材料的电子性质/工程师的量子力学/简并

简并通常在电子学和量子力学中提到，指的是具有相同能级的电子。在这种情况下，由于能量是特征值，因此最终会得到两个具有不同特征函数但共享相同特征值的电子。如果两个或多个特征函数具有相同的特征值，我们称量子态为“简并”，例如电子，但为什么会发生这种情况呢？嗯，有三种不同的方式；对称性，交换和偶然。

对称性导致的简并

这是与轨道杂化相关的简并形式。假设球形势，原子在 x，y 和 z 方向上的行为相同，这通常适用于孤立的原子。

<FIGURE> "二维盒子中的粒子"（描述）

想象一个粒子在一个盒子中，再次在所有侧面具有无限势，但这次在二维中，给我们哈密顿方程：$${\hat {H}}={{{\hat {p}}_{x}}^{2} \over 2m}+{{{\hat {p}}_{y}}^{2} \over 2m}+V(x)+V(y)$$

这个问题很容易分解为组成部分：${\hat {H}}={\hat {H}}_{x}+{\hat {H}}_{y}$

将薛定谔方程代入并进行数学运算发现：$${\begin{aligned}\phi _{n_{1}n_{2}}&=\beta \sin \left({n_{x}\pi \over L_{x}}x\right)\sin \left({n_{y}\pi \over L_{y}}y\right)\\E_{n_{1}n_{2}}&={\hbar ^{2} \over 2m}\left({n_{x}\pi \over L_{x}}\right)^{2}+{\hbar ^{2} \over 2m}\left({n_{y}\pi \over L_{y}}\right)^{2}\end{aligned}}$$

看一下这些与时间无关的特征函数，当 $L_{x}=L_{y}$，然后我们发现 $E_{\alpha \beta }=E_{\beta \alpha }$ 但 $\phi _{\alpha \beta }\neq \phi _{\beta \alpha }$ 当 $\alpha \neq \beta$。这些是具有相同能量或特征值的不同的平面波特征函数，这完成了对称性导致的简并的定义。

<MATH> 以下数学没有归属 :(

当 ${\hat {H}}={\hat {H}}(x)+{\hat {H}}(y)$ 时，本征值问题的解是可分离的。因此：$${\begin{aligned}\phi (x,y)&=\phi (x)\ \phi (y)\\{\hat {H}}\ \phi (x,y)&=\varepsilon \ \phi (x,y)\\H(x)\ \phi (x,y)+H(y)\ \phi (x,y)&=H(x)\ \phi (x)\ \phi (y)+H(y)\ \phi (x)\ \phi (y)\\&=\phi (y)\ \underbrace {H(x)\ \phi (y)} _{\varepsilon _{x}\ \phi (x)}\ +\ \phi (x)\ \underbrace {H(y)\ \phi _{y}} _{\varepsilon _{y}\phi _{y}}\\&=\phi (y)\ \varepsilon _{x}\ \phi (x)+\phi _{(}x)\ \varepsilon _{y}\ \phi (y)\\&=(\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y})\phi (x)\phi (y)\\&=\varepsilon \ \phi (x,y)\end{aligned}}$$

偶然简并

有时，两个本征函数恰好具有相同的能量本征值，使它们“偶然”简并。偶然简并仅指当两个平面波，$\phi$，偶然地共享相同的本征值，而不是由于对称性或交换导致。

交换导致的简并

<FIGURE> “一维箱中的两个粒子”（描述）

现在让我们看看一个有一维箱且具有两个不相互作用的粒子。这个箱子再次会在箱子外部具有无限的势，如 <FIGURE> 所示。由于这些粒子不相互作用，它们的势永远不会相互影响。

这种情况下的可分离哈密顿量将如下所示：$$H=H_{1}+H_{2}=\underbrace {T_{1}+V_{1}(x)} _{Particle\ 1}+\underbrace {T_{2}+V_{2}(x)} _{Particle\ 2}$$

每个粒子的哈密顿量解为：$${\begin{aligned}\phi _{n}(x)&={\sqrt {2 \over L}}\sin \left({n\pi x \over L}\right)\\E_{n}(x)&={\hbar ^{2} \over 2m}\left({n\pi \over L}\right)^{2}\end{aligned}}$$

将这些方程与我们的双粒子哈密顿量结合起来，我们得到：$${\begin{aligned}\phi _{n_{1}n_{2}}(x_{1},x_{2})&={2 \over L}\sin \left({n_{1}\pi x_{1} \over L}\right)\sin \left({n_{2}\pi x_{2} \over L}\right)\\E_{n_{1}n_{2}}&={\hbar ^{2} \over 2m_{1}}\left({n_{1}\pi \over L}\right)^{2}+{\hbar ^{2} \over 2m_{2}}\left({n_{2}\pi \over L}\right)^{2}\end{aligned}}$$<这是否是一个特征值？？？>

使用这种符号，${\textstyle n_{1}}$指的是量子数为${\textstyle n_{1}}$的粒子一，而${\textstyle n_{2}}$指的是量子数为${\textstyle n_{2}}$的粒子二。类似地，${\textstyle x_{1}}$和${\textstyle m_{1}}$指的是位于位置${\textstyle x_{1}}$或质量为${\textstyle m_{1}}$的粒子一，而${\textstyle x_{2}}$和${\textstyle m_{2}}$指的是位于位置${\textstyle x_{2}}$或质量为${\textstyle m_{1}}$的粒子二。明确地说，这些粒子可以处于不同的位置，具有不同的质量，但当这两个粒子最终具有相同的关于位置或质量的特征值时，即${\textstyle m_{1}=m_{2}}$或${\textstyle x_{1}=x_{2}}$，由于交换会产生简并性。

<FIGURE> “标题” （经典力学快照）

这与决定论的丧失有关。在经典图像中，如果我们对系统进行快照，然后等待一秒钟，再进行另一个快照，我们可以判断出哪个是哪个粒子，因为系统是决定性的。<FIGURE> 量子力学并非如此。在量子世界中存在不确定性，这意味着我无法真正告诉你“盒子里有两个粒子位于这里，在${\textstyle x_{1}}$，以及在${\textstyle x_{2}}$。” 即使已知波函数以这些点为中心，但实际上，那只是粒子可能存在的概率分布的中心。<FIGURE>

<FIGURE> “标题” （请注意，这些实际上是概率分布，而不是位置。）

将我们的经典方法应用于这种情况，即使我们可以通过某种能力观察盒子并定义每个粒子，但将目光移开再移回来意味着我们无法再分辨哪个是哪个粒子，因为波函数是重叠的。在任何时候，粒子一和粒子二都处于粒子的叠加态。

回到我们的方程式，这意味着 ${\textstyle \phi _{n_{1}m_{2}}}$ 和 ${\textstyle \phi _{n_{2}m_{1}}}$ 具有完全相同的能量，无论你是否交换 $n_{1}$ 和 $n_{2}$。这就是交换导致简并的原因。我们失去了那种决定性的世界观，这使得如果粒子具有相同的特征值，就无法确定地将它们区分开来，就好像它们一开始就有不同的质量一样，我们将能够无论如何将它们区分开来。

从数学的角度来说，${\textstyle E=\left({\hbar \pi \over L}\right)^{2}{1 \over 2m}({n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2})}$，交换n的值就等同于交换粒子。

交换的意义

与对称性简并和偶然简并相比，交换简并具有几个意义深远的含义，应该加以考虑。假设我们有一个包含 $N$ 个非相互作用的相同粒子的系统。我们知道波函数定义了一个交换算符，它对我们的波函数 ($\psi$) 进行运算以交换两个粒子的变量。

这些q中的每一个都代表一组变量和量子数，它们代表一个给定的粒子。这些变量的书写顺序进一步对应于每个粒子，精确地代表了它们和这些粒子所处的状态。给定这个表达式，我们可以识别出一个交换算符 (${\textstyle {\hat {P}}_{ij}}$)。这个交换算符将两个粒子交换，本质上是将一个粒子的 $q$ 与另一个粒子的 $q$ 进行交换。将交换算符应用于波函数看起来像

$$P_{ij}\ \psi (q_{1},\dots ,\ q_{i},\dots ,\ q_{j},\dots ,\ q_{n})=\psi (q_{1},\dots ,\ q_{i},\dots ,\ q_{j},\dots ,\ q_{n})$$

交换算符并没有改变太多，因为它只是在系统中已经存在的参数之间进行移动。此外，交换算符不会改变系统的能量，这意味着我们的交换算符和哈密顿算符是对易的，其中 $[P_{ij},\ H]=0$。虽然这已经被我们粒子之间无相互作用的性质所暗示，但这进一步证明我们可以独立地求解这些元素中的每一个，因此波函数 ($\psi$) 是 $P_{ij}$ 和 $H$ 的本征函数。

因此，当这个算符，即交换算符，作用于某个波函数时，我们知道它必须返回一个特征值 ($P_{ij}\ \psi =\xi \ \psi$)。希尔伯特空间中所有良好的算符都将遵守这种关系。

正如道理所言，对同一个波函数两次应用同一个交换算符将导致原始波函数。该算符交换所有粒子参数，然后将它们交换回来。

的值是多少？交换 两次返回到初始状态。 $${\begin{aligned}P_{ij}(P_{ij}\ \psi )&=P_{ij}\ \xi \ \psi \\&=\xi ^{2}\ \psi =1\ \psi \\\xi ^{2}&=1\ \psi \\\xi &=\pm \ 1\end{aligned}}$$在这种情况下，我们给这些特征值命名，当 $\xi =+1$ 时，我们说波函数是“交换对称的”，当 $\xi =-1$ 时，我们说波函数是“交换反对称的”。还值得注意的是，即使交换算符的每个版本都与哈密顿量对易，它们并不一定彼此对易。并非普遍情况下，对于任何交换，两者都是等价的。这一点很重要，因为它限制了我们表达波函数的方式。

让我们定义另一个算符，${\hat {P}}$，作为置换算符，它是一系列交换算符，${\hat {P}}_{ij}$，这些算符重新排列波函数中的变量 ($\psi$)。这给了我们：$$P\psi (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{n})=\psi (q_{1}',\ q_{2}',\ \dots ,\ q_{n}')$$

当 $P$ 运算时，它返回一个新的波函数，其中包含变量 $q$，但顺序不同。如果 ${\hat {P}}$ 包含偶数次的交换，我们称之为偶排列，如果包含奇数次的交换，我们称之为奇排列。值得注意的是，存在 $N!$ 个排列，这些排列算符不会互相交换，就像交换算符不会互相交换一样。

不幸的是，这没有意义。一般来说， ${\hat {P}}$ 算符的不同排列不会交换，因为 $[P_{ij},P_{lm}]\neq 0$。这意味着波函数可能是哈密顿量的本征态，以及某个排列 ${\hat {P}}_{1}$ 的本征态，但可能不是另一个排列 ${\hat {P}}_{2}$ 的本征态。这意味着我们波函数的性质现在受到限制。这意味着我们必须以一种完全对称或完全反对称的方式表达我们的波函数。这是两种特殊的波函数，它们与哈密顿量和所有 $N!$ 个可能的 ${\hat {P}}$ 交换。

$${\begin{aligned}P_{ij}\ \psi _{S}&=\psi _{S}\\P_{ij}\ \psi _{A}&={\begin{cases}\psi _{A}\ &for\ even\ P\\-\psi _{S}\ &for\ odd\ P\end{cases}}\end{aligned}}$$
在对称波函数的情况下，排列算符作用于对称波函数等于对称波函数，对于所有排列。类似地，在反对称算符作用于反对称波函数的情况下，对于偶排列算符等于反对称波函数，对于奇排列算符等于负波函数。这也作为我们对称和反对称算符的定义。

零定律

从我们对世界的了解， $\psi _{S}$ 和 $\psi _{A}$ 足以描述所有相同粒子的系统。完全对称的粒子被称为玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计（光子、声子、库珀对），而完全反对称的粒子被称为费米子，服从费米-狄拉克统计（电子、中微子、夸克）。这被称为“零定律”，因为我们实际上无法证明它是一个事实，它只是一个所有已知粒子都遵循的模式，并且恰好通过对易子和算符之间的关系得出了结果。

这意味着，当我们写出我们的解时，我们必须确保我们的解要么完全对称，要么完全反对称。例如，如果我们写出在一个一维盒子中两个非相互作用粒子的解，而这个解既不完全对称也不完全反对称，那么我们需要将解的不同变体加在一起，以实现完全对称或完全反对称。这可能看起来像

$${\begin{aligned}&\ \ \left[{\begin{aligned}\psi _{S}&=\phi (x_{1}x_{2})+\phi (x_{2}x_{1})\\\psi _{A}&=\phi (x_{1}x_{2})-\phi (x_{2}x_{1})\end{aligned}}\right]\\\\&P_{12}\psi _{A}=P_{12}(\phi (x_{1}x_{2})-\phi (x_{2}x_{1}))\\&\qquad \ \ \ =\phi (x_{2}x_{1})-\phi (x_{1}x_{2})\\&\qquad \ \ \ =-\phi _{A}\end{aligned}}$$正如你所看到的，对波函数 ($\phi$) 进行操作会返回负波函数。你也可以对对称波函数做同样的事情。如果我告诉你这些粒子是费米子或玻色子，那么你就可以立即知道它们位于哪个 $\psi _{S}$ 或 $\psi _{A}$ 中。也就是说，这些粒子应该是不可相互作用的，因此哈密顿量不能“看到”彼此，但它们会发生纠缠。$${\begin{aligned}\psi _{A}&=\phi (x_{1}x_{2})-\phi (x_{2}x_{1})\\&=\phi (x_{1})\phi (x_{2})-\phi (x_{2})\phi (x_{1})\end{aligned}}$$

这些不是单个粒子态的简单乘积。在量子力学中，我们说这些态被称为“纠缠态”，即使粒子不相互作用，它们的波函数也是纠缠的。这意味着对一个粒子的测量会对另一个粒子产生影响。通过观察 $\psi _{A,S}$，你可以看到存在叠加。

表达波函数

假设 $n_{1}=2$ 且 $n_{2}=3$。哪个粒子具有能量 $E_{2}$？我们不知道。每个粒子都是处于 $E_{2}$ 和 $E_{3}$ 状态的叠加。（多体物理学很酷，但也极其复杂。）

我们如何表达任何系统的对称或反对称波函数？对称波函数很简单，它只是交换的总和 ($\phi (\gamma _{i})$）。另一方面，反对称波函数稍微复杂一些。为了表达反对称波函数，我们使用斯莱特行列式

假设 $H=h_{1}+h_{2}+\dots +h_{n}$，所以 $\Phi =\phi _{1}(x_{1})\ \phi _{2}(x_{2})\ \phi _{3}(x_{3})\dots \phi _{n}(x_{n})$。

$$h_{j}\ \phi _{j}(x_{j})=E_{j}\phi _{j}(x_{j})$$$$\psi _{A}(x_{1}\ x_{2}\ x_{3}\dots \ x_{n})={1 \over {\sqrt {N!}}}\left|{\begin{array}{lcl}\phi _{1}(x_{1})&\phi _{2}(x_{1})&\phi _{3}(x_{1})&\cdots &\phi _{n}(x_{1})\\\phi _{1}(x_{2})&\phi _{2}(x_{2})&\phi _{3}(x_{2})&\cdots &\phi _{n}(x_{2})\\\quad \ \vdots &\vdots &\quad \vdots &\ &\quad \vdots \\\phi _{1}(x_{n})&\phi _{2}(x_{n})&\phi _{3}(x_{n})&\cdots &\phi _{n}(x_{n})\end{array}}\right|$$

这是一个 N x N 行列式。例如，观察一个包含三个费米子的系统：$$\psi _{A}(q_{1}\ q_{2}\ q_{3})={1 \over {\sqrt {6}}}[\phi (q_{1}\ q_{2}\ q_{3})-\phi (q_{2}\ q_{1}\ q_{3})+\phi (q_{2}\ q_{3}\ q_{1})-\phi (q_{3}\ q_{2}\ q_{1})+\phi (q_{3}\ q_{1}\ q_{2})-\phi (q_{1}\ q_{3}\ q_{2})]$$

对称波函数将具有相同的行列式，但所有项都加在一起进行求和。

泡利不相容原理

在上例中，每个粒子都处于一个独特的态$q_{1},q_{2},q_{3}$。如果$q_{1}=q_{2}$ 会怎么样？那么所有的项都会抵消，波函数将等于零。这就是泡利不相容原理的核心所在，即费米子必须具有独特的量子数，因为如果它们共享量子数，那么它们的反对称波函数就会消失。这源于电子是不可区分的粒子这一事实。

<CITATION> “远距离物质量子比特之间的量子隐形传态”