离散数学/逻辑/答案
1
- (a) 不是命题。（这是一个命令，或祈使句。）
- (b) 和
- (c) 都是命题。
- (d) 不是命题；它是一个问题。
- (e) 严格来说是一个命题函数，但许多人会说它是一个命题。
- (f) 不是命题，因为结果可能是真或假，它取决于 a & b 的值。
2
- 注意到 p 是 假（1024 字节称为 1KB）而 q 是 真，我们有
- (a) “1024 字节称为 1MB 并且计算机键盘是数据输入设备的一个例子”。假。
- (b) “(或者) 1024 字节称为 1MB 或者计算机键盘是数据输入设备的一个例子”。真。
- 这里的 Either 这个词是可选的；它在逻辑中没有等效符号，也不需要。
- (c) “1024 字节不称为 1MB”。真。
3
- (a) x ≥ 50
- (b) x ≤ 40
- (c) 40 < x < 50
- (d) x < 50 或 x > 40。这对于所有 x 的值都是真的。
- (e) x ≥ 50（注意我们不需要另外说 x > 40；只要 x ≥ 50，这必须是真的。）
- (f) x ≥ 50 并且 x ≤ 40。无论 x 的值如何，这永远不会是真的。
- 所以 (d) 是一个 重言式 - 它总是真的；而 (f) 总是假的。
4
- (a) 我不喜欢数学，但我每周至少要花 6 个小时学习数学。
- (这听起来比“我不喜欢数学，我每周要花至少 6 个小时学习数学”更自然。）
- (b) 我要么不喜欢数学，要么每周要花至少 6 个小时学习数学。
- (c) 我不喜欢数学这句话是不对的。（或者简单地说：我喜欢数学。）
- (d) 我要么不喜欢数学，要么每周不花至少 6 个小时学习数学。
- (这里不太容易得到一个听起来自然的句子。可能包含 Either 这个词会有所帮助，但它不是必需的。）
- (e) 我要么喜欢数学，要么每周要花至少 6 个小时学习数学这句话是不对的。或者，简单地说：我既不喜欢数学，也不打算每周花至少 6 个小时学习数学。
- 或者，你可以写出 (f) 的答案，它是……
- (f) 我不喜欢数学，我每周也不打算花至少 6 个小时学习数学。
5
- (a) (ii)
- (b) (i) 和 (iii)
- (c) (iii)
返回 逻辑练习 1
1
(a)
| p | q | ¬p | ¬q | ¬p ∨ ¬q |
| T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | T | T |
(b)
| p | q | q | ¬p | ∨q |
| T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T |
| (3)
输出 |
(1) | (2) |
(c)
| p | q | r | p | (q ∨ r) |
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | F | T |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | F | T |
| F | F | F | F | F |
| (2)
输出 |
(1) |
(d)
| p | q | r | (p q) | ∨ r |
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T |
| T | F | T | F | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | F | T |
| F | T | F | F | F |
| F | F | T | F | T |
| F | F | F | F | F |
| (1) | (2)
输出 |
2
- 两个结果列都相同：T，T，T，F。
3
- 两个结果都是 T，F，F，F
返回 逻辑练习 2
1
- (a) 是的；两个结果列都给出 T，T，T，F
- (b) 否；第一个是 F，T，T，F；第二个是 T，F，F，T
2
- (a) F，T，T，T，T，T，T，T。
- 这是 T，F，F，F，F，F，F，F 的否定，它只有在 a、b 和 c 都为真的时候才为真。所以这个表达式等价于 ¬(a b c)
- (b) T，T，T，T，F，F，F，F，T，T，T，T，F，F，F，F。
- 这与 b 的列相同，所以这个表达式等价于 b。
3
- (a) a ∨ b
- (b) a ∨ b
- (c) q ∨ p
4
- 结果是 T，T，T，T。所以它总是真的
5
- ((p ∨ q) ¬(p q)) ¬r
6
- 在每种情况下，结果都是 F，F，F，F，T，T，F，F
7
| (z w) ∨ (¬z w) ∨ (z ¬w) | = (z w) ∨ (z ¬w) ∨ (¬z w) | 交换律 |
| = (z (w ∨ ¬w)) ∨ (¬z w) | 分配律 | |
| = (z T) ∨ (¬z w) | 补律 | |
| = z ∨ (¬z w) | 恒等律 | |
| = (z ∨ ¬z) (z ∨ w) | 分配律 | |
| = T (z ∨ w) | 补律 | |
| = (z ∨ w) T | 交换律 | |
| = z ∨ w | 恒等律 |
返回 逻辑练习 3
1
- (a) ¬p
- (b) ¬s p
- (c) p ⇒ r
- (d) r ⇒ (q p)
- (e) 我这周要工作 40 个小时，或者我会完成我的课程作业。
- (f) 如果我不完成我的课程作业，我就不会通过数学考试。
2
- 表格仅显示每种情况下的结果列
| (a) | (b) | (c) | (d) | (e) | ||
| p | q | p ⇒ (p ∨ q) | (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) | (p (p ⇒ q)) ⇒ q | (p q) ⇒ p | q ⇔ (¬p ∨ ¬q) |
| T | T | T | T | T | T | F |
| T | F | T | T | T | T | F |
| F | T | T | F | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T | F |
因此，结果是
- (a) 是，始终为真
- (b) 否
- (c) 是
- (d) 是
- (e) 否
3
- 每种情况下结果列为 T、F、T、T。因此，这些命题在逻辑上是等价的。
1 friend(Jimmy)
2 wealthy(Sue) clever(Sue)
3 wealthy(Jane) ¬clever(Jane)
4 friend(Mark) friend(Elaine)
5 friend(Peter) ⇒ ¬boring(Peter)
6 (wealthy(Jimmy) ¬boring(Jimmy)) ⇒ friend(Jimmy)
返回 逻辑练习 5
1
- (a) ∃ x, friend(x) clever(x)
- (b) ∀x, clever(x) ⇒ boring(x)
- (c) ∀x, friend(x) ⇒ ¬wealthy(x)
- 或：¬(∃ x, friend(x) wealthy(x))
- (d) ∃x, friend(x) wealthy(x) clever(x)
- (e) ∀x, (clever(x) friend(x)) ⇒ boring(x)
- (f) ∀x, clever(x) ⇒ (boring(x) ∨ wealthy(x))
2
- (a) popstar(x) 是“x 是流行歌星”
- overpaid(x) 是“x 薪水过高”
- ∀x, popstar(x) ⇒ overpaid(x)
- (b) pilot(x) 是“x 是皇家空军飞行员”
- woman(x) 是“x 是女性”
- ∃x, pilot(x) woman(x)
- (c) student(x) 是“x 是学生”
- rolls(x) 是“x 拥有劳斯莱斯”
- ∀ x, student(x) ⇒ ¬rolls(x)
- 或：¬(∃ x, student(x) rolls(x))
- (d) doctor(x) 是“x 是医生”
- write(x) 是“x 可以清楚地书写”
- ∃ x, doctor(x) ¬write(x)
返回 逻辑练习 6
1
- (a) 论域：{人}
- programmer 是“… 是电脑程序员”
- spreadsheets 是“… 可以理解电子表格”
- ∃ x, programmer(x) ¬ spreadsheets(x)
- (或者如果论域是 {电脑程序员}，则 ∃ x, ¬spreadsheets(x))
- (b) 论域：{人}
- prisoner 是“… 是囚犯”
- fairTrial 是“… 应该得到公正审判”
- ∀ x, prisoner(x) ⇒ fairTrial(x)
- (或者如果论域是 {囚犯}，则 ∀ x, fairTrial(x))
- (c) 论域：{人}
- intelligent 是“… 是聪明的”
- palace 是“… 支持水晶宫足球俱乐部”
- ∃ x, intelligent(x) palace(x)
- (d) 论域：{人}
- stupid 是“… 是愚蠢的”
- curry 是“… 喜欢咖喱”
- ∃ x, stupid(x) ¬curry(x)
- (e) 论域：{大学生}
- goodLooking 表示 "…… 很帅"
- intelligent 是“… 是聪明的”
- ∀ x, goodLooking(x) ∨ intelligent(x)
- (f) 论域：{汽车}
- noisy 表示 "…… 吵"
- dirty 表示 "…… 脏"
- ¬(∀ x, noisy(x) dirty(x))
- 或者：∃ x, ¬noisy(x) ∨ ¬dirty(x)
2
- (a) 有些童子军在打牌时作弊。
- (b) 所有留着朋克头发的人都在打牌时作弊。
- (c) 没有童子军留着朋克头发或者在打牌时作弊。
- (d) 有些在打牌时作弊的人没有留着朋克头发。
3
- (a) 论域：{牛}
- eats 表示 "…… 吃 ……"
- ∀ x, eats(x, grass)
- (b) 论域：{人}
- better 表示 "…… 比 …… 更擅长数学"
- ∃ x, better(Harry, x)
- (c) 论域：{人}
- likes 表示 "…… 喜欢 ……"
- ∃ x, likes(x, the Rolling Stones)
- (d) 论域：{人}
- expects 表示 "…… 期望 ……"
- ¬(∃ x, expects(x, the Spanish Inquisition))
- 或者：∀ x, ¬expects(x, the Spanish Inquisition)
返回 逻辑练习 7