可微流形/切空间和余切空间的基及微分

在本节中，我们将

• 为流形上每个点的每个图表给出切空间和余切空间的一个基，
• 展示如何在不同的基之间转换表示，
• 定义从流形到实数线、从区间到流形以及从流形到另一个流形的函数的微分，
• 并证明这些微分的链式法则、积法则和商法则。

切空间的一些基

定义 2.1:

设$M$ 是一个$d$ 维的类${\mathcal {C}}^{n}$ 流形，其中$n\geq 1$，且具有图册$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，并设$p\in O$。对于每个$j\in \{1,\ldots ,d\}$ 和$\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，$\varphi :O\to \mathbb {R}$

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}:{\mathcal {C}}^{n}(M)\to \mathbb {R} ,\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )={\begin{cases}\left(\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&p\in O\\0&p\notin O\end{cases}}$

接下来，我们将证明这些泛函是切空间的一组基。

定理 2.2：设$M$ 是一个$d$ 维${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其中$n\geq 1$，且具有图集$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，并设$p\in O$。对于所有$j\in \{1,\ldots ,d\}$

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\in T_{p}M$

即函数$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}:{\mathcal {C}}^{n}(M)\to \mathbb {R}$ 包含在切空间$T_{p}M$ 中。

证明:

设$\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。

1. 我们证明线性。

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi +c\vartheta )&=\left(\partial _{x_{j}}((\varphi +c\vartheta )\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\left(\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1}+c\vartheta \circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\left(\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})+c\partial _{x_{j}}(\vartheta \circ \phi ^{-1}))\right)(\phi (p))\\&=\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )+c\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\vartheta )\end{aligned}}$

从第二行到第三行，我们使用了导数的线性性质。

2. 我们证明乘积法则。

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi \vartheta )&=\left(\partial _{x_{j}}((\varphi \vartheta )\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\left(\partial _{x_{j}}((\varphi \circ \phi ^{-1})(\vartheta \circ \phi ^{-1}))\right)(\phi (p))\\&=(\varphi \circ \phi ^{-1})(\phi (p))\left(\partial _{x_{j}}(\vartheta \circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))+(\vartheta \circ \phi ^{-1})(\phi (p))\left(\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\varphi (p)\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\vartheta )+\vartheta (p)\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )\end{aligned}}$

从第二行到第三行，我们使用了导数的乘积法则。

3. 由$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$的定义可知，如果$\varphi$在$p$处未定义，则$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )=0$。$\Box$

引理 2.3：设$M$ 是一个$d$ 维${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其图册为$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，并设$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。如果我们写$\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$，则对于每个$k\in \{1,\ldots ,d\}$，我们有$\phi _{k}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。

证明:

设$(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。由于$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是一个图册，$\theta$ 和$\phi$ 是相容的。由此可知，函数

$\phi |_{U\cap O}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1}$

属于 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类。但如果我们用 $\pi _{k}$ 表示函数

$\pi _{k}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\pi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{d})=x_{k}$

, 也称为“投影到第 $k$ 个分量”，那么我们有

$\phi _{k}|_{U\cap O}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1}=\pi _{k}\circ \phi |_{U\cap O}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1}$

很容易证明 $\pi _{k}$ 包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因此函数

$\pi _{k}\circ \phi |_{U\cap O}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1}$

包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因为它是 $n$ 次连续可微函数（如果 $n=0$，则为连续函数）的复合。$\Box$

引理 2.4：设$M$ 是一个$d$ 维的${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其中$n\geq 1$，且其图册为$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，并设$p\in O$。如果我们写$\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$，则有

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\phi _{k})={\begin{cases}1&j=k\\0&j\neq k\end{cases}}$

注意，根据引理 2.3，$\phi _{k}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 对所有$k\in \{1,\ldots ,d\}$ 成立，这就是上述表达式有意义的原因。

证明:

我们有

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\phi _{k})&=\left(\partial _{x_{j}}(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\lim _{y\to 0}{\frac {(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})(x_{1},\ldots ,x_{j-1},x_{j}+y,x_{j+1},\ldots ,x_{d})-(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})(x_{1},\ldots ,x_{d})}{y}}\end{aligned}}$

此外，

$(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})(x_{1},\ldots ,x_{d})=x_{k}$

并且

$(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})(x_{1},\ldots ,x_{j-1},x_{j}+y,x_{j+1},\ldots ,x_{d})={\begin{cases}x_{k}+y&k=j\\x_{k}&k\neq j\end{cases}}$

将此代入上述极限即可得到引理。$\Box$

定理 2.5：设 $M$ 为一个 $d$ 维的类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 流形，其中 $n\geq 1$ 且具有图集 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 且设 $p\in O$。切向量

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\in T_{p}M,j\in \{1,\ldots ,d\}$

线性无关。

证明:

我们再次写下 $\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$。

令 $\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}=0_{p}$。 那么对于所有 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 我们有

$0=0_{p}(\phi _{k})=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\phi _{k})=a_{k}$$\Box$

引理 2.6

:

令$M$ 为一个具有图集$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 的流形，$p\in M$，$V\subseteq M$ 为开集，令$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$ 且 $\varphi :V\to \mathbb {R} ,\varphi (q)=c$，其中 $c\in \mathbb {R}$；即 $\varphi$ 是一个常数函数。那么 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 且 $\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$。

证明:

1. 我们证明$\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$。

根据假设，$V\subseteq M$ 是开集。这意味着${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 定义的第一部分得到了满足。

此外，对于每个$(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 和 $x\in \theta (V\cap U)$，我们有

$\varphi \circ \theta |_{U\cap V}(x)=c$

这包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$中。

2. 我们证明$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$。

我们定义$\vartheta :V\to \mathbb {R} ,\vartheta (q)=1$。利用切向量的线性法则和乘积法则，我们得到

$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=\mathbf {V} _{p}(\vartheta \varphi )=1\mathbf {V} _{p}(\varphi )+\varphi (p)\mathbf {V} _{p}(\vartheta )=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+\mathbf {V} _{p}(\vartheta \varphi (p))=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+\mathbf {V} _{p}(\varphi )$

减去$\mathbf {V} _{p}(\varphi )$，我们得到$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$。$\Box$

定理 2.7

:

令$M$ 为一个$d$ 维的${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类流形，其图册为$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，令$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，并令$p\in O$。对于每个$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$ 和每个$\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，我们有

$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )$

证明:

令$U\subseteq M$ 为开集，并令$\varphi :U\to \mathbb {R}$ 包含于${\mathcal {C}}^{n}(M)$。

情况 1：$p\notin U$。

在这种情况下，$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$ 以及 $\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )=0$，因为 $\varphi$ 在 $p$ 处未定义，并且 $\mathbf {V} _{p}$ 和 $\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$ 都是切向量。由此得出公式。

情况 2：$p\in U$。

在这种情况下，我们得到集合$\phi (U\cap O)$在$\mathbb {R} ^{d}$中是开集，如下所示：由于$\phi :O\to \phi (O)$根据图的定义是同胚，集合$\phi (U\cap O)$在$\phi (O)$中是开集。根据子空间拓扑的定义，我们有$\phi (U\cap O)=V\cap \phi (O)$，其中$V$在$\mathbb {R} ^{d}$中是开集。但是$V\cap \phi (O)$在$\mathbb {R} ^{d}$中是开集，因为它是两个开集的交集；回想一下，在图的定义中，$\phi (O)$需要是开集。

此外，从$p\in U$和$p\in O$可以推出$p\in U\cap O$，因此$\phi (p)\in \phi (O\cap U)$。由于$\phi (O\cap U)$是开集，我们找到一个$\epsilon >0$，使得开球$B_{\epsilon }(\phi (p))$包含于$\phi (O\cap U)$。我们定义$W:=\phi ^{-1}(B_{\epsilon }(\phi (p)))$。由于$\phi$是双射的，$W\subseteq U\cap O$，并且由于$\phi$是同胚，特别是连续的，$W$在$O$中是开集（关于$O$的子空间拓扑）。由此也推出$O$在$M$中是开集，因为如果$W$在$O$中是开集，那么根据子空间拓扑的定义，它具有$V\cap O$的形式，其中$V\subseteq M$是开集，因此它是两个开集的交集，所以也是开集。

我们有 $\varphi |_{W}:W\to \mathbb {R}$ 包含于 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$：$W$ 是 $M$ 的一个开子集，并且如果 $(V,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，则

$\varphi |_{W\cap V}\circ \theta |_{W\cap V}^{-1}=(\varphi |_{U\cap V}\circ \theta |_{U\cap V}^{-1})|_{\theta (W\cap V)}$,

（通过直接计算验证！），它包含于 ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$，因为它是任意次连续可微函数的限制。

我们现在定义函数 $F:B_{\epsilon }(\phi (p))\to \mathbb {R}$，$F(x)=(\varphi \circ \phi ^{-1})(x)$，并且进一步对于每个 $x\in B_{\epsilon }(\phi (p))$，我们定义

$\mu _{x}(\xi ):=F(\xi x+(1-\xi )\phi (p))$

根据微积分基本定理、多维链式法则和积分的线性性，对于每个 $x\in B_{\epsilon }(\phi (p))$，可得

${\begin{aligned}F(x)&=\mu _{x}(1)\\&=\mu _{x}(0)+\int _{0}^{1}\mu _{x}'(\xi )d\xi \\&=F(\phi (p))+\sum _{j=1}^{d}(x_{j}-\phi (p)_{j})\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}F(\xi \phi (p)+(1-\xi )x)d\xi \end{aligned}}$

如果将 $x=\phi (q)$ 设置为 $q\in W$，则通过代入 $F$ 的定义，可以得到

$\varphi (q)=\varphi (p)+\sum _{j=1}^{d}(\phi (q)_{j}-\phi (p)_{j})\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\xi \phi (p)+(1-\xi )\phi (q))d\xi$

现在我们定义函数

$f_{j}:W\to \mathbb {R} ,f_{j}(q):=\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\xi \phi (p)+(1-\xi )\phi (q))d\xi$

这些函数包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中，因为它们定义在 $W$ 上，而 $W$ 是开集。此外，如果 $(V,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，则

$f_{j}|_{V\cap W}\circ \theta |_{V\cap W}^{-1}=\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\xi \phi |_{V\cap W}\circ \theta |_{V\cap W}^{-1}+(1-\xi )\phi |_{V\cap W}\circ \theta |_{V\cap W}^{-1})d\xi$

，根据莱布尼茨积分法则，它是任意次可微的，因为它是紧集上任意次可微函数的复合函数的积分。

此外，再次表示$\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$，函数$\phi _{k}$，$k\in \{1,\ldots ,d\}$ 包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$中，根据引理 2.3。

由于$\varphi |_{W}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$，$\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})$ 已定义。我们应用切向量规则（线性性和乘积规则）以及引理 2.6（我们被允许这样做，因为所有相关函数都包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$中），并得到

${\begin{aligned}\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})&=\mathbf {V} _{p}\left(\varphi (p)+\sum _{j=1}^{d}(\phi _{j}-\phi (p)_{j})f_{j}\right)\\&=\sum _{j=1}^{d}\left(\phi _{j}(p)\mathbf {V} _{p}(f_{j})+f_{j}(p)\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})-\phi (p)_{j}\mathbf {V} _{p}(f_{j})\right)\\&=\sum _{j=1}^{d}f_{j}(p)\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\end{aligned}}$

，因为根据我们的记号，很明显 $\phi _{j}(p)=\phi (p)_{j}$。

但是

${\begin{aligned}f_{j}(p)&=\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\xi \phi (p)+(1-\xi )\phi (p))d\xi \\&=\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\phi (p))d\xi \\&=\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\phi (p))\\&=\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )\end{aligned}}$

因此，我们成功地证明了

$\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )$

但是，根据 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$上的减法定义，根据引理2.6，以及常数零函数是一个常数函数的事实

$\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W}-\varphi )=\mathbf {V} _{p}(0)=0$

由于$\mathbf {V} _{p}$ 的线性，所以满足$0=\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})-\mathbf {V} _{p}(\varphi )$，即 $\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})=\mathbf {V} _{p}(\varphi )$。现在，将其代入上述方程即可得到定理。$\Box$

结合定理 2.5，该定理表明

$\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$

是$T_{p}M$ 的一个基，因为基是线性无关的生成集。并且由于向量空间的维数被定义为基中元素的数量，这意味着$T_{p}M$ 的维数等于$d$。

余切空间的一些基

定义 2.8

:

设$M$ 是一个$d$ 维的${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类流形，且其图册为$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，且设$p\in O$。我们写$\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$。然后，对于$j\in \{1,\ldots ,d\}$，我们定义

$(d\phi _{j})_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} ,(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p}):=\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})$

注意$(d\phi _{j})_{p}$ 是良定义的，因为引理 2.3。

定理 2.9：设$M$ 是一个$d$ 维${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类流形，且其图册为$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 且设$p\in O$。对于所有$j\in \{1,\ldots ,d\}$，$(d\phi _{j})_{p}$ 包含于$T_{p}M^{*}$。

证明:

根据定义，$d\phi _{k}$ 将$T_{p}M$ 映射到$\mathbb {R}$。因此，我们只需要证明线性。事实上，对于$\mathbf {V} _{p},\mathbf {W} _{p}\in T_{p}M$ 和$b\in \mathbb {R}$，由于$T_{p}M$ 中的加法和标量乘法是逐点定义的，我们有

${\begin{aligned}(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p}+b\mathbf {W} _{p})&=(\mathbf {V} _{p}+b\mathbf {W} _{p})(\phi _{k})\\&=\mathbf {V} _{p}(\phi _{k})+b\mathbf {W} _{p}(\phi _{k})\\&=(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p})+b(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {W} _{p})\end{aligned}}$$\Box$

引理 2.10：设 $M$ 为一个 $d$ 维的 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类流形，且具有图集 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，且设 $p\in O$。对于 $j,k\in \{1,\ldots ,d\}$，下述等式成立

$(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)={\begin{cases}1&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}$

证明:

我们有

$(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}(\phi _{j}){\overset {\text{lemma 2.4}}{=}}{\begin{cases}1&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}$$\Box$

定理 2.11：设$M$ 是一个$d$ 维${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类流形，且具有图集$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，且设$p\in O$。余切向量$(d\phi _{j})_{p},j\in \{1,\ldots ,d\}$ 线性无关。

证明:

设$0=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}$，其中$0$ 表示$T_{p}M^{*}$ 的零元。然后对于所有$k\in \{1,\ldots ,d\}$

$0=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right){\overset {\text{lemma 2.10}}{=}}a_{k}$$\Box$

定理 2.12:

设$M$ 是一个$d$ 维的${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类流形，并具有图集$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，并设$p\in O$。如果$\alpha _{p}\in T_{p}M^{*}$，那么对于所有$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$

$\alpha _{p}(\mathbf {V} _{p})=\sum _{j=1}^{d}\alpha _{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\right)(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p})$

证明:

设$\alpha _{p}\in T_{p}M^{*}$ 和 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$。根据定理 2.7，我们有

$\mathbf {V} _{p}=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$

因此，由于$\alpha _{p}$ 的线性性（因为$T_{p}M^{*}$ 是到$\mathbb {R}$ 的线性函数的空间）

${\begin{aligned}\alpha _{p}(\mathbf {V} _{p})&=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\alpha _{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\right)\\&=\sum _{j=1}^{d}\alpha _{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\right)(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p})\end{aligned}}$

由于$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$ 是任意的，因此定理得证。$\Box$

从定理 2.11 和 2.12 可以得出，如同上一小节一样，

$\left\{(d\phi _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$

是$T_{p}M^{*}$ 的一个基，并且$T_{p}M^{*}$ 的维数等于$d$，如同$T_{p}M$ 的维数。

在不同的基中表达切空间和余切空间的元素

如果$M$是一个流形，$p\in M$ 并且 $(O,\phi ),(U,\theta )$ 是 $M$ 的图册中的两个图，使得 $p\in O$ 并且 $p\in U$。然后根据前两小节，可知

• $\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$ 和 $\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$ 是 $T_{p}M$ 的基，并且
• $\left\{(d\phi _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$ 和 $\left\{(d\theta _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$ 是 $T_{p}M^{*}$ 的基。

现在我们可以提出以下问题：

如果我们在$T_{p}M$中有一个元素$\mathbf {V} _{p}$，由$\mathbf {V} _{p}=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$给出，那么我们如何用基$\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$的线性组合来表示$\mathbf {V} _{p}$？

或者，如果我们在$T_{p}M^{*}$中有一个元素$\alpha _{p}$，由$\alpha _{p}=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}$给出，那么我们如何用基$\left\{(d\theta _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$的线性组合来表示$\alpha _{p}$？

以下两个定理回答了这些问题

定理 2.13

:

设$M$ 为一个流形，$p\in M$ 且 $(O,\phi ),(U,\theta )$ 是 $M$ 的图册中的两个图表，使得 $p\in O$ 且 $p\in U$。如果 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$ 由 $\mathbf {V} _{p}=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$给出，那么我们有

$\mathbf {V} _{p}=\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\theta _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)_{p}$

证明:

根据定理 2.7，对于 $j\in \{1,\ldots ,d\}$ 我们有

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}=\sum _{k=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\theta _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)_{p}$

由此可得

${\begin{aligned}\mathbf {V} _{p}&=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\\&=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\sum _{k=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\theta _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)_{p}\\&=\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\theta _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)_{p}\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.14:

设$M$ 为一个流形，$p\in M$ 且 $(O,\phi ),(U,\theta )$ 是 $M$ 的图册中的两个图表，使得 $p\in O$ 且 $p\in U$。如果 $\alpha _{p}\in T_{p}M^{*}$ 由 $\alpha _{p}=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}$给出，则我们有

$\alpha _{p}=\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\right)(d\theta _{k})_{p}$

证明:

根据定理 2.12，对于 $j\in \{1,\ldots ,d\}$，我们有

$(d\phi _{j})_{p}=\sum _{k=1}^{d}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)(d\theta _{k})_{p}$

因此，我们得到

${\begin{aligned}\alpha _{p}&=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}\\&=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\sum _{k=1}^{d}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)(d\theta _{k})_{p}\\&=\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)(d\theta _{k})_{p}\end{aligned}}$$\Box$

拉回和微分

在本小节中，我们将定义拉回和微分。对于微分，我们需要三个定义，分别对应以下三种类型的函数：

• 从一个流形到另一个流形的函数
• 从一个流形到 $\mathbb {R}$ 的函数
• 从区间 $I\subseteq \mathbb {R}$ 到流形的函数（即曲线）

对于第一个，即从一个流形到另一个流形的函数的微分，我们需要定义什么是拉回。

定义 2.15

:

设$M,N$ 是两个${\mathcal {C}}^{n}$ 类的流形，且$\psi :M\to N$ 是${\mathcal {C}}^{k}$ 类的可微映射。我们定义**关于$\psi$ 的 $\varphi$ 的**回拉**”，其中$\varphi \in {\mathcal {C}}^{k}(N)$ 为

$\psi ^{*}:{\mathcal {C}}^{k}(N)\to {\mathcal {C}}^{k}(M),\psi ^{*}(\varphi ):=\varphi \circ \psi |_{\psi ^{-1}(O)}$,

其中$O\subseteq N$ 是$\varphi$ 定义在其上的开集。

引理 2.16：设$M$ 是一个 $d$ 维流形，且 $N$ 是一个 $b$ 维流形，设 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，且 $\psi :M\to N$ 是 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类的可微映射。则 $\psi$ 是连续的。

证明:

我们证明对于任意 $p\in M$，$\psi$ 在 $p$ 的一个开邻域上是连续的。拓扑学中有一个定理指出，由此可以推出连续性。

我们在 $M$ 的图集中选择一个坐标邻域 $(O,\phi )$，使得 $p\in O$，并在 $N$ 的图集中选择一个坐标邻域 $(U,\theta )$，使得 $\psi (p)\in U$。由于 $\psi$ 的可微性，函数

$\theta \circ \psi \circ \phi |_{\phi (O\cap \psi ^{-1}(U))}^{-1}$

包含于${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{b})$，因此是连续的。但是$\phi$和$\theta$是图表，因此是同胚，从而函数

$\psi |_{O\cap \psi ^{-1}(U)}:O\cap \psi ^{-1}(U)\to N,\psi =\theta ^{-1}\circ \theta \circ \psi \circ \phi |_{O\cap \psi ^{-1}(U)}^{-1}\circ \phi |_{O\cap \psi ^{-1}(U)}$

是连续的，因为它是连续函数的复合。$\Box$

引理 2.17：设$M,N$是两个流形，设$\psi :M\to N$是${\mathcal {C}}^{k}$类的可微函数，并设$\varphi \in {\mathcal {C}}^{k}(N)$在开集$U\subseteq N$上定义。在这种情况下，函数$\varphi \circ |_{\psi ^{-1}(U)}$包含于${\mathcal {C}}^{k}(M)$；即关于$\psi$的拉回确实映射到${\mathcal {C}}^{k}(M)$。

证明:

由于引理 2.16，$\psi$是连续的，因此$\psi ^{-1}(U)$在$M$中是开集。因此$\varphi \circ \psi |_{\psi ^{-1}(U)}$在开集上定义。

令$(O,\phi )$为$M$图册中的任意元素，并令$x\in \phi (O)$为任意元素。我们选择$(V,\theta )$在$N$的图册中，使得$\psi (\phi ^{-1}(x))\in V$。函数

$(\varphi \circ \psi |_{\psi ^{-1}(U)}\circ \phi |_{\psi ^{-1}(U)\cap O}^{-1})|_{\phi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}=\varphi |_{\psi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}\circ \theta |_{\psi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}^{-1}\circ \theta |_{\psi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O}\circ \phi |_{\phi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}^{-1}$

是$k$次连续可微的（如果$k=0$则为连续的）在$x$处，作为两个$k$次连续可微的（如果$k=0$则为连续的）函数的复合。因此，函数

$\varphi \circ \psi |_{\psi ^{-1}(U)}\circ \phi |_{\psi ^{-1}(U)\cap O}^{-1}$

是$k$次连续可微的（如果$k=0$则为连续的）在每一点上，因此包含在${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$中。$\Box$

定义 2.18:

设$M,N$是两个类${\mathcal {C}}^{n}$的流形，设$\psi :M\to N$是类${\mathcal {C}}^{n}$的可微函数，并设$p\in M$。$\psi$在$p$处的微分应定义为函数

$d\psi _{p}:T_{p}M\to T_{\psi (p)}N,d\psi _{p}(\mathbf {V} _{p}):=\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*}$

定理 2.19:

设$M,N$ 是两个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，设 $\psi :M\to N$ 是类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微映射，且 $p\in M$。我们有 $\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*}\in T_{p}N$；也就是说，$\psi$ 在 $p$ 处的微分确实映射到 $T_{p}N$。

证明:

令$O,U\subseteq M$ 为开集，$\varphi :O\to \mathbb {R} ,\vartheta :U\to \mathbb {R} \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 且$c\in \mathbb {R}$ 为任意实数。在下文的证明中，我们将用到对于所有开子集$V\subseteq O$，有$\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{V})=\mathbf {V} _{p}(\varphi )$（这由$\mathbf {V} _{p}$ 的线性性得出）。

1. 我们证明线性性。

${\begin{aligned}(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi +c\vartheta )&=\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\varphi +c\vartheta ))\\&=\mathbf {V} _{p}((\varphi +c\vartheta )\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})\\&=\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)}+c\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})\\&=\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})+c\mathbf {V} _{p}(\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})\\&=\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\varphi ))+c\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\vartheta ))\\&=(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi )+c(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\vartheta )\end{aligned}}$

2. 我们证明乘积法则。

${\begin{aligned}(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi \vartheta )&=\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\varphi \vartheta ))\\&=\mathbf {V} _{p}((\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})(\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)}))\\&=(\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})(p)\mathbf {V} _{p}(\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})+(\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})(p)\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})\\&=\varphi (\psi (p))\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}\vartheta )+\vartheta (\psi (p))\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}\varphi )\\&=\varphi (\psi (p))(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\vartheta )+\vartheta (\psi (p))(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi )\end{aligned}}$$\Box$

定义 2.20:

设 $M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，设 $p\in M$ 且设 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。$\varphi$ 的微分，记为 $d\varphi _{p}$，定义为函数

$d\varphi _{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} ,d\varphi _{p}(\mathbf {V} _{p}):=\mathbf {V} _{p}(\varphi )$

定义 2.21:

设 $M$ 为类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，$n\geq 1$，设 $I\subseteq \mathbb {R}$ 为一个区间，设 $y\in I$ 且设 $\gamma :I\to M$ 为类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微曲线。$\gamma$ 在 $y$ 处的微分 定义为函数

$\gamma '_{y}:{\mathcal {C}}^{n}(M)\to \mathbb {R} ,\gamma '_{y}(\varphi ):={\begin{cases}(\varphi \circ \gamma )'(y)&{\text{if }}\varphi {\text{ is defined at }}\gamma (y)\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

定理 2.22：设$M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，$n\geq 1$，设 $I\subseteq \mathbb {R}$ 是一个区间，设 $y\in I$ 且设 $\gamma :I\to M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微曲线。则对于每个 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，$\varphi \circ \gamma$ 包含于 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$，且 $\gamma '_{y}$ 是 $M$ 在 $\gamma (y)$ 处的切向量。

证明:

1. 我们证明 $\forall \varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M):\circ \gamma \in {\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$

令$x\in I$ 是任意的，并令$U$ 为$\varphi$ 定义的集合（根据${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函数的定义，$U$ 是开集）。我们选择$(O,\phi )$ 作为$M$ 的图册中的一个，使得$\gamma (x)\in O$。则该函数

$(\varphi \circ \gamma )|_{\gamma ^{-1}(O\cap U)\cap I}=\varphi \circ \phi ^{-1}\circ \phi \circ \gamma |_{\gamma ^{-1}(O\cap U)\cap I}$

包含于${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$，因为它是两个$n$ 次连续可微（或连续，如果$n=0$）函数的复合。

因此，$\varphi \circ \gamma$ 在每一点都是$n$ 次连续可微（或连续，如果$n=0$），因此$n$ 次连续可微（或连续，如果$n=0$）。

2. 我们将分三个步骤证明 $\gamma '_{y}\in T_{\gamma (y)}M$。

令 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 且 $c\in \mathbb {R}$。

2.1 我们证明线性性。

我们有

${\begin{aligned}\gamma '_{y}(\varphi +c\vartheta )&=((\varphi +c\vartheta )\circ \gamma )'(y)\\&=(\varphi \circ \gamma +c\vartheta \circ \gamma )'(y)\\&=(\varphi \circ \gamma )'(y)+c(\vartheta \circ \gamma )'(y)\\&=\gamma '_{y}(\varphi )+c\gamma '_{y}(\vartheta )\end{aligned}}$

2.2 我们证明乘积法则。

${\begin{aligned}\gamma '_{y}(\varphi \vartheta )&=((\varphi \vartheta )\circ \gamma )'(y)\\&=((\varphi \circ \gamma )(\vartheta \circ \gamma ))'(y)\\&=(\varphi \circ \gamma )(y)(\vartheta \circ \gamma )'(y)+(\vartheta \circ \gamma )(y)(\varphi \circ \gamma )'(y)\\&=\varphi (\gamma (y))\gamma '_{y}(\vartheta )+\vartheta (\gamma (y))\gamma '_{y}(\varphi )\end{aligned}}$

2.3 由 $\gamma '_{y}$ 的定义可知，如果 $\varphi$ 在 $\gamma (y)$ 处未定义，则 $\gamma '_{y}(\varphi )$ 等于零。$\Box$

C^k(M) 上微分的线性性，乘积、商和链式法则

在本小节中，我们将首先证明从流形到$\mathbb {R}$的函数的线性性和乘积法则。

定理 2.23:

设$M$ 为一个流形，$k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，$\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$ 且 $c\in \mathbb {R}$。则 $\varphi +c\vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$，且

$d(\varphi +c\vartheta )=d\varphi +cd\vartheta$

证明:

1. 我们证明$\varphi +c\vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$。

设$U$ 为$\varphi +c\vartheta$ 定义的集合（作为两个开集的交集而为开集），并设$(O,\phi )$ 包含在$M$ 的图集中。函数

$(\varphi +c\vartheta )|_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}=\varphi |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}+c\vartheta |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}$

包含在${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因为它是两个${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 函数的线性组合。

2. 我们证明$d(\varphi +c\vartheta )=d\varphi +cd\vartheta$。

对于所有$p\in M$ 和 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$，我们有

$d(\varphi +c\vartheta )_{p}(\mathbf {V} _{p})=\mathbf {V} _{p}(\varphi +c\vartheta )=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+c\mathbf {V} _{p}(\vartheta )=d\varphi _{p}(\mathbf {V} _{p})+cd\vartheta _{p}(\mathbf {V} _{p})$$\Box$

注记 2.24：这也表明，对于所有$\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，$d\varphi _{p}\in T_{p}M^{*}$。

定理 2.25:

令$M$ 为一个流形，$k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$ 且 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$。则 $\varphi \vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$ 且

$d(\varphi \vartheta )=\varphi d\vartheta +\vartheta d\varphi$

证明:

1. 我们证明 $\varphi \vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$。

令$U$ 为定义 $\varphi \vartheta$ 的（作为两个开集交集的）开集，并令$(O,\phi )$ 包含在$M$ 的图集中。该函数

$(\varphi \vartheta )|_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}=\varphi |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}\vartheta |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}$

包含在${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因为它是两个${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 函数的乘积。

2. 我们证明 $d(\varphi \vartheta )=\varphi d\vartheta +\vartheta d\varphi$。

对于所有$p\in M$ 和 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$，我们有

$d(\varphi \vartheta )_{p}(\mathbf {V} _{p})=\mathbf {V} _{p}(\varphi \vartheta )=\varphi (p)\mathbf {V} _{p}(\vartheta )+\vartheta (p)\mathbf {V} _{p}(\varphi )=\varphi (p)d\vartheta _{p}+\vartheta (p)d\varphi _{p}$$\Box$

定理 2.26:

设$M$ 是一个$d$ 维${\mathcal {C}}^{n}$ 类的流形，并设$\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，使得$\vartheta$ 在任何点都不为零。则${\frac {\varphi }{\vartheta }}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，并且

$d\left({\frac {\varphi }{\vartheta }}\right)={\frac {\vartheta d\varphi -\varphi d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}$

证明:

1. 我们证明${\frac {\varphi }{\vartheta }}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$

设$U$ 为${\frac {\varphi }{\vartheta }}$ 定义的集合（由于它是两个开集的交集，因此是开集），并设$(O,\phi )$ 为$M$ 的图册中的一个图，使得$O\cap U\neq \emptyset$。函数

${\frac {\varphi }{\vartheta }}{\big |}_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}={\frac {\varphi |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}}{\vartheta |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}}}$

包含于${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因为它是两个${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 函数的商，其中分母函数在任何地方都不为零。

2. 我们证明 $d\left({\frac {\varphi }{\vartheta }}\right)={\frac {\vartheta d\varphi -\varphi d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}$

选择 $\varphi$ 为常数函数 1，根据 1.，我们得到函数 ${\frac {1}{\vartheta }}$ 属于 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$。因此，由乘积法则可得

$0=d\left(\vartheta {\frac {1}{\vartheta }}\right)=\vartheta d\left({\frac {1}{\vartheta }}\right)+{\frac {1}{\vartheta }}d\vartheta$

通过等价变换，可以将其转换为

$d\left({\frac {1}{\vartheta }}\right)=-{\frac {d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}$

由此以及乘积法则，我们得到

$d\left(\varphi {\frac {1}{\vartheta }}\right)={\frac {1}{\vartheta }}d\varphi -{\frac {\varphi d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}={\frac {\vartheta d\varphi -\varphi d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}$$\Box$

定理 2.27

:

设$M,N$ 为类${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，设$\psi :M\to N$ 为类${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微映射，并设$\varphi :N\to \mathbb {R}$ 为类${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微映射。则$\varphi \circ \psi =\psi ^{*}\varphi$ 是类${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微映射，并且对于所有$p\in M$，我们有以下等式。

$d(\psi ^{*}\varphi )=d\varphi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p}$

证明:

1. 我们已经知道$\varphi \circ \psi =\psi ^{*}\varphi$ 是类${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微映射；引理 2.17 已经证明了这一点。

2. 我们证明$d(\psi ^{*}\varphi )_{p}=d\varphi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p}$。

设$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$。则我们有

${\begin{aligned}(d\varphi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p})(\mathbf {V} _{p})&=d\varphi _{\psi (p)}(d\psi _{p}(\mathbf {V} _{p}))\\&=d\varphi _{\psi (p)}(\mathbf {V} _{p}\circ \psi )\\&=(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi )\\&=\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\varphi ))\\&=\mathbf {V} _{p}(\varphi \circ \psi )\\&=d(\varphi \circ \psi )_{p}(\mathbf {V} _{p})\end{aligned}}$$\Box$

现在，让我们继续证明从流形到流形的函数的链式法则。但要做到这一点，我们首先需要另一个关于拉回的定理。

定理 2.28：设 $M,N,K$ 是三个流形，并且设 $\psi :M\to N$ 和 $\chi :N\to K$ 是两个类 ${\mathcal {C}}^{k}$ 可微的函数。那么

$(\chi \circ \psi )^{*}=\psi ^{*}\circ \chi ^{*}$

证明：设 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{k}(K)$。然后我们有

${\begin{aligned}(\chi \circ \psi )^{*}(\varphi )&=\varphi \circ (\chi \circ \psi )\\&=(\varphi \circ \chi )\circ \psi \\&=\chi ^{*}(\varphi )\circ \psi \\&=\psi ^{*}(\chi ^{*}(\varphi ))\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.29

:

设$M,N,K$ 为类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，并设$\psi :M\to N$ 和 $\chi :N\to K$ 是两个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 可微函数。那么 $\chi \circ \psi$ 是类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 可微的，并且

$\forall p\in M:d(\chi \circ \psi )_{p}=d\chi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p}$

证明:

1. 我们证明 $\chi \circ \psi$ 是类 ${\mathcal {C}}^{k}$ 可微的。

设$(O,\phi )$包含在$M$的图册中，并设$(U,\theta )$包含在$K$的图册中，使得$O\cap \psi ^{-1}(\chi ^{-1}(U))\neq \emptyset$，并设$x\in \phi ^{-1}(O)\cap \psi ^{-1}(\chi ^{-1}(U))$为任意点。我们选择$(V,\eta )$在$N$的图册中，使得$\psi (\phi (x))\in V$。

我们有$\psi (\phi (x))\in V\cap \chi ^{-1}(U)$；事实上，$\psi (\phi (x))\in V$由于$(V,\phi )$的选择，以及$\psi (\phi (x))\in \chi ^{-1}(U)$，因为$\phi (x)\in \psi ^{-1}(\chi ^{-1}(U))$。此外，我们选择$W:=O\cap \psi ^{-1}(V\cap \chi ^{-1}(U))$。那么函数

$\theta ^{-1}\circ (\chi \circ \psi )\circ \phi |_{W}^{-1}=\theta ^{-1}\circ \chi \circ \eta ^{-1}\circ \eta \circ \psi |_{W}\circ \phi |_{W}^{-1}$

包含于${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{d})$中，作为两个${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{d})$函数的复合。

因此，$\theta ^{-1}\circ (\chi \circ \psi )\circ \phi |_{O\cap \psi ^{-1}(\chi ^{-1}(U))}^{-1}$在每一点上都是$n$次连续可微（如果$n=0$则为连续），因此$n$次连续可微（如果$n=0$则为连续）。

2. 我们证明$\forall p\in M:d(\chi \circ \psi )_{p}=d\chi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p}$。

对于所有$p\in M$ 和 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$，我们有

${\begin{aligned}(d\chi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p})(\mathbf {V} _{p})&=d\chi _{\psi (p)}(d\psi _{p}(\mathbf {V} _{p}))\\&=d\chi _{\psi (p)}(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})\\&=\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*}\circ \chi ^{*}\\&{\overset {\text{theorem 2.26}}{=}}\mathbf {V} _{p}\circ (\chi \circ \psi )^{*}\\&=d(\chi \circ \psi )_{p}(\mathbf {V} _{p})\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.30

:

设$M$ 是一个${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，$n\geq 1$ (!) $I\subseteq \mathbb {R}$ 是一个开区间，$\gamma :I\to M$ 是$M$ 中的一条曲线，它是${\mathcal {C}}^{n}$ 类可微的，并且$\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。那么$\varphi \circ \gamma \in {\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$。

$(\varphi \circ \gamma )'(y)=d\varphi _{\gamma (y)}(\gamma '_{y})$

证明:

1. 此外，定理 2.22 指出$\varphi \circ \gamma$ 包含于${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$。

2. 我们证明$(\varphi \circ \gamma )'(y)=d\varphi _{\gamma (y)}(\gamma '_{y})$。

${\begin{aligned}d\varphi _{\gamma (y)}(\gamma '_{y})&=\gamma '_{y}(\varphi )\\&=(\varphi \circ \gamma )'(y)\end{aligned}}$$\Box$

切空间的直观理解

在本节中，我们希望证明我们定义的切空间与一个空间同构，该空间的元素类似于切向量，例如函数$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$的切向量。

我们首先证明线性代数中的以下引理。

引理 2.33:

设$\mathbf {U} ,\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 为向量空间，且$L:\mathbf {U} \to \mathbf {V}$，$T:\mathbf {V} \to \mathbf {W}$ 和 $S:\mathbf {W} \to \mathbf {U}$ 为线性函数，使得

$L\circ S\circ T={\text{Id}}_{\mathbf {V} }$，$T\circ L\circ S={\text{Id}}_{\mathbf {W} }$ 和 $S\circ T\circ L={\text{Id}}_{\mathbf {U} }$。

则 $L$，$T$ 和 $S$ 都是向量空间同构。

证明:

我们仅证明$T$是向量空间同构；$S$和$L$也是向量空间同构将以完全相同的方式得出。

从$L\circ S\circ T={\text{Id}}_{\mathbf {V} }$和$T\circ L\circ S={\text{Id}}_{\mathbf {W} }$可以得出$L\circ S$是$T$的反函数。$\Box$

定义 2.34:

设$M$为类${\mathcal {C}}^{n}$的流形，$n\geq 1$，并设$p\in M$。则$M$在$p$处的速度空间定义为由曲线集$\{\gamma :I\to M|I=(a,b),a,b\in \mathbb {R} \}$的等价关系的等价类组成的向量空间。

$\gamma \sim _{p}\rho :\Leftrightarrow \gamma '(p)=\rho '(p)$.

来源

• Torres del Castillo, Gerardo (2012). 可微流形. 波士顿: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8271-2.