控制系统/时变系统解

一般时变解

状态空间方程可以针对时变系统求解，但求解过程比时不变情况复杂得多。我们的时变状态方程如下所示

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

我们可以说，时变状态方程的一般解定义为

[时变一般解]

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$

矩阵维度
A: p × p
B: p × q
C: r × p
D: r × q

函数 $\phi$ 称为 **状态转移矩阵**，因为它（就像时不变情况下的矩阵指数）控制状态方程中状态的变化。然而，与时不变情况不同，我们不能将其定义为简单的指数。事实上，$\phi$ 一般不能定义，因为它实际上对于每个系统都是不同的函数。但是，状态转移矩阵确实遵循一些基本属性，我们可以利用这些属性来确定状态转移矩阵。

在时变系统中，当确定状态转移矩阵时，就获得了通解。因此，我们需要做的第一件事（也是最重要的事情）就是找到那个矩阵。我们将在下面讨论该矩阵的求解方法。

状态转移矩阵

注意:
状态转移矩阵 $\phi$ 是两个变量（我们说 t 和 τ）的矩阵函数。一旦确定了矩阵的形式，我们就会将初始时间 t₀ 代替变量 τ。由于该矩阵的性质以及它必须满足的属性，该矩阵通常由指数函数或正弦函数组成。状态转移矩阵的精确形式取决于系统本身，以及系统微分方程的形式。这种矩阵没有单一的“模板解”。

状态转移矩阵 $\phi$ 并非完全未知，它必须始终满足以下关系

${\frac {\partial \phi (t,t_{0})}{\partial t}}=A(t)\phi (t,t_{0})$

$\phi (\tau ,\tau )=I$

并且 $\phi$ 还必须具有以下属性

1.	$\phi (t_{2},t_{1})\phi (t_{1},t_{0})=\phi (t_{2},t_{0})$
2.	$\phi ^{-1}(t,\tau )=\phi (\tau ,t)$
3.	$\phi ^{-1}(t,\tau )\phi (t,\tau )=I$
4.	${\frac {d\phi (t_{0},t_{0})}{dt}}=A(t)$

如果系统是时不变的，我们可以定义 $\phi$ 为

$\phi (t,t_{0})=e^{A(t-t_{0})}$

读者可以验证这个时不变系统的解是否满足上述所有性质。然而，在时变情况下，可能有多种不同的函数满足这些要求，而解取决于系统的结构。在对时变解进行分析之前，必须确定状态转移矩阵。下面将讨论一些确定该矩阵的方法。

时变，零输入

作为最基本的情况，我们将考虑一个零输入系统的案例。如果系统没有输入，那么状态方程可以表示为

$x'(t)=A(t)x(t)$

我们感兴趣的是该系统在时间间隔 T = (a, b) 内的响应。在这种情况下，我们要做的第一件事是找到上述方程的**基本矩阵**。基本矩阵与

基本矩阵

这里，x 是一个 n × 1 向量，A 是一个 n × n 矩阵。

给定方程

$x'(t)=A(t)x(t)$

该方程的解在时间间隔 T = (a, b) 内构成一个 n 维向量空间。上述方程的任何 n 个线性无关解集 {x₁, x₂, ..., x_n} 被称为**基本解集**。

有线性代数背景的读者可能会认出，基本解集是解空间的**基集**。任何跨越整个解空间的基集都是一个有效的基本解集。

**基本矩阵 FM** 是通过从 n 个基本向量中创建一个矩阵来形成的。我们将用脚本大写字母 X 表示基本矩阵

${\mathcal {X}}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$

基本矩阵将满足状态方程

${\mathcal {X}}'(t)=A(t){\mathcal {X}}(t)$

此外，**任何解决该方程的矩阵都可以是基本矩阵**，当且仅当该矩阵的行列式在时间间隔 T 内的所有时间 t 都不为零。行列式必须不为零，因为我们将使用基本矩阵的逆矩阵来求解状态转移矩阵。

状态转移矩阵

一旦我们有了系统的基本矩阵，我们就可以用它来找到系统的状态转移矩阵

$\phi (t,t_{0})={\mathcal {X}}(t){\mathcal {X}}^{-1}(t_{0})$

基本矩阵的逆矩阵存在，因为我们在上面的定义中指定它必须具有非零行列式，因此必须是非奇异的。读者应该注意，这只是确定状态转移矩阵的一种可能方法，我们将在下面讨论其他方法。

示例：二维系统

给定以下基本矩阵，求状态转移矩阵。

${\mathcal {X}}(t)={\begin{bmatrix}e^{-t}&{\frac {1}{2}}e^{t}\\0&e^{-t}\end{bmatrix}}$

第一步是求基本矩阵的逆矩阵。由于基本矩阵是一个 2 × 2 矩阵，因此可以通过一个通用的公式轻松地求出逆矩阵。

${\mathcal {X}}^{-1}(t)={\frac {\begin{bmatrix}e^{-t}&-{\frac {1}{2}}e^{t}\\0&e^{-t}\end{bmatrix}}{e^{-2t}}}$$={\begin{bmatrix}{e}^{t}&-{\frac {1}{2}}\,{e}^{3t}\\0&{e}^{t}\end{bmatrix}}$

状态转移矩阵由以下公式给出

$\phi (t,t_{0})={\mathcal {X}}(t){\mathcal {X}}^{-1}(t_{0})={\begin{bmatrix}e^{-t}&-{\frac {1}{2}}e^{t}\\0&e^{-t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{e}^{t_{0}}&{\frac {1}{2}}\,{e}^{3t_{0}}\\0&{e}^{t_{0}}\end{bmatrix}}$

$\phi (t,t_{0})={\begin{bmatrix}e^{-t+t_{0}}&{\frac {1}{2}}(e^{t+t_{0}}-e^{-t+3t_{0}})\\0&e^{-t+t_{0}}\end{bmatrix}}$

其他方法

除了求基本矩阵之外，还有其他方法可以求状态转移矩阵。

方法 1

如果 A(t) 是三角矩阵（上三角或下三角），则可以通过依次积分状态方程的各个行来确定状态转移矩阵。

方法 2

如果对于每个 τ 和 t，状态矩阵满足以下交换律

$A(t)\left[\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta \right]=\left[\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta \right]A(t)$

则状态转移矩阵可以表示为

$\phi (t,\tau )=e^{\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta }$

如果满足以下任何条件，则状态转移矩阵将满足上述交换律

1. A 是一个常数矩阵（时间不变）。
2. A 是一个对角矩阵。
3. 如果 $A={\bar {A}}f(t)$，其中 ${\bar {A}}$ 是一个常数矩阵，并且 f(t) 是一个标量值函数（而不是矩阵）。

如果上述条件都不满足，则必须使用方法 3。

方法 3

如果 A(t) 可以分解为以下和

$A(t)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}f_{i}(t)$

其中 M_i 是一个常数矩阵，使得 M_iM_j = M_jM_i，并且 f_i 是一个标量值函数。如果 A(t) 可以以这种方式分解，则状态转移矩阵可以表示为

$\phi (t,\tau )=\prod _{i=1}^{n}e^{M_{i}\int _{\tau }^{t}f_{i}(\theta )d\theta }$

读者可以作为练习来证明，如果 A(t) 是时间不变的，则上述方法 2 中的等式将简化为状态转移矩阵 $e^{A(t-\tau )}$。

示例：使用方法 3

使用上面的方法 3 计算系统的状态转移矩阵，如果系统矩阵 A 由下式给出

$A={\begin{bmatrix}t&1\\-1&t\end{bmatrix}}$

我们可以将该矩阵分解如下

$A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}t+{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

其中 f₁(t) = t，并且 f₂(t) = 1。使用上面描述的公式，我们得到

$\phi (t,\tau )=e^{M_{1}\int _{\tau }^{t}\theta d\theta }e^{M_{2}\int _{\tau }^{t}d\theta }$

求解这两个积分，我们得到

$\phi (t,\tau )=e^{{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}(t^{2}-\tau ^{2})&0\\0&(t^{2}-\tau ^{2})\end{bmatrix}}}e^{\begin{bmatrix}0&t-\tau \\-t+\tau &0\end{bmatrix}}$

第一项是对角矩阵，该矩阵函数的解是矩阵的所有单独元素作为 e 的指数幂。

$e^{\begin{bmatrix}0&t-\tau \\-t+\tau &0\end{bmatrix}}=e^{{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}(t-\tau )}={\begin{bmatrix}\cos(t-\tau )&\sin(t-\tau )\\-\sin(t-\tau )&\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$

最终解表示为

$\phi (t,\tau )=$${\begin{bmatrix}e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}&0\\0&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(t-\tau )&\sin(t-\tau )\\-\sin(t-\tau )&\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$$={\begin{bmatrix}e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\cos(t-\tau )&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\sin(t-\tau )\\-e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\sin(t-\tau )&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$

时变非零输入

如果系统输入非零，我们发现上面执行的所有分析仍然有效。我们仍然可以构建基本矩阵，并且仍然可以使用状态转移矩阵 $\phi$ 来表示系统解。

我们可以证明，状态空间方程的一般解实际上是解

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$

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