控制系统/变换附录

拉普拉斯变换

当我们谈论拉普拉斯变换时，我们实际上是在谈论被称为单边拉普拉斯变换的拉普拉斯变换版本。另一个版本，双边拉普拉斯变换（与下面的双线性变换无关）在这本书中没有使用。

拉普拉斯变换定义为

[拉普拉斯变换]

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}dt$

逆拉普拉斯变换定义为

[逆拉普拉斯变换]

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{2\pi j}}\int _{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }X(s)e^{st}ds$

拉普拉斯变换表

这是一个常见的拉普拉斯变换表。

序号	时域 $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	拉普拉斯域 $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$
1	${\frac {1}{2\pi j}}\int _{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }X(s)e^{st}ds$	$\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}dt$
2	$\delta (t)\,$	$1\,$
3	$\delta (t-a)\,$	$e^{-as}\,$ **e-as**
4	$u(t)\,$ **u(t)**	${\frac {1}{s}}$ **1/s**
5	$u(t-a)\,$ **u(t-a)**	${\frac {e^{-as}}{s}}$ **e-as/s**
6	$tu(t)\,$ **tu(t)**	${\frac {1}{s^{2}}}$ **1/s2**
7	$t^{n}u(t)\,$ **tnu(t)**	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$ **n!/sn+1**
8	${\frac {1}{\sqrt {\pi t}}}u(t)$ **1/(√(πt))u(t)**	${\frac {1}{\sqrt {s}}}$ **1/√s**
9	$e^{at}u(t)\,$ **eatu(t)**	${\frac {1}{s-a}}$ **1/(s-a)**
10	$t^{n}e^{at}u(t)\,$ **tneatu(t)**	${\frac {n!}{(s-a)^{n+1}}}$ **n!/(s-a)n+1**
11	$\cos(\omega t)u(t)\,$ **cos(ωt)u(t)**	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$ **s/(s2+ω2)**
12	$\sin(\omega t)u(t)\,$ **sin(ωt)u(t)**	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$
13	$\cosh(\omega t)u(t)\,$	${\frac {s}{s^{2}-\omega ^{2}}}$
14	$\sinh(\omega t)u(t)\,$	${\frac {\omega }{s^{2}-\omega ^{2}}}$
15	$e^{at}\cos(\omega t)u(t)\,$	${\frac {s-a}{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}$
16	$e^{at}\sin(\omega t)u(t)\,$	${\frac {\omega }{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}$
17	${\frac {1}{2\omega ^{3}}}(\sin \omega t-\omega t\cos \omega t)$	${\frac {1}{(s^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$
18	${\frac {t}{2\omega }}\sin \omega t$	${\frac {s}{(s^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$
19	${\frac {1}{2\omega }}(\sin \omega t+\omega t\cos \omega t)$	${\frac {s^{2}}{(s^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$

拉普拉斯变换的性质

这是一个拉普拉斯变换最重要性质的表格。

性质	定义
线性	${\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=aF(s)+bG(s)$
微分	${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0^{-})$ ${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0^{-})-f'(0^{-})$ ${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$
频域微分	${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$ ${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)$
频域积分	${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$
时域积分	${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\mathcal {L}}\left\{u(t)*f(t)\right\}={1 \over s}F(s)$
尺度变换	${\mathcal {L}}\left\{f(at)\right\}={1 \over a}F\left({s \over a}\right)$
初始值定理	$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$
终值定理	$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$
频域平移	${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)$ ${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{at}f(t)$
时间推移	${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$ ${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)$
卷积定理	${\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)$

其中

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$

$g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}$

$s=\sigma +j\omega$

傅里叶变换

傅里叶变换用于将时域信号分解成其频域分量。傅里叶变换与拉普拉斯变换密切相关，仅在以频率为背景分析系统时才用于代替拉普拉斯变换。

傅里叶变换定义为

[傅里叶变换]

$F(j\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

反傅里叶变换定义为

[反傅里叶变换]

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$

傅里叶变换表

这是一个常见的傅里叶变换表。

	时域	频域
	$x(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X(\omega )\right\}$	$X(\omega )={\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}$
1	$X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$	$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{j\omega t}d\omega$
2	$1\,$	$2\pi \delta (\omega )\,$
3	$-0.5+u(t)\,$	${\frac {1}{j\omega }}\,$
4	$\delta (t)\,$	$1\,$
5	$\delta (t-c)\,$	$e^{-j\omega c}\,$
6	$u(t)\,$ **u(t)**	$\pi \delta (\omega )+{\frac {1}{j\omega }}\,$
7	$e^{-bt}u(t)\,(b>0)$	${\frac {1}{j\omega +b}}\,$
8	$\cos \omega _{0}t\,$	$\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})+\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
9	$\cos(\omega _{0}t+\theta )\,$	$\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})+e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
10	$\sin \omega _{0}t\,$	$j\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})-\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
11	$\sin(\omega _{0}t+\theta )\,$	$j\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})-e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
12	${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau \omega }{2\pi }}\right)\,$
13	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau t}{2\pi }}\right)\,$	$2\pi {\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
14	$\left(1-{\frac {2|t|}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau \omega }{4\pi }}\right)\,$
15	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau t}{4\pi }}\right)\,$	$2\pi \left(1-{\frac {2|\omega |}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
16	$e^{-a|t|},\Re \{a\}>0\,$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}\,$
注释	${\mbox{sinc}}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ ${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)$ 是宽度为 $\tau$ 的矩形脉冲函数。 $u(t)$ 是海维赛德阶跃函数。 $\delta (t)$ 是狄拉克δ函数。

傅里叶变换性质表

这是一个傅里叶变换常用性质的表格。

	信号	傅里叶变换 幺正，角频率	傅里叶变换 幺正，普通频率	备注
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}d\omega \,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}dt\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}dt\,$
1	$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega )+b\cdot H(\omega )\,$	$a\cdot G(f)+b\cdot H(f)\,$	线性
2	$g(t-a)\,$	$e^{-ia\omega }G(\omega )\,$	$e^{-i2\pi af}G(f)\,$	时域移位
3	$e^{iat}g(t)\,$	$G(\omega -a)\,$	$G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)\,$	频域移位，2的对偶
4	$g(at)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)\,$	如果$|a|\,$很大，那么$g(at)\,$集中在0附近，而${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$扩展和平坦化
5	$G(t)\,$	$g(-\omega )\,$	$g(-f)\,$	傅里叶变换的对偶性。结果来自交换$t\,$和$\omega \,$的“哑”变量。
6	${\frac {d^{n}g(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}G(\omega )\,$	$(i2\pi f)^{n}G(f)\,$	傅里叶变换的广义导数性质
7	$t^{n}g(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}G(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}G(f)}{df^{n}}}\,$	这是6的对偶
8	$(g*h)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}G(\omega )H(\omega )\,$	$G(f)H(f)\,$	$g*h\,$表示$g\,$和$h\,$的卷积——此规则为卷积定理。
9	$g(t)h(t)\,$	$(G*H)(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	$(G*H)(f)\,$	这是8的对偶
10	对于纯实偶函数$g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是纯实偶函数	$G(f)\,$ 是纯实偶函数
11	对于纯实奇函数$g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是纯虚奇函数	$G(f)\,$ 是纯虚奇函数

Z变换

Z变换主要用于将离散数据集转换为连续表示。Z变换在符号表示上与星形变换非常相似，只是Z变换没有明确考虑采样周期。Z变换在数字信号处理领域以及一般离散信号的研究中有很多应用，它很有用，因为Z变换的结果被广泛地列表化，而星形变换的结果则没有。

Z变换定义为

[Z变换]

$X(z)={\mathcal {Z}}[x[n]]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

逆Z变换

逆Z变换是一个非常复杂的变换，对于没有足够微积分背景的学生来说可能难以理解。但是，熟悉此类积分的学生鼓励进行一些逆Z变换计算，以验证公式是否产生列表化结果。

[逆Z变换]

$x[n]={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

Z变换表

这里

• $u[n]=1$ 对于 $n>=0$，$u[n]=0$ 对于 $n<0$

• 当$n=0$时，$\delta [n]=1$；否则，$\delta [n]=0$

	信号，$x[n]$	Z变换，$X(z)$	收敛域
1	$\delta [n]\,$	$1\,$	${\mbox{所有 }}z\,$
2	$\delta [n-n_{0}]\,$	$z^{-n_{0}}\,$	$z\neq 0\,$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1\,$
4	$-u[-n-1]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1\,$
5	$nu[n]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1\,$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1\,$
7	$n^{2}u[n]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
9	$n^{3}u[n]\,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
11	$a^{n}u[n]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|\,$
12	$-a^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|\,$
13	$na^{n}u[n]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|\,$
14	$-na^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|\,$
15	$n^{2}a^{n}u[n]\,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|\,$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|\,$
17	$\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
18	$\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
19	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$
20	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$

修正Z变换

修正Z变换类似于Z变换，但修正版本可以通过设计使系统受到任意延迟的影响。当讨论数字系统时，系统的处理时间不可忽略，修正Z变换非常有用。例如，缓慢的计算机系统可以建模为具有输出延迟的瞬时系统。

修正Z变换基于延迟Z变换。

[修正Z变换]

$X(z,m)=X(z,\Delta )|_{\Delta \to 1-m}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}|_{\Delta \to 1-m}$

星形变换 (Star Transform)

星形变换是一种离散变换，在 Z 变换和拉普拉斯变换之间具有相似之处。事实上，可以说星形变换几乎类似于 Z 变换，只是星形变换明确地考虑了采样器的采样时间。

星形变换定义为

[星形变换]

$F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT)e^{-skT}$

可以通过将 $z=e^{sT}$ 代入上述 Z 变换对中，得到星形变换对。

双线性变换 (Bilinear Transform)

双线性变换用于将 Z 域中的方程转换为任意 W 域中的方程，具有以下性质：

1. Z 域中单位圆内的根将映射到 W 平面左半平面的根。
2. Z 域中单位圆外的根将映射到 W 平面右半平面的根。
3. Z 域中单位圆上的根将映射到 W 域的纵轴。

因此，双线性变换可用于将 Z 域方程转换为可以使用劳斯-赫尔维茨判据分析的形式。但是，需要注意的是，W 域与复拉普拉斯 S 域不同。为了使双线性变换的输出等于 S 域，必须进行信号预扭曲，以考虑双线性变换的非线性特性。

双线性变换也可用于将 S 域系统转换为 Z 域。同样，在应用双线性变换之前，必须对输入系统进行预扭曲，否则结果将不正确。

双线性变换由以下变量变换控制：

[双线性变换]

$z={\frac {(T/2)+w}{(T/2)-w}},\quad w={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$

其中 T 是离散信号的采样时间。

w 域中的频率与 s 域中的频率通过以下关系相关联：

$\omega _{w}={\frac {2}{T}}\tan \left({\frac {\omega _{s}T}{2}}\right)$

这种关系称为双线性变换的频率翘曲特性。为了抵消频率翘曲的影响，我们可以使用逆翘曲特性对 Z 域方程进行预扭曲。如果在变换之前对方程进行预扭曲，则系统的所得极点将更忠实地与 s 域中的极点对齐。

[双线性频率预扭曲]

$\omega ={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).$

在应用双线性变换之前应用这些变换实际上能够在 S 域和 Z 域之间进行直接转换。在变换之前对函数应用其中一个频率翘曲特性称为预扭曲。

维基百科资源

• w:拉普拉斯变换
• w:傅里叶变换
• w:Z 变换
• w:星形变换
• w:双线性变换

控制系统