控制系统/多项式设计

多项式设计

多项式设计是一种强大的工具，用于设计控制器和补偿器系统。多项式设计通常包括两个独立的阶段

1. 确定系统所需的响应
2. 调整你的系统以匹配所需的响应。

我们通过创建多项式（例如变换域传递函数）并使系数相等来找到所需的值。所有这些的目标是能够将我们系统中的所有极点任意放置在变换域中我们想要的任何位置。换句话说，我们希望任意修改我们系统的响应以匹配任何所需的响应。本章的要求是系统完全可控且可观测。如果这两个条件中的任何一个不满足，则此方法中的技术无法直接实现。

通过这种方法，假定工厂是给定的，不可改变。为了调整系统的响应，需要设计一个控制器单元来帮助系统满足规范。由于控制器是定制设计的，因此可以任意确定控制器的响应（当然是在物理限制范围内）。

多项式表示

假设我们有一个工厂G(s)和一个控制器C(s)。控制器和工厂都是适当的系统，由单项式分子和分母多项式组成。工厂G(s)的阶数为n，是给定的，不能改变。任务是设计阶数为m的控制器C(s)

$G(s)={\frac {b(s)}{a(s)}}$

$C(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}$

我们的闭环系统H(s)将具有以下传递函数

$H(s)={\frac {C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}}={\frac {B(s)b(s)}{A(s)a(s)+B(s)b(s)}}$

那么我们的特征方程是

$\alpha _{H}(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s)$

我们的工厂是给定的，所以我们知道a(s)和b(s)，但是A(s)和B(s)是作为我们控制器的一部分可配置的。为了确定这些值，我们必须选择一个所需的响应，即我们的系统应该具有的响应。我们称我们所需的响应为D(s)。我们可以通过求解丢番图方程来配置我们的控制器，使其使我们的系统匹配所需的响应

$D(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s)$

丢番图方程

丢番图方程变为关于A(s)和B(s)多项式的未知系数的线性方程组。在某些情况下，丢番图方程将产生唯一的结果，但也有可能产生非唯一的结果。

我们相乘多项式，然后合并s的幂

$D(s)=(A_{0}a_{0}+B_{0}b_{0})+$$(A_{0}a_{1}+A_{1}a_{0}+B_{0}b_{1}+B_{1}b_{0})s+$$\cdots +(A_{m}a_{n}+B_{m}b_{n})s^{m+n}$

现在我们可以使D(s)的系数相等，我们得到的方程组如下

${\begin{bmatrix}a_{0}&b_{0}&0&0&\cdots &0&0\\a_{1}&b_{1}&a_{0}&b_{0}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n}&b_{n}&a_{n-1}&b_{n-1}&\cdots &a_{0}&b_{0}\\0&0&a_{n}&b_{n}&\cdots &a_{1}&b_{1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &a_{n}&b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\\\vdots \\A_{m}\\B_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}D_{0}\\D_{1}\\\vdots \\D_{n+m}\end{bmatrix}}$

这个矩阵可能很大，但模式很简单：新系数从左侧移入，旧系数从右侧移出到每行。

唯一性条件

我们将称之为S的丢番图矩阵的维数为(n + m + 1) × (2m + 2)。如果丢番图矩阵是方阵，则该方程的解是唯一的，因此是可逆的。如果矩阵的列数多于行数，则解将不唯一。如果矩阵的行数多于列数，则复合系统的极点不能任意放置。

如果m = n - 1，则可以满足唯一性条件。控制器的阶数必须比被控对象的阶数低一个阶数。如果控制器的阶数更高，则解将不唯一。如果控制器的阶数更低，则不能任意分配所有极点。

示例：二阶系统

我们给定一个系统G(s)，并被告知我们需要设计一个具有所需系统响应D(s)的跟踪系统。G(s)和D(s)定义如下：

$G(s)={\frac {1}{s^{2}-1}}$

$D(s)=(s+2)^{3}=s^{3}+6s^{2}+12s+8$

我们的被控对象阶数为n = 2，这意味着控制器必须具有阶数m = 1才能得到唯一解。此外，我们期望的响应为阶数n + m = 3。我们的控制器类似于PID控制器的形式

$C(s)={\frac {B_{0}+B_{1}s}{A_{0}+A_{1}s}}$

构造丢番图方程，得到

${\begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&0&-1&1\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\12\\6\\1\end{bmatrix}}$

最后两行给出

$A_{1}=1$

$A_{0}=6$

前两行给了我们

$B_{0}=14$

$B_{1}=13$

最终控制器变为

$C(s)={\frac {14+13s}{6+s}}$

示例：直升机控制

以下部分摘自 ControlTheoryPro.com，经许可转载。

极点配置是控制器设计最直接的方法。以下是使用极点配置技术设计系统的步骤：

1. 设计从假设控制器的形式开始，以便控制给定的对象。
2. 根据该假设，形成一个符号特征方程。
3. 此时，必须确定所需的闭环极点。
4. 通常，规范会指定过冲、上升时间等。这将导致形成一个 二阶方程。大多数时候，最终的特征方程将具有两个以上的极点。因此，必须确定额外的所需极点。
5. 一旦确定了闭环极点，就形成一个期望的特征方程。
6. 将符号特征方程与期望方程中每个 s 幂的系数进行等式。
7. 使用代数来确定在假设的控制器形式下实现所需闭环极点所需的控制器系数。

通常，使用积分器将稳态误差驱动到 0。这意味着最终的特征方程至少比非控制系统开始时的极点多一个。

以下极点配置示例将向您展示如何决定所需的闭环极点，确定“额外”的闭环极点，并创建一个通用 PID 控制器 来实现这些所需的闭环极点。

假设一个具有以下形式的二阶系统：

$H(s)=K{\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}{\mbox{ for }}0\leq \zeta \leq 1$

其中

$K$ 是系统增益

$\omega _{n}$ 是系统的固有频率

$\zeta$ 是系统的阻尼比。

此外，我们假设一个形式的补偿器

[1]

$K\left(s\right)={\frac {\left(B_{0}+B_{1}s\right)}{A_{0}+A_{1}s}}$

足以控制该对象。得到的特征方程为

$\Phi =\left(s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}\right)\left(A_{0}+A_{1}s\right)+\left(B_{0}+B_{1}s\right)\omega _{n}^{2}$.

这可以简化为

[2a]

$\Phi =A_{1}s^{3}+\left(2A_{1}\zeta \omega _{n}+A_{0}\right)s^{2}+\left(A1\omega _{n}^{2}+2A_{0}\zeta \omega _{n}+B_{1}\omega _{n}^{2}\right)s+\omega _{n}^{2}\left(A_{0}+B_{0}\right)$

以矩阵形式表示为

[2b]

${\begin{bmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{n}^{2}&\omega _{n}^{2}&0&0\\2\zeta \omega _{n}&0&\omega _{n}^{2}&\omega _{n}^{2}\\1&0&2\zeta \omega _{n}&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\end{bmatrix}}$

此时，我们需要决定所需的闭环极点。为此，我们需要考虑系统的超调量和稳定时间（或峰值时间）。每个的方程为

$M_{p}=e^{\left({\frac {-\pi \zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}$

$\tau _{s}={\frac {4.6}{\zeta \omega _{n}}}$

$\tau _{p}={\frac {\pi }{\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$

其中

$M_{p}$ 是超调量，

$\tau _{s}$ 是 1% 稳定时间，

$\tau _{p}$ 是峰值时间。

使用超调量方程，我们发现一个常用的值，$\zeta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$，仅提供 4.3% 的超调量。观察峰值时间方程，我们可以得知，$\omega _{n}={\sqrt {2}}$ 提供了 $\pi$ 秒的峰值时间。然而，3 秒多可能太慢了。让我们改为目标 0.5 秒。这需要

$\omega _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{0.5}}$.

回顾

• $\zeta =\zeta _{desired}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$
• $\omega _{n}=\omega _{desired}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{0.5}}=8.8858$

然而，这使我们只在目标特征方程中得到 2 个根（极点）。由于我们希望上述参数主导闭环系统动力学，因此我们选择一个远高于目标自然频率的第 3 个极点。

[3]

$\left(s+a\right)\left(s^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}s+\omega _{desired}^{2}\right)$

其中

• $a=10\omega _{desired}$ 是我们的第 3 个极点。

这个第 3 个极点是一个高频极点，它使目标极点能够主导闭环系统响应，同时使目标特征方程具有正确的极点数。

我们的目标特征方程（公式 3）可以简化为

$\Phi _{desired}\left(s\right)=s^{3}+\left(2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a\right)s^{2}+\left(\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a\right)s+a\omega _{desired}^{2}$

这将导致

$p_{3}=1$

$p_{2}=2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a$

$p_{1}=\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a$

$p_{0}=a\omega _{desired}^{2}$

从这里，我们回到特征方程（公式 **2a** 或 **2b**）以确定

$A_{1}=1$

$A_{0}=2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a-2\zeta \omega _{n}$

$B_{0}={\frac {\left(a\omega _{desired}^{2}-A_{0}\omega _{n}^{2}\right)}{\omega _{n}^{2}}}$

$B_{1}={\frac {\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a-2\zeta \omega _{n}A_{0}-A_{1}\omega _{n}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}$

注意事项

这种方法可能会出现一些问题。

阶数不足

如果K(s)的多项式次数为m，而G(s)的多项式次数为n，那么我们的复合系统H(s)将具有m + n的总次数。如果我们的控制器阶数不够高，我们将无法随意分配系统中的每个极点。从状态空间来看，我们知道无法随意分配的极点被称为不可控。添加阶数不足的控制器会导致系统中一个或多个极点不可控。

外部链接

• ControlTheoryPro.com 网站关于极点配置的文章

控制系统

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