离散数学/逻辑/练习

逻辑练习 1

1

下列哪些是命题？

(a) 购买高级债券！

(b) 苹果麦金塔是一款16位计算机。

(c) 存在最大的偶数。

(d) 我们为什么在这里？

(e) 8 + 7 = 13

(f) a + b = 13

2

p 是 “1024 字节称为 1MB”

q 是 “计算机键盘是数据输入设备的示例”。

将以下复合命题用尽可能自然的英文句子表达出来。得到的命题是真还是假？

(a) p $\scriptstyle \wedge$ q

(b) p ∨ q

(c) ¬p

3

p 是 “x < 50”；q 是 “x > 40”。

尽可能简单地写出

(a) ¬p

(b) ¬q

(c) p $\scriptstyle \wedge$ q

(d) p ∨ q

(e) ¬p $\scriptstyle \wedge$ q

(f) ¬p $\scriptstyle \wedge$ ¬q

以下复合命题函数中，有一个始终产生输出 true，另一个始终输出 false。 哪个是哪个？

4

p 是 “我喜欢数学”

q 是 “我每周至少花 6 个小时在数学上”

用尽可能简单的英文写出

(a) (¬p) $\scriptstyle \wedge$ q

(b) (¬p) ∨ q

(c) ¬(¬p)

(d) (¬p) ∨ (¬q)

(e) ¬(p ∨ q)

(f) (¬p) $\scriptstyle \wedge$ (¬q)

5

在本题的每个部分中，定义了一个命题 p。 以下哪些语句对应命题 ¬p？（可能存在多个正确答案。）

(a)

p 是 “有些人喜欢数学”。

(i) “有些人不喜欢数学”

(ii) “每个人都不喜欢数学”

(iii) “每个人都喜欢数学”

(在本题中，你可以假设没有人保持中立：他们要么喜欢，要么不喜欢数学。)

(b)

p 是 “答案是 2 或 3”。

(i) “2 和 3 都不是答案”

(ii) “答案不是 2 或者不是 3”

(iii) “答案不是 2 并且不是 3”

(c)

p 是 “我班上的所有人都又高又瘦”。

(i) “我班上有人又矮又胖”

(ii) “我班上没有人又高又瘦”

(iii) “我班上有人又矮又胖”

(在本题中，你可以假设每个人都可以被归类为 要么高 要么矮，要么瘦 要么胖。)

答案

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逻辑练习 2

1

构建以下的真值表

(a) ¬p ∨ ¬q

(b) q $\scriptstyle \wedge$ (¬p ∨ q)

(c) p $\scriptstyle \wedge$ (q ∨ r)

(d) (p $\scriptstyle \wedge$ q) ∨ r

2

构建以下每个复合命题的真值表。你注意到结果有什么规律吗？

(a) p ∨ (¬p $\scriptstyle \wedge$ q)

(b) p ∨ q

3

重复问题 2，针对以下内容

(a) p $\scriptstyle \wedge$ (q $\scriptstyle \wedge$ p)

(b) p $\scriptstyle \wedge$ q

答案

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逻辑练习 3

1

对于每一对表达式，构造真值表以查看这两个复合命题是否在逻辑上等价

(a)

(i) p ∨ (q $\scriptstyle \wedge$ ¬p)

(ii) p ∨ q

(b)

(i) (¬p $\scriptstyle \wedge$ q) ∨ (p $\scriptstyle \wedge$ ¬q)

(ii) (¬p $\scriptstyle \wedge$ ¬q) ∨ (p $\scriptstyle \wedge$ q)

2

为以下每个表达式构造真值表。尝试在每种情况下找到一个更简单的逻辑等价物

(a)

¬a ∨ ¬b ∨ (a $\scriptstyle \wedge$ b $\scriptstyle \wedge$ ¬c)

(b)

(a $\scriptstyle \wedge$ b) ∨ (a $\scriptstyle \wedge$ b $\scriptstyle \wedge$ ¬c $\scriptstyle \wedge$ d) ∨ (¬a $\scriptstyle \wedge$ b)

3

使用逻辑定律或真值表尽可能简化

(a)

¬(¬a $\scriptstyle \wedge$ ¬b)

(b)

(a $\scriptstyle \wedge$ b) ∨ (a $\scriptstyle \wedge$ ¬b) ∨ (¬a $\scriptstyle \wedge$ b)

(c)

(q $\scriptstyle \wedge$ ¬p) ∨ p

4

使用真值表来证明命题p ∨ (q ∨ ¬p) 总是真 (T)，无论p 和 q 的取值如何。

5

p、q 和 r 代表当某个计算机程序执行时将为真或假的条件。假设您希望程序仅在p 或 q 为真（但不能两者都为真）且 r 为假时执行某项特定任务。

使用p、q、r、$\scriptstyle \wedge$, ∨ 和 ¬，编写一个语句，该语句仅在这些条件下才为真。

6

使用真值表来证明

¬((p ∨ ¬q) ∨ (r $\scriptstyle \wedge$ (p ∨ ¬q))) ≡ ¬p $\scriptstyle \wedge$ q

7

使用逻辑命题定律来证明

(z $\scriptstyle \wedge$ w) ∨ (¬z $\scriptstyle \wedge$ w) ∨ (z $\scriptstyle \wedge$ ¬w) ≡ z ∨ w

仔细说明您在每个阶段使用的是哪条定律。

答案

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逻辑练习 4

1

命题p、q、r 和 s 定义如下

p 是“我将完成我的课程作业”

q 是“我将在本周工作 40 小时”

r 是“我将通过数学考试”

s 是“我喜欢数学”

用符号写出每个句子

(a) 我不会完成我的课程作业。

(b) 我不喜欢数学，但我将完成我的课程作业。

(c) 如果我完成我的课程作业，我将通过数学考试。

(d) 我只有在本周工作 40 小时并完成我的课程作业时才会通过数学考试。

将每个表达式写成一个合理的（即使是不真实的！）英语句子

(e) q ∨ p

(f) ¬p ⇒ ¬r

2

绘制真值表以确定以下每个命题是否总是为真

(a) p ⇒ (p ∨ q)

(b) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)

(c) (p $\scriptstyle \wedge$ (p ⇒ q)) ⇒ q

(d) (p $\scriptstyle \wedge$ q) ⇒ p

(e) q ⇔ (¬p ∨ ¬q)

3

绘制真值表以显示p ⇒ q、¬p ∨ q 和 ¬q ⇒ ¬p 在逻辑上都是等价的。

答案

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逻辑练习 5

定义以下谓词

friend 是“……是我的朋友”

wealthy 是“……富有”

clever 是“……聪明”

boring 是“……无聊”

使用谓词符号写出以下每个命题

1 吉米是我的朋友。

2 苏富有又聪明。

3 简富有，但不聪明。

4 马克和伊莱恩都是我的朋友。

5 如果彼得是我的朋友，那么他并不无聊。

6 如果吉米富有且不无聊，那么他就是我的朋友。

答案

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逻辑练习 6

1

使用您在练习 5 中定义的相同谓词，对以下每个命题进行符号化。

(a) 我的一些朋友很聪明。

(b) 所有聪明的人都很无聊。

(c) 我的朋友中没有人富有。

(d) 我的一些富有的朋友很聪明。

(e) 我所有聪明的朋友都很无聊。

(f) 所有聪明的人要么无聊，要么富有。

2

定义合适的命题函数，并因此符号化

(a) 所有流行歌星都过分拿钱。

(b) 一些皇家空军飞行员是女性。

(c) 没有任何学生拥有劳斯莱斯。

(d) 一些医生不能写一手好字。

答案

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逻辑练习 7

1

在以下每个命题中，定义合适的单一谓词和合适的论域。然后对这些语句进行符号化。

(a) 一些计算机程序员不理解电子表格。

(b) 每个囚犯都应得到公正的审判。

(c) 有些聪明的人支持水晶宫足球俱乐部。

(d) 一些愚蠢的人不喜欢咖喱。

(e) 所有大学生都长得漂亮或很聪明。

(f) 并非所有汽车都又吵又脏。

2

在以下命题中，论域是{人}。单一谓词定义如下

cheats 是"... 在玩牌时作弊"

punk 是“……有朋克发型”

scout 是"... 是童子军"

将以下命题写成合理的英语句子

(a) ∃ x, scout(x) $\scriptstyle \wedge$ cheats(x)

(b) ∀ x, punk(x) ⇒ cheats(x)

(c) ∀ x, scout(x) ⇒ ¬(punk(x) ∨ cheats(x))

(d) ∃ x, cheats(x) $\scriptstyle \wedge$ ¬punk(x)

3

将以下内容翻译成符号形式，使用二元谓词，在每种情况下定义一个合适的论域。

(a) 所有牛都吃草。

(b) 哈利比某人更擅长数学。

(c) 某人喜欢滚石乐队。

(d) 没有人会料到西班牙宗教裁判所。

答案

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