分布理论/基本运算

命题（连续变化的分布族对具有紧致本质支撑的可积函数的积分是分布）:

令 $\Omega$ 是一个拓扑空间，以及一个局部有限测度 $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ ，其中 ${\mathcal {F}}$ 是一个 $\sigma$ -代数在 $\Omega$ 上包含了在 $\Omega$ 上的 Borel $\sigma$ -代数。进一步假设 $f\in L^{1}(\Omega ,\mu )$ 具有紧致的本质支撑，并且

x\mapsto T_{x}

，对于每个

x\in \Omega

，我们有

T_{x}\in {\mathcal {D}}'(U)

（分别为

T_{x}\in {\mathcal {S}}'({\mathcal {R}}^{n})

）

是连续变化的，从某种意义上说，对于每个 $\varphi \in {\mathcal {D}}(U)$ （分别为 ${\mathcal {S}}({\mathcal {R}}^{n})$ ）函数 $x\mapsto T_{x}(\varphi )$ 是连续的。那么

T:\varphi \mapsto \int _{\Omega }f(w)T_{w}(\varphi )dw\in {\mathcal {D}}'(U)

（分别为

\varphi \mapsto \int _{\Omega }f(w)T_{w}(\varphi )dw\in {\mathcal {S}}'(U)

）。

Proof: Define $A:=\operatorname {esssupp} f$ , and let $\varphi \in {\mathcal {D}}(U)$ (resp. $\in {\mathcal {S}}({\mathcal {R}}^{n})$ ) be arbitrary. Let $x\in A$ and $\epsilon >0$ . Since $\mu$ is locally finite, pick a neighbourhood $U_{x}$ of $x$ such that $\mu (U_{x})<\infty$ . Since $x\mapsto T_{x}(\varphi )$ is continuous, by shrinking $U_{x}$ if necessary, we may assume that for $y\in U$ we have $|T_{x}(\varphi )-T_{y}(\varphi )|\leq \epsilon /\mu (U_{x})$ . Since $A$ is compact, we may choose $x_{1},\ldots ,x_{n}\in A$ so that $A=U_{x_{1}}\cup \cdots \cup U_{x_{n}}$ . Now for each arbitrary finite open cover $V_{1},\ldots ,V_{m}$ of $A$ and $x_{j}\in V_{j}$ for $j\in [m]$ define the distribution