材料的电子性质/工程师的量子力学/动量、速度和位置

** 粗略草稿**

接下来，我们将讨论动量、位置。之所以讨论这些特别有用，是因为它为本课程的后续部分提供了基础，在后续部分中我们将开始讨论电子在材料中移动的速度；这与材料的导电性有关。首先，我们必须在量子力学中用位置和动量来定义速度。

更深入地了解自由粒子

回顾我们从 <CHAPTER> 中得到的自由粒子。我们已经解决了自由粒子问题，结果得到的哈密顿量是 ${\hat {H}}=H(x)$。（注意，这是针对一维粒子。这些解对于二维和三维有效，但为了本练习的目的，我们将限制在一维。）

此外，我们的波函数 ${\textstyle \Psi (x,t)=X(x)T(t)}$，其中 ${\textstyle T(t)}$ 给出系统的随时间演化，是可分离的。您可以自己证明，将这些代入将得到一个薛定谔方程，该方程可以分离成与时间相关的部分和与位置相关的部分。此外，我们的与时间相关的部分看起来像：${\textstyle T(t)=\exp[-i\ {E \over \hbar }\ t]}$。这里 ${\textstyle -i\ {E \over \hbar }\ t}$ 必须是无量纲的，这意味着 ${\textstyle {E \over \hbar }}$ 是频率 (${\textstyle \omega }$)，单位为 ${\textstyle 1 \over t}$，以及 ${\textstyle E=\hbar \omega }$。

类似地，在黑体辐射中，我们使用 ${\textstyle E=nh\nu }$，或 ${\textstyle E=n(2\pi \hbar )}$，其中 ${\textstyle \hbar }$ 是约化普朗克常数。通过将它乘以频率和角频率之间的关系 ${\textstyle \omega \over 2\pi }$，我们得到 ${\textstyle E=\hbar \omega }$。

回到我们原始方程中与位置相关的部分，我们知道这只是另一个平面波，如<CHAPTER>中所证明。再次，我们的平面波函数为：${\textstyle X(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$，我们的解为：${\textstyle E={\hbar ^{2}k^{2} \over 2m}}$。在这种情况下，因为它是一个自由粒子，${\textstyle k}$是一个连续变量；我们根本没有对它进行量化。

<MATH CHECK>

我们也知道动量和能量是可交换的：${\textstyle [{{\hat {p}},\ {\hat {H}}}]=0}$

事实上，我们在1D中求解了动量，这为我们提供了解$X(x)=Ae^{ikx}$，其中$k$仍然是一个连续值。在这种情况下，它可以是正无穷大或负无穷大。请记住，在平面波的情况下，$k$是波矢，它告诉你波的方向和波长。

最后，我们还发现，对于自由粒子，${\textstyle p=\hbar k}$，这意味着如果我们测量特定的动量值，例如，我们将得到$k$（$k'$）的特定值。一旦我们测量了这个特定值，波函数就会坍缩，我们可以将解写成：$${\begin{aligned}\Psi (x,t)&=Ae^{ikx}e^{-i{E \over \hbar }t}\\&=Ae^{ikx}e^{i(kx-\omega t)}\end{aligned}}$$能量和动量可交换等于零意味着我们可以同时测量这两个性质。

<MATH CHECK^^^>

速度

<FIGURE> "经典粒子运动"（描述）

假设我们有一个特定的值，我们称之为 $k'$，这个自由粒子将具有某种正弦波，$\sin(x)$。<FIGURE> 如果我们等待一小段时间，然后再次观察它，波浪会传播。毕竟，这就是平面波的特性。现在假设经过这段“特定时间”后，平面波传播了 $\Delta x$，如<FIGURE>所示，这意味着这个新的正弦波现在是 $sin(x+\epsilon )$，其中 $\epsilon >0$。本质上，如果存在某个 $f(x,t)$，它可以被改写为 $f(x-\nu _{p}t)$。

<MATH CHECK> 正弦波传播 (+) 或 (-)

<FIGURE> “正弦波平移”（向 +x 方向传播）

现在，如果这个波正在传播，那么我们可以谈论传播速度。从波动学，我们知道速度等于角频率除以波矢 (${\textstyle \omega \over k}$)。将分子和分母都乘以 $\hbar$，并从我们的本征函数解中代入变量，得到：$$\nu _{p}={\omega \over k}={\hbar \omega \over \hbar k}={E \over \hbar k}={{\hbar ^{2}k^{2} \over 2m} \over hk}={\hbar k \over 2m}={p \over 2m}={v_{c}\ m \over 2m}={v_{c} \over 2}$$

<ASIDE> 笔记中没有归属的额外数学公式：$${\begin{aligned}e^{i(kx-\omega t)}&=e^{ik(x-{\omega \over k})t}\\&=e^{ik(x-v_{particle}t)}\\\ \\\end{aligned}}$$<END ASIDE>

粒子与平面波

在本例中，我们求解了离域粒子的解，并找到了相速度。请注意，此方程描述了经典速度 (${\textstyle v_{c}}$) 与特定平面波传播速度（称为相速度 (${\textstyle \nu _{p}}$ ) 之间的关系。最重要的是，这两个速度不相同。事实证明，真正的粒子将是局域的。

薛定谔方程波包

当谈论我们感兴趣的粒子时，这些粒子具有经典速度，它们不会像粒子一样运动，它们会像波包一样运动。<FIGURE> 这些波包内部包含许多具有不同 ${\textstyle k}$ 值的波，而波包作为一个整体以相同的群速度 $\nu _{g}$ 运动，相当于我们的经典速度。

粒子不是单个平面波。它们是平面波的叠加，并且倾向于在这些波包中聚集在一起，这些波包具有叠加所有波的群速度。此外，它们位于某种包络函数内，该函数也以群速度运动，相当于经典速度。

叠加

<MATH CHECK> 线性波态方程中的 phi 或 psi？

想象一下平面波的叠加。在我们的第一个例子中，叠加中的状态是离散的。它们是状态的求和，其中 $\Psi =a_{1}\phi _{1}+a_{2}\phi _{2}+...$。这种形式使我们的波函数成为波态 ($\phi$ ) 的线性叠加。每个状态都是薛定谔方程的特定解，其中每个系数都为我们提供了波函数在这些特定基态中的投影。（回顾我们希尔伯特空间中的特征函数作为基底。）

此方程等于无穷级数：${\textstyle \sum _{j=i}^{\infty }a_{j}\phi _{j}}$。请注意，在大多数情况下，在处理实际问题时，能量被认为是有限的，因此无穷分布很少见。

<VOCAB> 分散化？

或者，我们不考虑能量（它是<分散化>），而是通常谈论连续分布。例如，如果我们不讨论能量，而是用动量来表达。正如我们已经看到的那样，自由空间中的粒子可以取动量的任何值，从而为我们提供连续分布。

$$\Psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }\underbrace {\exp \left[\ i\left[p_{x}x-E(p_{x})t\right]\ {1 \over \hbar }\right]} _{Basis\ Function}\ \phi (p_{x})\ \operatorname {d} \!p_{x}$$

在这里，我们只是用积分代替了无限能量方程中的求和，并对所有允许的动量值进行了积分。所得方程是波包方程。这里 ${\textstyle \phi (p_{x})}$ 是我们的系数。这与之前的求和直接类似，因为现在我们不是对所有这些系数求和，而是对它们进行积分，但这些系数是什么呢？

<FIGURE>

此系数仅仅是 $p$ 的函数，表示在特定状态下找到粒子的概率。可以将其视为 $P(p_{x})=|\phi (t)|^{2}$。从物理上讲，它描述了<FIGURE>中所示的分布，其中测量粒子在特定动量下的概率与我们基态系数的值相关。

现在让我们简化我们的方程，并假设 $\beta (p_{x})=p_{x}x-E(p_{x})t$，这将给我们

$$\psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\beta (p_{n}) \over \hbar }$$
观察这个解，我们知道整个波函数以及系数 ${\textstyle \phi (p_{x})}$必须是良态的。系数是良态的，因为它们只是一些统计分布，在两端都趋于零，并且积分到一。另一方面，${\textstyle e^{i\beta (p_{n}) \over \hbar }}$将快速振荡，因此我们的波函数在整体上只有在 ${\textstyle e^{i\beta (p_{n}) \over \hbar }}$是一个由以下定义的常数时，才是良态的：

$$\left.{\partial \beta (p_{x}) \over \partial p_{x}}\right\vert _{\underbrace {p_{x}=p_{0}} _{centered\ on\ \phi _{max}}}=0$$解决这种关系看起来像：$${\begin{aligned}{\partial \beta \over \partial p_{x}}&={\partial \over \partial p_{x}}(p_{x}x-E(p_{x})\ t)\\&=x-t\ {\partial E(p_{x}) \over \partial p_{x}}=0\\x&=t\ {\partial \over \partial p_{x}}E(p_{x})\end{aligned}}$$

仅仅从最终方程中的单位来看，我们有 ${\textstyle length=time*\left({length \over time}\right)}$，这意味着 ${\textstyle {\partial \over \partial p_{x}}E(p_{x})}$ 的单位是 ${\textstyle \left({length \over time}\right)}$ 或 $velocity$ (${\textstyle \nu _{g}}$)。回到我们对能量和动量的定义，我们可以进一步转换 ${\textstyle \nu _{g}}$:$${\begin{aligned}\nu _{g}&={\partial E(p_{x}) \over \partial p_{x}}\quad {\begin{cases}E=\hbar \omega \\p_{x}=\hbar k\end{cases}}\\&={\hbar \partial \omega (k) \over \hbar \partial k}\\&={\partial \omega (k) \over \partial k}\end{aligned}}$$
这里，$\omega (k)$ 和 $E(k)$ 被称为“色散关系”。它们本质上是粒子的能量/速度与波数 $k$ 之间的关系。它们很重要，研究人员花费大量时间、资金和资源来确定各种材料系统的色散关系。例如，材料的能带结构就是一个色散关系。<CHAPTER REF> 群速度，$\nu _{g}$，是色散的范围。当我们谈论电子在晶体中运动时，我们谈论的是群速度，其大小通常取决于 $k$。

<FIGURE> “标题”（描述）

动量空间表示

更仔细地观察这些波包，让我们从重新编写平面波方程开始，将时间依赖性放入一般系数函数中，并设置 $t=0$ 来摆脱能量变量。这导致了 $\psi (x,t)$ 方程

$$\psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} p_{x}\ \phi (p_{x},t)\ \exp[i\ p_{x}\ x{1 \over \hbar }]$$

现在让我们对我们的方程应用傅里叶变换：${\begin{aligned}{\mathfrak {F}}[\psi (x,t)]&=\phi (p_{x},t)\\{\mathfrak {F}}^{-1}[\phi (p_{x},t)]&=\psi (x,t)\end{aligned}}$

将此变换代入上面的平面波方程得到

$$\phi (p_{x},t)={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} x\ \psi (x,t)\ \exp[-i\ p_{x}\ x{1 \over \hbar }]$$

如果集合$\left\{\psi _{n}(x,t)\right\}$ 彼此正交且归一化，那么$\left\{\phi _{n}(p_{x},t)\right\}$ 也是${\mathfrak {F}}\left\{\psi _{n}(x,t)\right\}$。我们称之为波函数的动量空间表示，傅里叶空间具有一些特性，这使得这种表示非常有用。实际上，只存在一个波函数（它是一个状态函数！），但这里它被投影到动量表示上，而$\psi (x,t)$ 被投影到位置表示上。

让我们考虑一个物理上有意义的分布。在这种情况下，高斯动量的方程为：$$\phi (p_{x})=c\exp \left[-{(p_{x}-p_{o})^{2} \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]$$

<FIGURE> "高斯动量"（描述）

<MATH CHECK> 下面的所有内容...

为了定义$c$，让我们使用一个众所周知的公式：$\int _{-\infty }^{+\infty }\phi ^{*}(p_{x})\ \phi (p_{x})\ \operatorname {d} \!p_{x}=1$

$\int _{-\infty }^{+\infty }|c|^{2}\exp \left[{-1 \over (\Delta p_{x})^{2}}(p_{x}-p_{o})^{2}\right]\operatorname {d} \!p_{x}$

利用一个“众所周知”的关系来求解$c$

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\alpha u^{2}}e^{-\beta u}\operatorname {d} \!u=\left({\pi \over \alpha }\right)^{(1/2)}\exp \left[{\beta ^{2} \over 4\alpha }\right]$

${\begin{aligned}|c|^{2}(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{1 \over 2}&=1\\c&=(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{-1 \over 4}\end{aligned}}$

因此...

$\phi (p_{x})=(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{-1 \over 4}\exp \left[{-(p_{x}-p_{o})^{2} \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]$

将此代入$\psi (x,t)$并求解...

${\begin{aligned}\psi (x,t)&={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!p_{x}(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{-{1 \over 4}}\exp \left[{-(p_{x}-p_{o}) \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]\exp \left[i\ p_{x}\ x{1 \over \hbar }\right]\\&={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar \Delta p_{x}{\sqrt {\pi }}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!p_{x}\exp \left[{-(p_{x}-p_{o}) \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]\exp \left[i\ p_{x}\ x{1 \over \hbar }\right]\underbrace {\exp \left[i\ x{1 \over \hbar }(p_{o}-p_{o})\right]} _{p_{o}=1}\\&={\exp \left[{ix \over \hbar }p_{o}\right] \over {\sqrt {2\pi \hbar \Delta p_{x}{\sqrt {\pi }}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!p_{x}\exp \left[{-1 \over 2\Delta {p_{x}}^{2}}{(p_{x}-p_{o})^{2}}\right]\exp \left[{ix \over \hbar }{(p_{x}-p_{o})}\right]\\&={\exp \left[{ixp_{o} \over \hbar }\right] \over k}\left({\pi 2\Delta {p_{x}}^{2} \over 2\pi \hbar \Delta p_{x}{\sqrt {\pi }}}\right)^{1 \over 2}\exp \left[{ixp_{o} \over \hbar }\right]\exp \left[{-x^{2} \over 2\left({\hbar \over \Delta p_{x}}\right)^{2}}\right]\\&=\left({\Delta p_{x} \over \hbar {\sqrt {\pi }}}\right)^{1 \over 2}\exp \left[{ixp_{o} \over \hbar }\right]\exp \left[{-x^{2} \over 2\left({\hbar \over \Delta p_{x}}\right)^{2}}\right]\end{aligned}}$

$\psi (x,t)$ 本身就是一个以 $x=0$ 为中心的正态分布。

高斯函数的宽度：${\hbar \over \Delta p_{x}}$

$\Delta x\Delta p={\hbar \over \Delta p}\Delta p=\hbar$

当 $\Delta p$ 变大时，$\Delta x$ 变小，反之亦然。

极限情况下，$\Delta p\longrightarrow 0$

${\begin{aligned}\phi (p_{x})&\rightarrow p_{o}\\\psi (x)&\rightarrow \exp \left[{ixp_{o} \over \hbar }\right]\end{aligned}}$

观察 $\psi _{in}$ 随时间的演化...

将 $\psi (p_{x})=(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{-{1 \over 4}}\exp \left[{-(p_{x}-p_{o}) \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]$ 代入 $\Psi (x,t)=(2\pi \hbar )^{-{1 \over 2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[{i(p_{x}x-E(p_{x})t) \over \hbar }\right]\phi (p_{x})\ \operatorname {d} \!p_{x}$

如果你还记得，$E(p_{x})={{p_{x}}^{2} \over 2m}$ 是我们从 <&LINK> 中得到的平面波解。

求解积分得到

$\Psi (x,t)={\pi }^{-{1 \over 4}}\left[{{\Delta p_{x} \over \hbar } \over 1+{i\Delta {p_{x}}^{2}t \over m\hbar }}\right]^{1 \over 2}\exp \left[{{{ip_{o}x \over \hbar }-\left({\Delta p_{x} \over \hbar }\right)^{2}{x^{2} \over 2}}-{i\ {p_{o}}^{2}t \over 2m\hbar } \over 1+{i\Delta {p_{x}}^{2} \over m\hbar }}\right]$

绘制 $P(x,t)=\Psi ^{*}\Psi$

仅仅因为你是理论家，并不意味着你就不应该通过实验学习。让我们代入一些数字，看看这个波函数是如何表现的。

<FIGURE> "示例图 1" (t=0)

<FIGURE> "示例图 2" (t=5000)

<FIGURE> "示例图 3" (t=10000)