生前进运动。系统的噪声输入可以包括风对汽车垂直面的推力、轮胎下方的粗糙路面（甚至泥土）、撞击挡风玻璃的虫子和碎屑等。正如我们所看到的，控制输入作用于车辆的车轮，而噪声输入可以以不同的方式作用于车辆的多个侧面。

概率复习

我们将在下面对基于微积分的概率做一个简短的复习，重点关注我们将在本章其余部分使用的主题。

期望

期望运算符E用于找到给定随机变量的预期值或平均值。期望运算符定义为

$E[x]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)dx$

如果我们有两个相互独立的变量，则它们的乘积的期望为零。

协方差

协方差矩阵Q是随机向量与其转置的期望

$E[x(t)x'(t)]=Q(t)$

如果我们在不同的时间点取x转置的值，我们可以计算出协方差为

$E[x(t)x'(s)]=Q(t)\delta (t-s)$

其中 δ 是脉冲函数。

噪声驱动系统描述

我们可以定义包含噪声向量v的系统的状态方程

$x'(t)=A(t)x(t)+H(t)u(t)+B(t)v(t)$

为了普遍性，我们将讨论时变系统的案例。时不变系统结果将是时变案例的简化。此外，我们将假设v是高斯随机变量。我们之所以这样做，是因为物理系统通常近似于高斯过程，而且我们有一套庞大的数学工具可以用来处理这些过程。我们将假设我们的高斯过程均值为零。

平均系统响应

我们想了解我们的系统将如何响应新的噪声输入。每次系统迭代都将产生不同的响应，该响应随噪声输入而变化，但所有这些迭代的平均值应该收敛于单个值。

对于控制输入为零的系统，我们有

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)v(t)$

对于它，我们知道我们的通解给出为

$x(t)=\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau$

如果我们取这个函数的**期望值**，它应该给我们系统输出的期望值。换句话说，我们希望通过添加一个新的噪声输入来确定系统的预期输出将是什么。

$E[x(t)]=E[\phi (t,t_{0})x_{0}]+E[\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau ]$

在这个等式的第二项中，φ 和 B 都不是随机变量，因此它们可以从期望运算中移出。由于v 是零均值的，它的期望为零。因此，第二项为零。在第一个等式中，φ 不是随机变量，但 x₀ 会导致x(t) 的输出产生依赖关系，我们需要对其进行期望。这意味着

$E[x(t)]=\phi (t,t_{0})E[x_{0}]$

换句话说，系统的预期输出平均而言是，如果没有任何噪声，输出将是什么样的值。请注意，如果我们的噪声向量v 不是零均值的，并且它不是高斯分布的，这个结果将不成立。

系统协方差

我们现在将分析具有噪声输入的系统的协方差。我们将我们的系统解乘以它的转置，并取期望值：（此等式很长，可能会分成多行）

$E[x(t)x'(t)]=E[\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )v(\tau )d\tau ]$$E[(\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )v(\tau )d\tau )']$

如果我们逐项乘以这个，并取消期望值为零的期望，我们会得到以下结果

$E[x(t)x'(t)]=\phi (t,t_{0})E[x_{0}x_{0}']\phi '(t,t_{0})=P$

我们将这个结果称为P，我们可以使用链式法则找到 P 的一阶导数

$P'(t)=A(t)\phi (t,t_{0})P_{0}\phi (t,t_{0})+\phi (t,t_{0})P_{0}\phi '(t,t_{0})A'(t)$

其中

$P_{0}=E[x_{0}x_{0}']$

我们可以将其简化为

$P'(t)=A(t)P(t)+P(t)A'(t)+B(t)Q(t)B'(t)$

换句话说，我们可以分析系统 *而无需计算状态转移矩阵*。 这是件好事，因为计算状态转移矩阵通常非常困难。

替代分析

让我们再次看看我们的通解

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau$

我们可能会遇到一个问题，因为在高斯分布中，尤其是具有高方差的系统（尤其是具有无限方差的系统），*v* 的值可能会在短时间内变得未定义（接近无穷大），这会导致 *x* 的值在某些点同样变得未定义。 这是不可接受的，并且使这个问题的进一步分析变得困难。 让我们再看看我们原来的方程，其中控制输入为零

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)v(t)$

我们可以将两边乘以 *dt*，得到以下结果

$dx=A(t)x(t)dt+B(t)v(t)dt$

这个新项，*dw*，是一个随机过程，被称为 **维纳过程**，它是以这种方式变换高斯过程的结果。

我们可以定义一个新的微分，*dw(t)*，它是时间的无穷小函数，如

$dw(t)=v(t)dt$

现在，我们可以对该方程的两边进行积分

$x(t)=x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}A(\tau )x(\tau )d\tau +\int _{t_{0}}^{t}B(\tau )dw(\tau )$

然而，这将我们带到一个不寻常的地方，也是我们（可能）没有准备进一步深入的地方：在左边第三项中，我们试图相对于一个 *函数* 而不是一个 *变量* 进行积分。 在这种情况下，我们都熟悉的标准黎曼积分无法求解这个方程。 然而，有一些称为 **伊藤微积分** 的高级技术可以求解这个方程，但这些方法目前超出了本书的范围。

← 常见非线性

控制系统