定义 10.1:
设
为集合,
和
为函数。则
和
的 **笛卡尔积**,记为
,定义为函数

引理 10.3:
设
是开集。那么对于每个
,存在
使得

证明:
设
是任意的。我们选择
使得
。然后我们定义
。然后,由三角不等式,对于任意 

因此,
,并且由于
是任意的


引理 10.4:
令
为开集。则
在
中是开集。
证明:
由于
和
是开集,对于
中的每个点
,我们都能找到
使得
且
。如果我们定义
,那么对于所有的 

以及

并且由于函数
在
上单调递增,因此

以及

因此


引理 10.5: 令
为集合,令
和
为函数。如果
且
,则

证明: 见习题 2。
定理 10.6: 类
的流形
的乘积流形确实是流形;即
确实是一个类
的图集,其中
且图集为
。
证明:
1. 我们证明对于所有
,集合
是开集。
我们有

由于引理 10.4,该集合在
中是开集,因为它是由两个开集的笛卡尔积。
2. 我们证明对于所有
,函数
是一个同胚。
2.1. 对于双射性,参见习题 1。
2.2. 我们证明连续性。
令
是开集。根据子空间拓扑的定义,
引理 10.4 意味着我们有

(这个等式可以通过证明 '
' 和 '
' 来证明),因此根据引理 10.5 可知,

, 它是开集,因为它是开集的并集(因为我们用 乘积拓扑 来装备
)。
2.3. 我们证明逆映射的连续性。
令
是开集。
3. 我们证明
定理 10.11:设
是一个
维
类李群。那么对于每个
,相应的左乘函数和右乘函数都是从
到自身的
类微分同胚。
证明:
我们只证明了关于左乘的结论,关于右乘的证明方式相同。
在这个证明中,
的群运算记为
。
1. 我们证明
是
类可微的。
设
为任意元素。由于
是一个李群,函数

是
类可微的,其中
具有乘积流形结构。
现在令
和
是
图集中任意两个元素。我们选择
在
图集中,使得
。由于
是
类可微,所以函数

包含在
中。因此,函数

包含在
中;偏导数存在并且等于函数最后
个变量的偏导数

但是对于所有的 

因此函数

包含在
中,这意味着
类可微分的定义得到了满足。
2. 我们证明
是双射的。
我们可以通过注意到
的逆函数由
给出:对于任意的
,我们有

以及

3. 我们注意到逆函数是可微的,属于
我们使用 1. 的结果,将
代入;
也是
的一个元素,而 1. 证明了对于
的每个元素,包括
,左乘函数都是可微的。 
让我们重复一下李代数的定义
定义 6.2:
设
为一个带有
的李代数。在
中,如果一个子集在
的限制下构成一个李代数,则称该子集为一个李子代数。
证明:
设
。为了证明
在向量场李括号的限制下构成一个李代数,我们只需证明
。
事实上,对于所有的
和 
)(\varphi )&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](h)(L_{g}^{*}\varphi )\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} (L_{g}^{*}\varphi ))-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} (L_{g}^{*}\varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)((dL_{g})_{\cdot }(\mathbf {W} \varphi ))-\mathbf {W} (h)((dL_{g})_{\cdot }(\mathbf {V} \varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} (g\cdot )(\varphi ))-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} (g\cdot )(\varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} \varphi \circ L_{g})-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} \varphi \circ L_{g})\\&=\mathbf {V} (h)(L_{g}^{*}(\mathbf {W} \varphi ))-\mathbf {W} (h)(L_{g}^{*}(\mathbf {V} \varphi \circ L_{g}))\\&=(dL_{g})_{h}(\mathbf {V} (h))(\mathbf {W} \varphi )-(dL_{g})_{h}(\mathbf {W} (h))(\mathbf {V} \varphi )\\&=\mathbf {V} (gh)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (gh)(\mathbf {V} \varphi )\\&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](gh)(\varphi )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893e1f7d5d83d41320e50fa99f1ff0668b922f52)
, 其中
代表函数

是指
这个函数

是指(因为两者都等于
,两者都是
类的可微函数)。
证明:
我们选择函数

我们现在将证明这个函数是期望的同构。
1. 我们证明线性:设
且
。我们有

2. 我们证明双射。
2.1. 我们证明单射。
令
(即
)对于
。由于
是左不变的,因此对于所有
和
,有

2.2. 我们证明满射性。
令
为任意向量。我们定义

根据定理2.19,这是一个向量场。它也是左不变的,因为对于所有
和
,我们有

此外,我们对所有
有

3. 我们注意到
的逆是线性的,因为线性双射函数的逆总是线性的。
下一个定理表明,在李群中,所有左不变向量场都是完备的。
引理 10.15:
令
为李群,令
,令
为
的流。那么对于所有
和所有
在
的定义域内,我们有

证明:
令
为任意值,令 <mat>I_h</math> 为唯一的最大区间,使得
并且存在唯一的积分曲线
使得

定理 10.16:
令
为李群,令
。那么
是完备的。
证明:
令
为任意值,令
为
处的积分曲线。
对于下一个定义,我们回忆一下群的自同构群是由群到自身的群同构集合,其中群运算为合成运算。事实上,这是一个群(参见练习 3)。
我们进一步回顾,对于一个群
,其自同构群表示为
.
定理 10.19:
令
为一个类
的流形,其中
。对于每个
,
属于类
。
证明:
我们有

因此,结论从定理 2.29 和 10.11 得出。
定理 10.20:
令
为李群,且
。那么

- 令
为集合,
和
为两个双射函数。证明
是双射的。
- 证明引理 10.5。
- 令
为一个群,
为从
到
的群同构的集合。证明
与作为运算的组合构成一个群。