微分流形/什么是流形？

在本节中，我们将介绍流形的重要概念。

图表、图表的兼容性、图集和流形

在本小节中，我们将定义流形以及定义它所需的所有内容。它对于一个定义来说有点冗长，但流形在数学中是一个如此重要的概念，因此它绝对值得我们花时间去了解。

定义 1.1:

设 $M$ 是一个拓扑空间，设 $d\in \mathbb {N}$ 是一个自然数，设 $O\subseteq M$ 是开集。我们称函数 $\phi :O\to \mathbb {R} ^{d}$ 为图表，当且仅当 $\phi :O\to \phi (O)$ 是一个同胚，且 $\phi (O)$ 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中是开集。

定义 1.2:

设 $M$ 是一个拓扑空间，设 $d\in \mathbb {N}$ 是一个自然数，设 $O,U\subseteq M$ 是开集，设 $\phi :O\to \mathbb {R} ^{d}$ 和 $\theta :U\to \mathbb {R} ^{d}$ 是两个图表，设 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。我们称这两个图表类${\mathcal {C}}^{n}$兼容，当且仅当

$U\cap O=\emptyset$

或

两个映射

$\theta |_{U\cap O}\circ {\phi |_{U\cap O}}^{-1}:\phi (U\cap O)\to \theta (U\cap O)$

以及

$\phi |_{U\cap O}\circ {\theta |_{U\cap O}}^{-1}:\theta (U\cap O)\to \phi (U\cap O)$

都包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{d})$ 中。

定义 1.3:

设 $M$ 是一个拓扑空间，设 $d\in \mathbb {N}$，设 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，设 $\{O_{\upsilon }|\upsilon \in \Upsilon \}$，其中 $\Upsilon$ 是一个集合，是 $M$ 的一组开子集，设 $\{\phi _{\upsilon }:O_{\upsilon }\to \mathbb {R} ^{d}|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是相应的图表集。我们称集合 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 为 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类 $M$ 的图集，当且仅当

• 对于所有$p\in M$，存在一个$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 使得$p\in O$，并且
• 对于所有$(O,\phi ),(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，图$\phi$和$\theta$是${\mathcal {C}}^{n}$类的兼容图。

定义 1.4:

令$M$是一个拓扑空间，令$d\in \mathbb {N}$，并且令$n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。连同一个$\{O_{\upsilon }|\upsilon \in \Upsilon \}$ 的$M$ ${\mathcal {C}}^{n}$类的图集，我们称$M$为一个**$d$维${\mathcal {C}}^{n}$类的**流形**。

流形上的可微函数

在本节中，我们将定义可微映射，它从一个流形映射到另一个流形或两者兼而有之。

定义 1.5:

设 $M$ 是一个 $d$ 维流形，类别为 ${\mathcal {C}}^{n}$，设 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是它的一个图册，设 $k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，设 $U\subseteq M$ 是开集。我们称函数 $\varphi :U\to \mathbb {R}$ 是 类别 ${\mathcal {C}}^{k}$ 可微，当且仅当对于所有 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，函数

$\varphi |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}:\phi (O)\to \mathbb {R}$

属于 ${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$.

我们用 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 表示所有从 $M$ 的任何开子集到 $\mathbb {R}$ 的 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类实值可微函数的集合。此外，我们用 ${\mathcal {C}}^{0}(M)$ 表示所有从 $M$ 的任何开子集到 $\mathbb {R}$ 的连续函数的集合（记住，$M$ 和 $\mathbb {R}$ 都是拓扑空间，这就是为什么连续性是为从其中一个到另一个的函数定义的）。

在这个集合 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 上，我们定义加法和乘法如下：设 $U,O\subseteq M$ 为开集，且 $\varphi :O\to \mathbb {R}$，$\vartheta :U\to \mathbb {R}$ 是两个 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类的可微函数。我们定义

$\varphi +\vartheta :O\cap U\to \mathbb {R} ,(\varphi +\vartheta )(p)=\varphi (p)+\vartheta (p)$

$\varphi -\vartheta :O\cap U\to \mathbb {R} ,(\varphi -\vartheta )(p)=\varphi (p)-\vartheta (p)$

$\varphi \cdot \vartheta :O\cap U\to \mathbb {R} ,(\varphi \cdot \vartheta )(p)=\varphi (p)\cdot \vartheta (p)$

并且，如果 $\vartheta$ 从不为零，

${\frac {\varphi }{\vartheta }}:O\cap U\to \mathbb {R} ,\left({\frac {\varphi }{\vartheta }}\right)(p)={\frac {\varphi (p)}{\vartheta (p)}}$

我们将在下文中使用 $\varphi \vartheta$ 来表示 $\varphi \cdot \vartheta$，省略掉乘号。这在变量相乘时也是很常见的（例如 $xy$ 代表 $x\cdot y$，当 $x,y\in \mathbb {R}$).

定义 1.6:

设 $M$ 是一个 $d$ 维的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，设 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是它的一个图集，设 $k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ 且设 $I\subseteq \mathbb {R}$。我们称一个函数 $\gamma :I\to M$ 为一个 **${\mathcal {C}}^{k}$ 类可微曲线** 当且仅当对于所有 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 函数

$\phi \circ \gamma |_{\gamma ^{-1}(O)}:\gamma ^{-1}(O)\to \mathbb {R} ^{d}$

包含于 ${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{d})$.

定义 1.7:

设 $M,N$ 分别是维数为 $d,b\in \mathbb {N}$ 的流形，设 $k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，设 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，$\{(U_{\kappa },\theta _{\kappa })|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 分别是 $M$ 和 $N$ 的图册。我们称函数 $\psi :M\to N$ 为 **${\mathcal {C}}^{k}$ 类可微函数**，当且仅当对于所有 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 和所有 $(U,\theta )\in \{(U_{\kappa },\theta _{\kappa })|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 满足

$O\cap \psi ^{-1}(U)=\emptyset$

或者函数

$\theta \circ \psi \circ \phi ^{-1}|_{\phi (O\cap \psi ^{-1}(U))}:\phi (O\cap \psi ^{-1}(U))\to \mathbb {R} ^{b}$

包含在 ${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{b})$.

切向量、切空间和切丛

从经典意义上来说，切线是指与几何物体在一点处相交的直线。在本节中，我们定义了流形上的切线，称为流形的切向量，其定义有些奇怪。

定义 1.8:

令 $M$ 是一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，且令 $p\in M$。在 $p$ 处的切向量是一个函数 $\mathbf {V} _{p}:{\mathcal {C}}^{n}(M)\to \mathbb {R}$，使得对于所有 $c\in \mathbb {R}$ 和 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，以下三条规则成立：

1. $\mathbf {V} _{p}(\varphi +c\vartheta )=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+c\mathbf {V} _{p}(\vartheta )$，只要 $\varphi$ 和 $\vartheta$ 都在 $p$ 处定义 （线性）
2. $\mathbf {V} _{p}(\varphi \vartheta )=\varphi (p)\mathbf {V} _{p}(\vartheta )+\vartheta (p)\mathbf {V} _{p}(\varphi )$ 当且仅当 $\varphi$ 和 $\vartheta$ 在 $p$ 处都有定义 (乘积法则)
3. 如果 $\varphi$ 在 $p$ 处没有定义（即 $\varphi$ 是一个从 $O$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数，使得 $p\notin O$), 那么 $\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$.

定义 1.9:

令 $M$ 为一个流形，令 $p\in M$。在 $p$ 处的 $M$ 的切空间，记为 $T_{p}M$，被定义为在 $p$ 处所有切向量组成的向量空间，并且标量-向量乘法为

$(c\mathbf {V} _{p})(\varphi ):=c\mathbf {V} _{p}(\varphi )$,

向量加法

$(\mathbf {V} _{p}+\mathbf {W} _{p})(\varphi ):=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+\mathbf {W} _{p}(\varphi )$

以及零元素

$\mathbf {0} _{p}(\varphi ):=0$.

定义 1.10:

设 $M$ 是一个流形。 $M$ 的**切丛**，记为 $TM$，定义如下

$TM:=\bigcup _{p\in M}T_{p}M$

余切向量、余切空间和余切丛

定义 1.11:

设 $M$ 是一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，设 $p\in M$。从 $T_{p}M$ 到 $\mathbb {R}$ 的线性函数称为**在 $p$ 处的余切向量**。在 $p$ 处的余切向量的一种标准符号是 $\alpha _{p}$。

定义 1.12:

令 $M$ 为一个流形，令 $p\in M$。$M$ 在 $p$ 的余切空间，我们将它记为 $T_{p}M^{*}$，被定义为在 $p$ 的所有余切向量的向量空间，具有标量-向量乘法

$(c\alpha _{p})(v_{p}):=c\alpha _{p}(v_{p})$,

向量加法

$(\alpha _{p}+\beta _{p})(v_{p}):=\alpha _{p}(v_{p})+\beta _{p}(v_{p})$

以及零元素

$0_{p}(v_{p}):=0$.

定义 1.13:

令 $M$ 为一个流形。$M$ 的余切丛，记为 $TM^{*}$，定义如下

$TM^{*}:=\bigcup _{p\in M}T_{p}M^{*}$

张量和张量积

定义 1.14:

令 $V$ 为一个向量空间，$V^{*}$ 为它的 对偶空间，令 $k,m\in \mathbb {N} _{0}$。我们称一个 多线性函数

$T:\overbrace {V^{*}\times \cdots \times V^{*}} ^{k{\text{ times}}}\times \overbrace {V\times \cdots \times V} ^{m{\text{ times}}}\to \mathbb {R}$

一个 **$(k,m)$ 张量**。

定义 1.15: 令 $V$ 是一个向量空间，令 $V^{*}$ 是其对偶空间，令 $k,m,j,l\in \mathbb {N} _{0}$，令 $T$ 是一个 $(k,m)$ 张量，令 $S$ 是一个 $(j,l)$ 张量。**$T$ 和 $S$ 的张量积**，记为 $T\otimes S$，定义为 $(k+j,m+l)$ 张量，由以下给出

${\begin{aligned}T\otimes S&:~\overbrace {V^{*}\times \cdots \times V^{*}} ^{k+j{\text{ times}}}\times \overbrace {V\times \cdots \times V} ^{m+l{\text{ times}}}\to \mathbb {R} ,\\(T\otimes S)(\mathbf {v} _{1}^{*},\ldots ,\mathbf {v} _{k+j}^{*},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m+l})&=T(\mathbf {v} _{1}^{*},\ldots ,\mathbf {v} _{k}^{*},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m})~\cdot \\&~~~~S(\mathbf {v} _{k+1}^{*},\ldots ,\mathbf {v} _{k+j}^{*},\mathbf {v} _{m+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m+l})\end{aligned}}$

我们将关于 $V$ 的所有张量的集合记为 $T(V)$.

来源

• Torres del Castillo, Gerardo (2012). Differentiable Manifolds. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8271-2.
• Lang, Serge (2002). Introduction to Differentiable Manifolds. New York: Springer. ISBN 0-387-95477-5.
• Rudolph, Gerd; Schmidt, Matthias (2013). Differential Geometry and Mathematical Physics. Netherlands: Springer. ISBN 978-94-007-5345-7.