在本节中,我们将介绍流形的重要概念。
在本小节中,我们将定义流形以及定义它所需的所有内容。它对于一个定义来说有点冗长,但流形在数学中是一个如此重要的概念,因此它绝对值得我们花时间去了解。
定义 1.3:
设
是一个拓扑空间,设
,设
,设
,其中
是一个集合,是
的一组开子集,设
是相应的图表集。我们称集合
为
类
的图集,当且仅当
- 对于所有
,存在一个
使得
,并且
- 对于所有
,图
和
是
类的兼容图。
在本节中,我们将定义可微映射,它从一个流形映射到另一个流形或两者兼而有之。
定义 1.5:
设
是一个
维流形,类别为
,设
是它的一个图册,设
,设
是开集。我们称函数
是 类别
可微,当且仅当对于所有
,函数

属于
.
我们用
表示所有从
的任何开子集到
的
类实值可微函数的集合。此外,我们用
表示所有从
的任何开子集到
的连续函数的集合(记住,
和
都是拓扑空间,这就是为什么连续性是为从其中一个到另一个的函数定义的)。
在这个集合
上,我们定义加法和乘法如下:设
为开集,且
,
是两个
类的可微函数。我们定义



并且,如果
从不为零,

我们将在下文中使用
来表示
,省略掉乘号。这在变量相乘时也是很常见的(例如
代表
,当
).
定义 1.7:
设
分别是维数为
的流形,设
,设
,
分别是
和
的图册。我们称函数
为 **
类可微函数**,当且仅当对于所有
和所有
满足

或者函数

包含在
.
从经典意义上来说,切线是指与几何物体在一点处相交的直线。在本节中,我们定义了流形上的切线,称为流形的切向量,其定义有些奇怪。
定义 1.15: 令
是一个向量空间,令
是其对偶空间,令
,令
是一个
张量,令
是一个
张量。**
和
的张量积**,记为
,定义为
张量,由以下给出

我们将关于
的所有张量的集合记为
.