可微流形/群作用与流

群作用与流的定义

定义 9.1:

令 $X$ 为一个集合，$G$ 为一个群，$e$ 为 $G$ 的单位元。群作用是一个函数 $*:G\times X\to X$，满足对于所有 $g,h\in G$ 和所有 $x\in X$

• $(gh)*x=g*(h*x)$
• $e*x=x$

定义 9.2:

令 $X$ 为一个集合。在 $X$ 上的流是一个群作用，其群为 $(\mathbb {R} ,+)$.

向量场的流

定义 9.3:

令 $M$ 为一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其中 $n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$（$n$ 必须大于等于 1），令 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$。根据定理 8.2，对于每个 $p\in M$，存在一个最大开区间 $I_{p}$，使得 $0\in I_{p}$ 并且存在唯一的曲线 $\gamma _{p}:I_{p}\to M$，使得 $\gamma _{p}(0)=p$ 并且 $\gamma _{p}$ 是 $\mathbf {V}$ 的积分曲线。那么 $\mathbf {V}$ **的流** 被定义为函数

$\Phi _{\mathbf {V} }:\{(x,p)|p\in M,x\in I_{p}\}\to M,\Phi _{\mathbf {V} }(x,q):=\gamma _{q}(x)$

此外，对于所有 $x\in I_{p}$，我们定义函数

$\Phi _{\mathbf {V} ,x}:\{p\in M|x\in I_{p}\}\to M,\Phi _{\mathbf {V} ,x}(q):=\Phi _{\mathbf {V} }(x,q)$

定理 9.4: 设 $M$ 是一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其中 $n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ ($n$ 必须大于或等于 1)，设 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 且设 $\Phi _{\mathbf {V} }$ 是 $\mathbf {V}$ 的流。如果对于每个 $p\in M$，区间 $I_{p}$ 使得存在一条唯一的曲线 $\gamma _{p}:I_{p}\to M$ 使得 $\gamma _{p}(0)=p$ 并且 $\gamma _{p}$ 是 $\mathbf {V}$ 的积分曲线等于 $\mathbb {R}$，那么 $\mathbf {V}$ 的流是一个流。

证明:

令 $p\in M$ 为任意点。

1.

如果我们在 $M$ 的图集里选择 $(O,\phi )$，使得 $\gamma _{p}(y)\in O$，并进一步定义

$\rho _{p}:\mathbb {R} \to M,\rho _{p}(x):=\gamma _{p}(y+x)$

那么利用 $\gamma _{p}$ 是 $\mathbf {V}$ 的积分曲线这一事实，我们对于所有的 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 可以得到

$(\varphi \circ \rho _{p})'(x)=(\varphi \circ \gamma _{p})'(x+y)=(\gamma _{p})_{x+y}'(\varphi )=\mathbf {V} (\gamma _{p}(x+y))(\varphi )=\mathbf {V} (\rho _{p}(x))(\varphi )$

因此，由于 $\rho _{p}$ 和 $\gamma _{\gamma _{p}(y)}$ 都是积分曲线，而且

$\rho _{p}(0)=\gamma _{p}(y)$

根据定理 8.2 可得 $\rho _{p}=\gamma _{\gamma _{p}(y)}$，因此

${\begin{aligned}\Phi _{\mathbf {V} }(x,\Phi _{\mathbf {V} }(y,p))&=\Phi _{\mathbf {V} }(x,\gamma _{p}(y))\\&=\gamma _{\gamma _{p}(y)}(x)\\&=\rho _{p}(x)\\&=\gamma _{p}(x+y)\\&=\Phi _{\mathbf {V} }(x+y,p)\end{aligned}}$

2. 由于 $0$ 是群 $(\mathbb {R} ,+)$ 的单位元，我们有

$\Phi _{\mathbf {V} }(e,p)=\Phi _{\mathbf {V} }(0,p)=\gamma _{p}(0)=p$$\Box$

定理 9.5:

令 $M$ 为一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，令 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$，令 $\Phi _{\mathbf {V} }$ 是 $\mathbf {V}$ 的流，令 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 为任意函数。那么我们有

$\forall p\in M:{\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi (p)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{*}(\varphi )(p)-\varphi (p)}{h}}$

证明:

令 $p\in M$ 为任意点。我们有

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{*}(\varphi )(p)-\varphi (p)}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\varphi (\Phi _{\mathbf {V} ,h}(p))-\varphi (p)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\varphi (\gamma _{p}(h))-\varphi (p)}{h}}\\&=(\gamma _{p})_{0}'(\varphi )\\&=\mathbf {V} (p)(\varphi )=:{\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi (p)\end{aligned}}$$\Box$

推论 9.6:

从 ${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi$ 的定义，我们得到

$\forall p\in M:\mathbf {V} \varphi (p)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{*}(\varphi )(p)-\varphi (p)}{h}}$

定理 9.7:

令 $M$ 为一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，并且令 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 为向量场。那么我们有

$\forall p\in M,\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M):{\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\mathbf {W} (p)(\varphi )=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {W} (\Phi _{\mathbf {V} ,h}(p))\circ \left(\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1}\right)^{*}(\varphi )-\mathbf {W} (p)(\varphi )}{h}}$

证明:

令 $p\in M$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 为任意点和任意函数，则有

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {W} (\Phi _{\mathbf {V} ,h}(p))\circ \left(\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1}\right)^{*}(\varphi )-\mathbf {W} (p)(\varphi )}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {W} (\Phi _{\mathbf {V} ,h}(p))(\varphi \circ \Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1})-\mathbf {W} (p)(\varphi )}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {W} (\Phi _{\mathbf {V} ,h}(p))(\varphi \circ \Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1})-\mathbf {W} (p)(\varphi )}{h}}+\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )\end{aligned}}$

$\left|\mathbf {W} (p)(\varphi )-\mathbf {W} \left(\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1}(p)\right)\left({\frac {\varphi \circ \Phi _{\mathbf {V} ,h}-\varphi }{h}}\right)\right|\leq \left|\mathbf {W} (p)(\varphi )-\mathbf {W} (p)\left({\frac {\varphi \circ \Phi _{\mathbf {V} ,h}-\varphi }{h}}\right)\right|+\left|\mathbf {W} (p)\left({\frac {\varphi \circ \Phi _{\mathbf {V} ,h}-\varphi }{h}}\right)-\mathbf {W} \left(\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1}(p)\right)\left({\frac {\varphi \circ \Phi _{\mathbf {V} ,h}-\varphi }{h}}\right)\right|$

设 $(O,\phi )$ 包含在 $M$ 的图集中，使得 $p\in O$。我们记为

$\mathbf {W} (q)=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {W} _{\phi ,j}(q)\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{q}$

对所有 $q\in O$ 成立。

现在我们选择 $\epsilon >0$ 使得 $B_{\epsilon }(\phi (p))\subseteq \phi (O)$（因为 $\phi (O)$ 是开集，因为 $(O,\phi )$ 属于 $M$ 的图集）。如果我们选择 $h\in \gamma _{p}^{-1}()$，我们有

$\mathbf {W} \left(\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1}(p)\right)=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {W} _{\phi ,j}(\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1}(p))\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{\Phi _{\mathbf {V} ,h}^{-1}(p)}$

从定理 5.5 中，我们得到所有函数 ${\displaystyle }$ 都包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中。

推论 9.8: