可微流形/积流形与李群

积流形

定义 10.1:

设 $X,Y,Z,W$ 为集合，$f:X\to Z$ 和 $g:Y\to W$ 为函数。则 $f$ 和 $g$ 的 **笛卡尔积**，记为 $f\times g$，定义为函数

$f\times g:X\times Y\to Z\times W,(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$

定义 10.2:

设 $M$ 为一个流形，其图谱为 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。则 $M$ 的 **积流形** 定义为 积空间 $M\times M$，其图谱为

$\{(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} },(\phi _{\upsilon },\phi _{\mathrm {o} }))|\upsilon ,\mathrm {o} \in \Upsilon \}$

引理 10.3:

设 $O\subseteq \mathbb {R} ^{2d}$ 是开集。那么对于每个 $(x,y)\in O$，存在 $\epsilon _{(x,y)}>0$ 使得

$B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)\subset O$

证明:

设 $(x,y)\in O$ 是任意的。我们选择 $\delta >0$ 使得 $B_{\delta }((x,y))\subseteq O$。然后我们定义 $\epsilon _{(x,y)}:={\frac {\delta }{2}}$。然后，由三角不等式，对于任意 $(z,w)\in B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)$

$\|(z,w)-(x,y)\|=\|(z,0)+(0,w)-(x,0)-(0,y)\|\leq \|(z,0)-(x,0)\|+\|(0,w)-(0,y)\|=\|z-x\|+\|w-y\|<2\epsilon _{(x,y)}=\delta$

因此，$(z,w)\in B_{\delta }((x,y))\subseteq O$，并且由于 $(z,w)\in B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)$ 是任意的

$B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)\subseteq O$$\Box$

引理 10.4:

令 $O,U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集。则 $O\times U$ 在 $\mathbb {R} ^{2d}$ 中是开集。

证明:

由于 $O$ 和 $U$ 是开集，对于 $O\times U$ 中的每个点 $(x,y)$，我们都能找到 $\epsilon _{1},\epsilon _{2}\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得 $B_{\epsilon _{1}}(x)\subseteq O$ 且 $B_{\epsilon _{2}}(x)\subseteq U$。如果我们定义 $\epsilon :=\min\{\epsilon _{1},\epsilon _{2}\}$，那么对于所有的 $(z,w)\in B_{\epsilon }((x,y))$

$\|x-z\|^{2}=\|(x,y)-(z,w)\|^{2}-\|y-w\|^{2}\leq \|(x,y)-(z,w)\|^{2}$

以及

$\|y-w\|^{2}=\|(x,y)-(z,w)\|^{2}-\|x-z\|^{2}\leq \|(x,y)-(z,w)\|^{2}$

并且由于函数 ${\sqrt {\cdot }}$ 在 $[0,\infty )$ 上单调递增，因此

$\|x-z\|<\epsilon$

以及

$\|y-w\|<\epsilon$

因此

$(z,w)\in O\times U$$\Box$

引理 10.5: 令 $X,Y,Z,W$ 为集合，令 $f:X\to Z$ 和 $g:Y\to W$ 为函数。如果 $A\subseteq Z$ 且 $B\subseteq W$，则

$(f\times g)^{-1}(A\times B)=f^{-1}(A)\times g^{-1}(B)$

证明: 见习题 2。

定理 10.6： 类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形 $M$ 的乘积流形确实是流形；即 $\{(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} },\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })|\upsilon ,\mathrm {o} \in \Upsilon \}$ 确实是一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的图集，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$ 且图集为 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。

证明:

1. 我们证明对于所有 $\upsilon ,\mathrm {o} \in \Upsilon$，集合 $(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} })$ 是开集。

我们有

${\begin{aligned}(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} })&=\{(\phi _{\upsilon }(p),\phi _{\mathrm {o} }(q))\in \mathbb {R} ^{2d}{\big |}p\in O_{\upsilon },q\in O_{\mathrm {o} }\}\\&=\phi _{\upsilon }(O_{\upsilon })\times \phi _{\mathrm {o} }(O_{\mathrm {o} })\\\end{aligned}}$

由于引理 10.4，该集合在 $\mathbb {R} ^{2d}$ 中是开集，因为它是由两个开集的笛卡尔积。

2. 我们证明对于所有 $\upsilon ,\mathrm {o} \in \Upsilon$，函数 $\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} }$ 是一个同胚。

2.1. 对于双射性，参见习题 1。

2.2. 我们证明连续性。

令 $O\subseteq (\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} })$ 是开集。根据子空间拓扑的定义，

引理 10.4 意味着我们有

$O=\bigcup _{(x,y)\in O}B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)$

(这个等式可以通过证明 '$\subseteq$' 和 '$\supseteq$' 来证明)，因此根据引理 10.5 可知，

${\begin{aligned}(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })^{-1}(O)&=(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })^{-1}\left(\bigcup _{(x,y)\in O}B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)\right)\\&=\bigcup _{(x,y)\in O}(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })^{-1}(B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y))\\&=\bigcup _{(x,y)\in O}\phi _{\upsilon }^{-1}(B_{\epsilon _{(x,y)}}(x))\times (\phi _{\mathrm {o} })^{-1}(B_{\epsilon _{(x,y)}}(y))\end{aligned}}$

, 它是开集，因为它是开集的并集（因为我们用 乘积拓扑 来装备 $M\times M$）。

2.3. 我们证明逆映射的连续性。

令 $O\subseteq M\times M$ 是开集。

3. 我们证明

李群

定义 10.7:

令 $G$ 为 $d$ 维的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，同时也是一个群，即我们有一个群运算 $*:G\times G\to G$ 关于它存在一个单位元，在下文中我们将用 $e$ 表示，并在 $G$ 中存在逆元，并且是结合的。我们称 $G$ 为$d$ 维的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类李群 当且仅当

• 函数 $\psi _{*}:G\times G\to G,\psi _{*}((g,h)):=g*h$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类可微的，其中 $G\times G$ 具有乘积流形图集，并且
• 函数 $G\to G,g\mapsto g^{-1}$ 也是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类的。

定义 10.8:

令 $M$ 为一个流形，并且令 $N\subseteq M$ 为 $M$ 的一个子集，它也是一个流形。$N$ 到 $M$ 的包含映射 定义为函数

$\iota :N\to M,\iota (q):=q$

定义 10.9:

令 $G$ 为 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类李群，令 $H\subseteq G$ 是 $G$ 的子集。我们称 $H$ 为 $G$ 的 **李子群** 当且仅当

• $H$ 是一个李群，但其类不一定与 $G$ 诱导的子空间拓扑一致
• $H$ 到 $G$ 的包含映射是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 可微且其微分在每一点都单射。

定义 10.10:

令 $G$ 为一个李群，其群运算为 $*$，令 $g\in G$。关于 $g$ 的 **左乘函数**，记为 $L_{g}$，被定义为函数

$L_{g}:G\to G,L_{g}(h):=g*h$

关于 $g$ 的右乘函数，记为 $R_{g}$，定义为以下函数

$R_{g}:G\to G,R_{g}(h):=h*g$

定理 10.11：设 $G$ 是一个 $d$ 维 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类李群。那么对于每个 $g\in G$，相应的左乘函数和右乘函数都是从 $G$ 到自身的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类微分同胚。

证明:

我们只证明了关于左乘的结论，关于右乘的证明方式相同。

在这个证明中，$G$ 的群运算记为 $*$。

1. 我们证明 $L_{g}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类可微的。

设 $g\in G$ 为任意元素。由于 $G$ 是一个李群，函数

$\psi _{*}:G\times G\to G,\psi _{*}(g,h)=g*h$

是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类可微的，其中 $G\times G$ 具有乘积流形结构。

现在令 $(O,\phi )$ 和 $(U,\theta )$ 是 $G$ 图集中任意两个元素。我们选择 $(V,\chi )$ 在 $G$ 图集中，使得 $g\in V$。由于 $\psi _{*}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类可微，所以函数

$\phi |_{*(\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U)}\circ \psi _{*}|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}\circ (\chi \times \theta )|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}^{-1}$

包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{2d},\mathbb {R} ^{d})$ 中。因此，函数

$f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d},f(x)=\phi |_{\psi _{*}(\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U)}\circ \psi _{*}|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}\circ (\chi \times \theta )|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}^{-1}(\chi ^{-1}(g),x)$

包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{2d},\mathbb {R} ^{d})$ 中；偏导数存在并且等于函数最后 $d$ 个变量的偏导数

$\phi |_{\psi _{*}(\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U)}\circ \psi _{*}|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}\circ (\chi \times \theta )|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}^{-1}$

但是对于所有的 $x\in \theta (L_{g}^{-1}(O)\cap U)$

$f(x)=(\phi |_{L_{g}(|_{L_{g}^{-1}(O)\cap U})}\circ L_{g}|_{L_{g}^{-1}(O)\cap U}\circ \theta |_{L_{g}^{-1}(O)\cap U}^{-1})(x)$

因此函数

$\phi |_{L_{g}(|_{L_{g}^{-1}(O)\cap U})}\circ L_{g}|_{L_{g}^{-1}(O)\cap U}\circ \theta |_{L_{g}^{-1}(O)\cap U}^{-1}$

包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{d}$ 中，这意味着 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类可微分的定义得到了满足。

2. 我们证明 $L_{g}$ 是双射的。

我们可以通过注意到 $L_{g}$ 的逆函数由 $L_{g^{-1}}$ 给出：对于任意的 $h\in G$，我们有

$L_{g^{-1}}(L_{g}(h))=g*(g^{-1}*h)=(g*g^{-1})*h=e*h=h$

以及

$L_{g}(L_{g^{-1}}(h))=g^{-1}*(g*h)=(g^{-1}*g)*h=e*h=h$

3. 我们注意到逆函数是可微的，属于${\mathcal {C}}^{n}$

我们使用 1. 的结果，将 $g^{-1}$ 代入； $g^{-1}$ 也是 $G$ 的一个元素，而 1. 证明了对于 $G$ 的每个元素，包括 $g^{-1}$，左乘函数都是可微的。 $\Box$

左不变向量场

定义 10.12:

设 $G$ 是一个李群。我们称向量场 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 为 **左不变**，当且仅当

$\forall g,h\in G:(dL_{g})_{h}(\mathbf {V} (h))=\mathbf {V} (gh)$

李群所有左不变向量场的集合用相应的 lowercase fraktur 字母表示；例如，李群 $G$ 的所有左不变向量场用 ${\mathfrak {g}}$ 表示，李群 $H$ 的所有左不变向量场用 ${\mathfrak {h}}$ 表示。

让我们重复一下李代数的定义

定义 6.2:

设 $L$ 为一个带有 $[\cdot ,\cdot ]$ 的李代数。在 $L$ 中，如果一个子集在 $[\cdot ,\cdot ]$ 的限制下构成一个李代数，则称该子集为一个李子代数。

定理 10.13:

设 $G$ 为一个李群。则 ${\mathfrak {g}}$ 以及逐点加法和向量场李括号构成一个李子代数，该李子代数为 ${\mathfrak {X}}(M)$ 的李子代数，其中 ${\mathfrak {X}}(M)$ 也是采用逐点加法和向量场李括号。

证明:

设 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} \in {\mathfrak {g}}$。为了证明 ${\mathfrak {g}}$ 在向量场李括号的限制下构成一个李代数，我们只需证明 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]\in {\mathfrak {g}}$。

事实上，对于所有的 $g,h\in G$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(G)$

${\begin{aligned}(dL_{g})_{h}([\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](h))(\varphi )&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](h)(L_{g}^{*}\varphi )\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} (L_{g}^{*}\varphi ))-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} (L_{g}^{*}\varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)((dL_{g})_{\cdot }(\mathbf {W} \varphi ))-\mathbf {W} (h)((dL_{g})_{\cdot }(\mathbf {V} \varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} (g\cdot )(\varphi ))-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} (g\cdot )(\varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} \varphi \circ L_{g})-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} \varphi \circ L_{g})\\&=\mathbf {V} (h)(L_{g}^{*}(\mathbf {W} \varphi ))-\mathbf {W} (h)(L_{g}^{*}(\mathbf {V} \varphi \circ L_{g}))\\&=(dL_{g})_{h}(\mathbf {V} (h))(\mathbf {W} \varphi )-(dL_{g})_{h}(\mathbf {W} (h))(\mathbf {V} \varphi )\\&=\mathbf {V} (gh)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (gh)(\mathbf {V} \varphi )\\&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](gh)(\varphi )\end{aligned}}$

, 其中 $(dL_{g})_{\cdot }(\mathbf {W} \varphi )$ 代表函数

$p\mapsto (dL_{g})_{p}(\mathbf {W} \varphi )$

是指 $\mathbf {W} (g\cdot )(\varphi )$ 这个函数

$p\mapsto \mathbf {W} (gp)(\varphi )$

是指（因为两者都等于 $\mathbf {W} (L_{g}^{*}\varphi )$，两者都是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类的可微函数）。$\Box$

定理 10.14:

设 $G$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类的李群。那么，在 ${\mathfrak {g}}$ 和 $T_{e}G$ 之间存在一个向量空间同构。

证明:

我们选择函数

$\Theta :{\mathfrak {g}}\to T_{e}G,\Theta (\mathbf {V} ):=\mathbf {V} (e)$

我们现在将证明这个函数是期望的同构。

1. 我们证明线性：设 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} \in {\mathfrak {g}}$ 且 $c\in \mathbb {R}$。我们有

${\begin{aligned}\Theta (\mathbf {V} +c\mathbf {W} )&=(\mathbf {V} +c\mathbf {W} )(e)\\&=\mathbf {V} (e)+c\mathbf {W} (e)\\&=\Theta (\mathbf {V} )+c\Theta (\mathbf {W} )\end{aligned}}$

2. 我们证明双射。

2.1. 我们证明单射。

令 $\Theta (\mathbf {V} )=\Theta (\mathbf {W} )$（即 $\mathbf {V} (e)=\mathbf {W} (e)$）对于 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} \in {\mathfrak {g}}$。由于 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 是左不变的，因此对于所有 $g\in G$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}$，有

${\begin{aligned}\mathbf {V} (g)(\varphi )&=\mathbf {V} (ge)(\varphi )\\&=(dL_{g})_{e}(\mathbf {V} )(\varphi )\\&=\mathbf {V} (e)(L_{g}^{*}(\varphi ))\\&=\mathbf {W} (e)(L_{g}^{*}(\varphi ))\\&=(dL_{g})_{e}(\mathbf {W} )(\varphi )\\&=\mathbf {W} (ge)(\varphi )\\&=\mathbf {W} (g)(\varphi )\end{aligned}}$

2.2. 我们证明满射性。

令 $\mathbf {V} _{e}\in T_{e}G$ 为任意向量。我们定义

$\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(g):=(dL_{g})_{e}\mathbf {V} _{e}$

根据定理2.19，这是一个向量场。它也是左不变的，因为对于所有 $g,h\in G$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，我们有

${\begin{aligned}(dL_{g})_{h}(\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(h))(\varphi )&=\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(h)(L_{g}^{*}(\varphi ))\\&=(dL_{h})_{e}\mathbf {V} _{e}(L_{g}^{*}(\varphi ))\\&=\mathbf {V} _{e}(L_{h}^{*}(L_{g}^{*}(\varphi )))\\&=\mathbf {V} _{e}(\varphi \circ L_{g}\circ L_{h})\\&=\mathbf {V} _{e}(\varphi \circ L_{gh})\\&=(dL_{gh})_{e}\mathbf {V} _{e}(\varphi )\\&=\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(gh)(\varphi )\end{aligned}}$

此外，我们对所有 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 有

${\begin{aligned}\Theta (\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}})(\varphi )=\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(e)(\varphi )=(dL_{e})_{e}\mathbf {V} _{e}(\varphi )=\mathbf {V} _{e}(\varphi )\end{aligned}}$

3. 我们注意到 $\Theta$ 的逆是线性的，因为线性双射函数的逆总是线性的。

$\Box$

下一个定理表明，在李群中，所有左不变向量场都是完备的。

引理 10.15:

令 $G$ 为李群，令 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {g}}$，令 $\Phi _{\mathbf {V} }$ 为 $\mathbf {V}$ 的流。那么对于所有 $g\in G$ 和所有 $(x,h)$ 在 $\Phi {\mathbf {V} }$ 的定义域内，我们有

$\Phi _{\mathbf {V} }(x,g*h)=h*\Phi _{\mathbf {V} }(x,g)$

证明:

令 $h\in G$ 为任意值，令 <mat>I_h</math> 为唯一的最大区间，使得 $0\in I_{h}$ 并且存在唯一的积分曲线 $\gamma _{h}:I_{h}\to M$ 使得

$\gamma _{h}'$

定理 10.16:

令 $G$ 为李群，令 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {g}}$。那么 $\mathbf {V}$ 是完备的。

证明:

令 $g\in G$ 为任意值，令 $\gamma _{g}$ 为 $g$ 处的积分曲线。

指数函数

定义 10.17:

伴随函数

对于下一个定义，我们回忆一下群的自同构群是由群到自身的群同构集合，其中群运算为合成运算。事实上，这是一个群（参见练习 3）。

我们进一步回顾，对于一个群 $G$，其自同构群表示为 ${\text{Aut}}(G)$.

定义 10.18:

令 $G$ 为一个李群，其群运算表示为 $*$。如果对于所有的 $g\in G$，我们定义函数 $\psi _{g}:G\to G$ 为 $\psi _{g}(h):=g*h*g^{-1}$，则 $G$ 的**伴随函数**，表示为 ${\text{Ad}}(g)$，由下式给出

${\text{Ad}}:G\to {\text{Aut}}(G),{\text{Ad}}(g)(h):=g*h*g^{-1}$

定理 10.19:

令 $G$ 为一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。对于每个 $g\in G$，${\text{Ad}}(g)$ 属于类 ${\mathcal {C}}^{n}$。

证明:

我们有

${\text{Ad}}(g)=L_{g}\circ R_{g^{-1}}$

因此，结论从定理 2.29 和 10.11 得出。$\Box$

定理 10.20:

令 $G$ 为李群，且 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(G)$。那么

${\displaystyle }$

练习

1. 令 $X,Y,Z,W$ 为集合，$f:X\to Z$ 和 $g:Y\to W$ 为两个双射函数。证明 $f\times g$ 是双射的。
2. 证明引理 10.5。
3. 令 $G$ 为一个群，${\text{Aut}}(G)$ 为从 $G$ 到 $G$ 的群同构的集合。证明 ${\text{Aut}}(G)$ 与作为运算的组合构成一个群。