可微流形/定向

定义（定向）:

令 $M$ 是一个可微流形。$M$ 的一个 **定向** 是 $M$ 上的一族图集 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，使得对于所有的 $\alpha ,\beta \in A$

$\det \left(D(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})\right)>0$.

命题（流形的定向在它的边界上诱导一个定向）:

令 $M$ 是一个可微流形。如果 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的一个定向，那么 $\partial M$ 的一个定向由下式给出

$(\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M)_{\alpha \in A}$,

其中 $\pi _{2,\ldots ,n}$ 定义如下

$\pi _{2,\ldots ,n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n-1},~\pi _{2,\ldots ,n}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=(x_{2},\ldots ,x_{n})$

**证明：** 给定的函数族在 定义了 $\partial M$ 上的一个图集，因此，一旦证明了关于行列式为正的要求被满足，该命题就得到了证明。

事实上，令 $\alpha ,\beta \in A$。那么

$\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\beta }\upharpoonright \partial M)^{-1}=\pi _{2,\ldots ,n}\circ (\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\})^{-1}$.

由于 $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ 将集合 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 映射到自身，$D(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})$ 的第一行只要 $x\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 就为零，除了第一项。然而，只要 $x\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$，最后一项必须为非负数，否则 微积分基本定理 和导数的连续性将意味着对于一个 $y:=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ 使得 $y_{n}>0$ 足够小，$\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(y)$ 将包含在

$\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{n}<0\}$,

与包含边界一部分的图表定义相反。因此，对$D(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})$进行莱布尼兹展开，沿第一行，我们得到从$D(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})$中删除第一行和第一列得到的矩阵具有正行列式。然而，关于各个偏导数作为极限的定义表明，该矩阵正是矩阵

$D(\pi _{2,\ldots ,n}\circ (\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\})^{-1})$. $\Box$