密度泛函理论/泛函分析简介

泛函（数学）

在 数学 中，特别是在 泛函分析 和 变分法 中，泛函 是从 向量空间 到其底层 标量场 的 函数，或者一组实数函数。换句话说，它是一个函数，它以向量作为其输入参数，并返回一个 标量。通常向量空间是函数空间，因此泛函以函数作为其输入参数，然后它有时被认为是一个函数的函数。它的使用起源于 变分法，在那里人们寻找一个函数来最小化某个泛函。在 物理 中一个特别重要的应用是寻找最小化 能量泛函 的系统的状态。

泛函细节

对偶

映射

$x_{0}\mapsto f(x_{0})$

是一个函数，其中 $x_{0}$ 是函数 $f$ 的一个 参数。同时，将函数映射到函数在某一点的值

$f\mapsto f(x_{0})$

是一个泛函，这里 $x_{0}$ 是一个 参数。

假设f 是从线性向量空间到底层标量场的线性函数，那么上面的线性映射是 对偶 的，在泛函分析中两者都被称为 线性泛函。

定积分

积分，例如

$f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu ({\mbox{d}}x)$

形成了一类特殊的泛函。只要H 是实值的，它们将函数f 映射到一个实数。例如：

• 正函数f 图像下的面积

$f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x$

• L^p 范数 函数

$f\mapsto \left(\int |f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}$

• 二维欧几里得空间中曲线的弧长

$f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x$

向量标量积

在向量空间 $X$ 中，对于任意向量 ${\vec {x}}$，它与另一个向量 ${\vec {y}}$ 的标量积，记为 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ 或 $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle$，是一个标量。使得这个积为零的向量集合构成 $X$ 的一个向量子空间，称为 $X$ 的零空间或核。

局部与非局部

如果一个泛函的值可以针对输入曲线的短段进行计算，然后将这些值加起来得到总值，则该函数称为局部函数。否则称为非局部函数。例如

$F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x$

是局部的，而

$F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}$

是非局部的。这种情况通常发生在像质心计算中，积分在方程的分子和分母中分别出现的时候。

 线性泛函

线性泛函最早出现在泛函分析中，泛函分析是研究函数的向量空间。线性泛函的一个典型例子是积分：由黎曼积分定义的线性变换。

$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

是一个来自区间 [a, b] 上的连续函数的向量空间 C[a,b] 到实数的线性泛函。I(f) 的线性性来自于关于积分的标准事实。

$I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)$

$I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).$

泛函导数

首先定义泛函导数; 然后用泛函导数定义泛函微分。

泛函导数

给定一个代表（连续/光滑/具有某些边界条件/等）函数 ρ 的流形 M 和一个定义为

$F\colon M\rightarrow \mathbb {R} \quad {\mbox{or}}\quad F\colon M\rightarrow \mathbb {C} \,,$

的泛函导数 F[ρ]，记为 δF/δρ，定义为

${\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}\phi (x)dx&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\&=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}F[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0},\end{aligned}}$

其中 $\phi$ 是一个任意函数。 $\epsilon \phi$ 称为 ρ 的变分。

泛函微分

泛函 F[ρ] 的微分（或变分或一阶变分）是，

$\delta F=\int {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}\ \delta \rho (x)\ dx\ ,$

其中 δρ(x) = εϕ(x) 是 ρ(x) 的变化。 这与函数 F(ρ₁, ρ₂, ..., ρ_n) 的 全微分 的形式类似，

$dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i}\ ,$

其中 ρ₁, ρ₂, ... , ρ_n 是自变量。比较最后两个方程，泛函导数 δF/δρ(x) 的作用类似于偏导数 ∂F/∂ρ_i ，其中积分变量 x 就好像求和指标 i 的连续版本。

形式描述

可以通过更仔细地定义 函数空间 来使泛函导数的定义更加精确和正式。例如，当函数空间是一个 巴拿赫空间 时，泛函导数被称为 弗雷歇导数，而在更一般的 局部凸空间 上使用 加托导数。注意，众所周知的 希尔伯特空间 是 巴拿赫空间 的特例。这种更加正式的处理方法允许将许多来自普通 微积分 和 分析 的定理推广到 泛函分析 中的对应定理，以及许多新的定理可以被陈述。

性质

与函数的导数一样，泛函导数满足以下性质，其中 F[ρ] 和 G[ρ] 是泛函

• 线性:

${\frac {\delta (\lambda F+\mu G)}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G}{\delta \rho (x)}},\ \qquad \lambda ,\mu$   常数，

• 乘积法则:

${\frac {\delta (FG)}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}G+F{\frac {\delta G}{\delta \rho (x)}}\,,$

• 链式法则

如果 f 是一个可微函数，那么

$\displaystyle {\frac {\delta F[f(\rho )]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[f(\rho )]}{\delta f(\rho (x))}}\ {\frac {df(\rho (x))}{d\rho (x)}}\ ,$

${\frac {\delta f(F[\rho ])}{\delta \rho (x)}}={\frac {df(F[\rho ])}{dF[\rho ]}}\ {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,.$

确定泛函导数

我们给出一个公式来确定一类常见泛函的泛函导数，这类泛函可以写成一个函数及其导数的积分形式。 这是对 欧拉-拉格朗日方程 的推广：实际上，泛函导数是在 物理学 中引入的，在从 最小作用原理 推导出 拉格朗日 二类方程的 拉格朗日力学 (18 世纪) 中。 以下前三个例子取自 密度泛函理论 (20 世纪)，第四个例子取自 统计力学 (19 世纪)。

公式

给定一个泛函

$F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},$

和一个在积分区域边界上消失的函数 ϕ(r)，从上一节 定义 中，

${\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}$

第二行使用全导数获得，其中∂f /∂∇ρ是标量对向量的导数。 第三行使用散度乘积法则获得。第四行使用散度定理和ϕ=0在积分区域边界上的条件获得。由于ϕ也是一个任意函数，将变分法基本引理应用于最后一行，泛函导数为

${\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}$

其中ρ = ρ(r) 和 f = f (r, ρ, ∇ρ)。这个公式适用于本节开头给出的泛函形式F[ρ]的情况。对于其他泛函形式，泛函导数的定义可以作为确定其值的起点。(见库仑势能泛函的例子)。

上面的泛函导数公式可以推广到包含更高维和更高阶导数的情况。泛函将是

$F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},$

其中向量r ∈ ℝⁿ，∇⁽ⁱ⁾是一个张量，其nⁱ个分量是i阶偏导数算子

$\left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .$

泛函导数定义的类似应用得到

${\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}$

在最后两个等式中，张量 ${\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}$ 的 nⁱ 个分量是 f 关于 ρ 的偏导数的偏导数，

$\left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,$

而张量标量积为：

$\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .$

示例

托马斯-费米动能泛函

1927 年的托马斯-费米模型使用了一个非相互作用均匀电子气的动能泛函，这是对密度泛函理论研究电子结构的首次尝试。

$T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.$

由于T_TF[ρ] 的被积函数不涉及ρ(r) 的导数，因此T_TF[ρ] 的泛函导数为，

${\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}\\&={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.\end{aligned}}$

库仑势能泛函

对于电子-核势，托马斯和费米采用了库仑势能泛函

$V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.$

应用泛函导数的定义，

${\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}$

所以，

${\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .$

对于**电子-电子相互作用**的经典部分，托马斯和费米采用库仑势能泛函

$J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.$

根据泛函导数的定义，

${\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,J[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}$

最后一个方程右边的第一项和第二项是相等的，因为第二项中的 r 和 r′ 可以互换而不改变积分的值。因此，

$\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}$

电子-电子库仑势能泛函 J[ρ] 的泛函导数为，

${\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\,.$

二阶泛函导数为

${\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\right)={\frac {1}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}.$

魏茨泽克动能泛函

1935 年，魏茨泽克 提出在托马斯-费米动能泛函中加入梯度修正，以使其更适合分子电子云。

$T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,$

其中

$t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .$

使用之前推导的泛函导数公式，

${\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}$

结果是，

${\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .$

熵

离散的随机变量的熵是概率质量函数的泛函。

${\begin{aligned}H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)\end{aligned}}$

因此，

${\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x)+\epsilon \phi (x)]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\displaystyle -\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}$

因此，

${\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).$

指数函数

令

$F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.$

使用 delta 函数作为测试函数，

${\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}$

因此，

${\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].$

这在从 配分函数 中计算 关联函数 时特别有用，特别是 量子场论 中。

函数的泛函导数

函数可以像泛函一样写成积分的形式。例如，

$\rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.$

由于被积函数不依赖于ρ的导数，所以ρ(r)的泛函导数为：

${\begin{aligned}{\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}&={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]\\&=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').\end{aligned}}$

在 变分法 中的应用

在变分法中，泛函通常用函数、其参数和其导数的积分来表示。在泛函的被积函数 L 中，如果函数 f 通过添加另一个任意小的函数 δf 而变化，并将由此产生的 L 展开为 δf 的幂，则一阶项中 δf 的系数称为泛函导数。

例如，考虑泛函

$J[f]=\int \limits _{a}^{b}L[\,x,f(x),f\,'(x)\,]\,dx\ ,$

其中 f ′(x) ≡ df/dx。如果 f 通过添加一个函数 δf 而变化，并将由此产生的被积函数 L(x, f +δf, f '+δf ′) 展开为 δf 的幂，那么 J 的值在一阶 δf 中的变化可以用以下方式表示：

$\delta J=\int _{a}^{b}{\frac {\delta J}{\delta f(x)}}{\delta f(x)}dx\,.$

δf(x) 的系数，记为 δJ/δf(x)，称为 J 关于 f 在点 x 处的泛函导数。 对于这个示例泛函，泛函导数是 欧拉-拉格朗日方程 的左侧。

${\frac {\delta J}{\delta f(x)}}={\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,.$

使用 delta 函数作为测试函数

在物理学中，通常使用 狄拉克 delta 函数 $\delta (x-y)$ 来代替一般的测试函数 $\phi (x)$，以产生点 $y$ 处的泛函导数（这是整个泛函导数的一个点，因为 偏导数 是梯度的一个分量）。

${\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.$

当 $F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]$ 形式上可以展开为关于 $\varepsilon$ 的级数（或至少是一阶），该公式在数学上并不严格，因为 $F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]$ 通常甚至没有定义。

前面章节给出的定义基于对所有测试函数 ϕ 都成立的关系，因此人们可能认为当 ϕ 被选择为一个特定的函数（例如 狄拉克δ函数）时，该关系也应该成立。但是，后者不是有效的测试函数。

在定义中，泛函导数描述了泛函 $F[\varphi (x)]$ 在整个函数 $\varphi (x)$ 发生微小变化时如何变化。$\varphi (x)$ 变化的具体形式没有指定，但它应该扩展到 $x$ 定义的整个区间。采用δ函数给出的特定形式的扰动意味着 $\varphi (x)$ 仅在点 $y$ 上发生变化。除该点外，$\varphi (x)$ 没有变化。

泛函方程

主条目：泛函方程

传统的用法也适用于讨论函数方程，指的是函数之间的方程：一个方程$F=G$ 函数之间的方程可以被理解为“待解方程”，其解本身就是函数。在这样的方程中，可能存在多组变量未知数，例如，当说一个加性函数$f$ 是一个满足函数方程的函数时

$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$.

泛函导数和泛函积分

泛函导数 用于拉格朗日力学。它们是泛函的导数：即它们携带关于泛函如何变化的信息，当函数发生微小变化时。另见变分法。

理查德·费曼 使用泛函积分 作为他路径积分表述 的中心思想量子力学。这种用法意味着对某个函数空间 进行的积分。

参考文献

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另请参阅

• 线性泛函
• 优化（数学）
• 张量

参考文献

一般

• 模板：施普林格
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• 模板：Lang 代数

引用