视觉物理与数学/万有引力

导致球体落到地面的力与使月球保持在轨道上的力相同。卫星和弹丸都服从同一规律，即万有引力定律。

行星的轨道

万有引力使行星围绕太阳运行。

自由落体物体的轨迹取决于其初始速度向量

但受到万有引力作用且具有相同速度向量并通过同一点的质量始终具有相同的轨迹

这就是土星有光环的原因

万有引力定律

两个质量相互之间施加的万有引力与其质量乘积成正比，与其距离的平方成反比。这两个力，即 A 对 B 施加的力和 B 对 A 施加的力，都沿着连接两个质量 A 和 B 的中心线的方向，并且始终是吸引力。

两个球体之间的万有引力

两个球体由于万有引力相互吸引而相互弹开。

引力场

场是在空间中每个点每个时刻都可能变化的物理量。例如，温度就是一个场。万有引力定律指出，质量 $m$ 不断在整个空间中产生一个引力场 $\mathbf {g}$

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{\frac {m}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

其中 $\mathbf {r}$ 是从质量 $m$ 到所考虑点的向量， $r$ 是其长度， $\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} /r$ 是 $\mathbf {r}$ 方向上的单位长度向量， $G$ 是一个取决于测量单位选择的常数。

重力场 $\mathbf {g}$ 对质量 $m'$ 所施加的力为 $\mathbf {F} =m'\mathbf {g}$。

因此，质量 $m$ 对质量 $m'$ 所施加的力为 $-G{\frac {mm'}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$。

在地球上，物体的重量是地球对它施加的重力。

重力场 $\mathbf {g}$ 就像一个数学中介，用于计算一个质量对另一个质量施加的力。

两个质量对第三个质量施加的重力是它们各自单独施加的力的总和。

两颗恒星相互绕转。

根据牛顿的理论，万有引力无处不在。它是一个充满整个空间的力场。该场可以从一个标量场中推导出来，即重力势场，这里用颜色的渐变表示。白线是力线，始终沿着重力的方向。

惯性质量和引力质量的相等性

根据相对论，不存在瞬时超距作用。因此，一个质量不能瞬时对另一个质量施加重力。必须考虑力的传播时间。这就是万有引力定律只是一个近似的原因。为了更精确地计算重力的影响，我们需要广义相对论。

**爱因斯坦在 1908 年的伟大想法：**如果一个电梯自由落体，它的乘客在坠落过程中会处于失重状态，直到电梯撞到地面。

史蒂芬·霍金乘坐模拟自由落体的飞机

为了理解这个伟大想法，需要了解以下定理。

如果一个物体只受重力作用，它的加速度不依赖于它的质量。

证明：根据万有引力定律，重力场 $\mathbf {g}$ 对质量 $m$ 所施加的力为 $\mathbf {F} =m\mathbf {g}$。根据牛顿运动定律，该力 $\mathbf {F}$ 产生加速度 $\mathbf {a}$，使得 $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$。因此，$\mathbf {a} =\mathbf {g}$，无论质量 $m$ 为何。

在 $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ 中，$m$ 是惯性质量，或惯性系数。它是单位力产生的加速度的倒数。在 $\mathbf {F} =m\mathbf {g}$ 中，$m$ 是万有引力质量，或引力电荷。它等于单位引力场施加的力。

牛顿物理学并没有强加惯性质量和重质量的相等。它们可能是不同的。与电场一样，如果引力质量（引力场中电荷的等效量）不同于惯性质量，那么引力场可能对不同物体的同一位置产生不同的加速度。

惯性质量和万有引力质量相等意味着自由落体电梯由于万有引力引起的加速度始终等于乘客的加速度。这就是为什么乘客在自由落体电梯中无法观察到重力的影响。一切就像没有受到任何力的作用，就像失重一样。

我们感觉到自己的重量，因为我们感觉到地面对我们脚部的力。我们感觉到我们携带的物体的重量，因为我们感觉到它对我们手部或背部的力。但这些地面和我们脚部之间，或我们手部和它们所携带的重物之间的排斥力不是重力，而是在相互排斥的物体接触表面产生的电力。

根据广义相对论，我们无法感觉到重力，因为它不是一种力。万有引力不存在。正如牛顿所认为的那样，并没有任何力将我们向下拉。只有地面向上推我们的力。

自由落体电梯的地板对乘客的脚部没有施加任何力，因此乘客没有受到任何力的作用，就像失重一样。

参考系的选择

根据牛顿，自由落体电梯中的乘客受到重力的作用。根据爱因斯坦，它不受任何力的作用。区别在于参考系的选择。

参考系是一个岩石，或任何固体物体，我们可以相对于它定位自己并进行距离测量。通过在岩石上放置三个垂直平面，我们可以用三个数字 x、y、z 来识别空间中的所有点，这些数字测量它们与这三个平面的距离。假设事件在岩石上发生一次。此事件定义时间 t = 0。然后，我们可以用从时间 t = 0 开始的持续时间来识别所有事件的时间 t。因此，参考系使得可以用四个数字 t、x、y、z 来识别时空中的所有事件。

速度和加速度的测量取决于参考系的选择。如果我们在一个正在移动的旋转木马上测量加速度，那么结果是否相同取决于参考系是地面还是旋转木马。

有些参考系比其他参考系更好。地面参考系比旋转木马的参考系更适合研究力。相对于恒星不旋转的岩石比旋转的岩石更好。我们可以不看恒星就能分辨出自身旋转的岩石和不旋转的岩石。我们只需要放置两个由弹簧连接的质量。如果岩石自身旋转，并且其旋转轴不平行于弹簧，那么这两个质量会由于旋转而分开。

测量力的良好参考系是所有自身不旋转且不受任何力的作用的岩石。它们被称为惯性系。

不受任何力作用的运动质量

根据牛顿物理学，惯性系相对于彼此处于静止或匀速直线运动状态，因为万有引力被认为是一种力。如果运动的轨迹是直线并且速度恒定，则该运动是匀速直线运动。

根据爱因斯坦的广义相对论，惯性系是所有自身不旋转的岩石，并且相对于彼此处于自由落体状态，因为万有引力不被认为是一种力。

月球绕地球的运动是一种自由落体运动。更一般地说，所有彼此之间不施加任何力的物体都处于相对于彼此的自由落体状态，因为万有引力不被认为是一种力。空气中的坠落不是自由落体运动，因为有空气阻力。真空中的坠落是自由落体运动。

牛顿物理学和广义相对论之间的区别在于惯性系的选取。

根据广义相对论，地面参考系不是惯性系，因为它没有处于自由落体状态。它等效于加速火箭的参考系。

我们感觉到重力，因为我们相对于自由落体参考系正在加速。

一个自身不旋转的岩石，在穿过地球中心的隧道中自由落体，是一个测量地球内部力的良好参考系。

参见

相对论

E = m c²