统计/曲线拟合

无论何时尝试评估收集到的数据，通常都会出现模式，例如在绘制 $1/d_{i}=1/f-1/d_{o}$ 的散点图时，会出现 -1 的斜率。在光线光学中，通常的目标是找到一个“拟合”数据的数学函数。也就是说，一个函数，其值在相应的自变量和因变量值处接近数据值。这通常被称为“最小二乘法”，其原因将在后面解释。

销售示例

一家商店以 P=3.49 的价格出售某商品，每天平均售出该商品的数量（销量）为 V=100。因此，收到的总金额 T=P 乘以 V=349.00 ..... 如果价格降低，那么可能会有更多商品被出售，但 T 可能会有所增加或减少。显然，如果 P=0，那么 T 也将为零。以下是结果

        P          V           T
      2.99        130        388.70
      3.29        123        404.67
      3.49        100        349.00

显然，“最佳”价格介于 2.99 和 3.49 之间。 ..... 曲线拟合为 T 相对于 P 提供了一个方程，用于比较众多可用的模型中的每一个。

线性模型

线性模型基于“最佳”直线。使用可以进行回归的计算器，我们发现，对于上述数据，显示 T 相对于 P 的图形中最接近的直线是

T=605.268605263 - 68.9289473684 * P，并且该模型的相关性约为 60%。

让我们更详细地研究一下

   P    Actual T   Calculated T       Difference     Difference²

  2.99   388.70  399.17105263159  - 10.4710526316   109.642943214
  3.29   404.67  378.49236842106    26.1776315789   685.268395081
  3.49   349.00  364.70657894738  - 15.7065789474   246.696622231

将差异加起来，我们发现它们的总和几乎为零，这表明它是“最佳”线性模型。负数的平方总是给出正数。因此，平方和将为我们提供拟合优度的指标。这里，平方和为 1041.60796053，我们可以比较不同的模型，最终选择具有最小二乘法的模型。

如果您没有可以进行回归的计算器或计算机，那么.....

计算最适合给定点的直线

在直线方程 y=a+b*x 中寻找 a 和 b

在上面的示例中，我们有

    x       x²      y       y²             xy

  2.99   8.9401  388.70  151087.69     1162.213
  3.29  10.8241  404.67  163757.8089   1331.3643
  3.49  12.1801  349.00  121801        1218.01
  ----  ------- -------  -----------   ---------
  9.77  31.9443 1142.37  436646.4989   3711.5873

我们有：n = 点数 = 3
ax=x 的平均值=9.77/3=3.256
ay=y 的平均值=1142.37/3=380.79
x1=x 的总和=9.77
x2=x² 的总和=31.9443
y1=y 的总和=1142.37
y2=y² 的总和=436646.4989
s1=xy 的总和=3711.5873
z1=s1-(x1*y1/n)=3711.5873-(9.77*1142.37/3)= -8.731
z2=x2-(x1²/n)=31.9443-9.77²/3=0.126
b=z1/z2=-68.9289473682

a=ay-b*ax=380.79-(-68.9289473682)*3.256=605.268605263

Thus we have y=605.268605263-68.92894736828*x as the best line to fit the given points of this example.

抛物线模型

如果我们有 n 个点，那么 (n-1) 次多项式将精确地拟合这 n 个点。在本示例中，我们给出了 3 个点，2 次多项式（抛物线）应该可以精确拟合。计算器提供了方程
(-663.1666666653)x² + 4217.91999999x-6294.10448332，得到

   P    Actual T   Calculated T       Difference

  2.99   388.70   388.6999999956      4.4E-9 = zero plus rounding error
  3.29   404.67   404.6699999951      4.9E-9 = zero plus rounding error
  3.49   349.00   348.999999995       5.0E-8 = zero plus rounding error

这是一个完美的拟合，最小二乘法表明应该使用此模型。

其他模型

许多其他模型中的一些基于指数函数、对数以及对自变量和/或因变量的不同操作。通常，“最佳拟合”是提供最小二乘法的拟合。此外，当图形上的某些点比其他点更重要时（例如，可能，例如，端点），可以使用数据加权。

注意：一些计算器可能需要在曲线拟合中使用连续的、等间距的自变量。始终将原始图形与“拟合”图形进行比较。