统计/曲线拟合

在尝试评估收集的数据时，通常会出现模式，例如在绘制 $1/d_{i}=1/f-1/d_{o}$ 的光线光学散点图时，会出现 -1 斜率。通常的目标是找到一个“拟合”数据的数学函数。也就是说，一个函数，它的值在相应的自变量和因变量的值上接近数据值。这通常被称为“最小二乘”，其原因将在后面解释。

销售示例

一家商店以 P=3.49 的价格出售某种商品，每天平均销售量为 V=100。因此，总收入 T=P 乘以 V=349.00 ..... 如果价格降低，那么也许会卖出更多商品，但 T 可能更多或更少。显然，如果 P=0，那么 T 也会为零。以下是结果

        P          V           T
      2.99        130        388.70
      3.29        123        404.67
      3.49        100        349.00

显然，“最佳”价格介于 2.99 和 3.49 之间。 ..... 曲线拟合提供了 T 与 P 之间的方程式，用于比较许多可用的模型。

线性模型

线性模型基于“最佳”直线。使用可以执行回归的计算器，我们发现对于上述数据，显示 T 与 P 之间关系的图的最近直线是

T=605.268605263 - 68.9289473684 * P，并且该模型的相关性显示为约 60%。

让我们更详细地研究它

   P    Actual T   Calculated T       Difference     Difference²

  2.99   388.70  399.17105263159  - 10.4710526316   109.642943214
  3.29   404.67  378.49236842106    26.1776315789   685.268395081
  3.49   349.00  364.70657894738  - 15.7065789474   246.696622231

将差异加起来，我们发现它们的总和几乎为零，表明这是“最佳”线性模型。对负数求平方总是得到正数。因此，平方和将告诉我们拟合优度。这里，平方和为 1041.60796053，我们可以比较不同的模型，最终选择平方和最小的模型。

如果你没有计算器或可以执行回归的计算机，那么.....

计算拟合给定点的最小二乘直线

在直线方程 y=a+b*x 中寻找 a 和 b

在上面的示例中，我们有

    x       x²      y       y²             xy

  2.99   8.9401  388.70  151087.69     1162.213
  3.29  10.8241  404.67  163757.8089   1331.3643
  3.49  12.1801  349.00  121801        1218.01
  ----  ------- -------  -----------   ---------
  9.77  31.9443 1142.37  436646.4989   3711.5873

我们有：n = 点数 = 3
ax=x 的平均值=9.77/3=3.256
ay=y 的平均值=1142.37/3=380.79
x1=x 的总和=9.77
x2=x² 的总和=31.9443
y1=y 的总和=1142.37
y2=y² 的总和=436646.4989
s1=xy 的总和=3711.5873
z1=s1-(x1*y1/n)=3711.5873-(9.77*1142.37/3)= -8.731
z2=x2-(x1²/n)=31.9443-9.77²/3=0.126
b=z1/z2=-68.9289473682

a=ay-b*ax=380.79-(-68.9289473682)*3.256=605.268605263

Thus we have y=605.268605263-68.92894736828*x as the best line to fit the given points of this example.

抛物线模型

如果我们有 n 个点，那么 (n-1) 次多项式将精确拟合这 n 个点。在这个示例中，我们有 3 个点，2 次多项式（抛物线）应该给我们一个精确的拟合。计算器提供了方程
(-663.1666666653)x² + 4217.91999999x-6294.10448332，给我们

   P    Actual T   Calculated T       Difference

  2.99   388.70   388.6999999956      4.4E-9 = zero plus rounding error
  3.29   404.67   404.6699999951      4.9E-9 = zero plus rounding error
  3.49   349.00   348.999999995       5.0E-8 = zero plus rounding error

这是一个完美的拟合，平方和最小表明应该使用此模型。

其他模型

许多其他模型中的一些基于指数函数、对数以及自变量和/或因变量的各种操作。通常，“最佳拟合”是提供平方和最小的拟合。另外，当图上的某些点比其他点更重要（例如，可能是端点）时，可以使用数据的加权。

注意：一些计算器可能要求曲线拟合连续的、等间隔的自变量。始终将原始图与“拟合”图进行比较。