泛函分析

泛函分析 的含义取决于你问谁。然而，该学科的核心是研究具有拓扑结构的线性空间，这些拓扑结构允许我们进行分析；例如函数空间、作用于函数空间的算子空间等等。我们对这些空间的兴趣是双重的：这些具有拓扑结构的线性空间 (i) 通常表现出有趣的性质，这些性质值得我们为了它们自身而进行研究，(ii) 在数学的其他领域（例如偏微分方程）以及理论物理学中具有重要的应用；特别是量子力学。(i) 是因为分析师感兴趣的线性向量空间本质上是无限维的，这需要对几何进行仔细的考察。(关于这一点，更多内容将在第二章和第四章中介绍。)(ii) 是最初推动该领域发展的动力；泛函分析的历史根源在于线性代数和 20 世纪初量子力学的数学表述。(参见 w:量子力学的数学表述) 本书旨在同时涵盖这两个方面的兴趣。

本书分为两部分。第一部分涵盖了巴拿赫空间理论的基础知识，重点是其应用。第二部分涵盖了拓扑向量空间，尤其是局部凸空间，这是巴拿赫空间的推广。在两部分中，我们都给出了主要结果，例如闭图定理，导致了一些重复。这样做的一个原因是，人们通常只需要这些结果的巴拿赫版本。另一个原因是，这种方法在教学上似乎更合理；以最一般的形式陈述这些结果可能会掩盖其简单性。练习被认为是本书的非集成部分。可以完全跳过它们，应该完整地阅读和理解本书。一些替代证明和附加结果被归类为练习，因为如果包含它们可能会破坏阐述的流畅性。

除了第六章之外，不需要测度论的知识，在第六章中，我们用测度论的语言来表述谱定理。至于拓扑，对度量空间的了解足以满足第一章和第二章的需求。对后续章节，需要扎实的拓扑学基础。

目录

第一部分

第一章. 预备知识

佐恩引理、拓扑、哈梅尔基、哈恩-巴拿赫定理

第二章. 巴拿赫空间

开映射定理、闭图定理、紧算子

第三章. 希尔伯特空间

无界算子、伴随算子、正交基、帕塞瓦尔定理

第四章. 巴拿赫空间的几何

自反空间、克莱因-米尔曼定理、毕肖普定理、可分离巴拿赫空间、绍德基、詹姆斯定理、一致凸空间、单调算子、严格奇异算子

第二部分

第五章. 拓扑向量空间

局部凸空间、度量化定理

第六章. C*-代数

盖尔范德变换、交换巴拿赫代数的谱、泛函演算、GNS 构造

第七章. 积分论

冯·诺伊曼双中心化定理

第三部分

第八章. 特殊主题

• 弗雷德霍姆理论 - 有界和无界算子的指标、紧扰动

  紧群的表示 - 酉表示、彼得-魏尔定理

  索伯列夫空间

第九章. 调和分析 - 局部紧群的巴拿赫表示的分解、普朗歇尔定理。