电子学/RCL

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RLC 串联电路

RLC 串联电路由一个电阻器、一个电感器和一个电容器串联连接而成

根据基尔霍夫电压定律，该电路的微分方程为

$L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=V(t)$

或者

$L{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+R{\frac {dI}{dt}}+{\frac {I}{C}}={\frac {dV}{dt}}$

得出

$s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

其中

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$ 且 $\beta ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

需要考虑三种情况，每种情况都导致不同的电路行为，$\alpha ^{2}=\beta ^{2},\alpha ^{2}>\beta ^{2},or\alpha ^{2}<\beta ^{2}$。

$\alpha ^{2}=\beta ^{2}$ .

${\frac {R}{2L}}$ = ${\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$R=2{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

上述方程式只有一个实根

s = -α = ${\frac {R}{2L}}$

$I=Ae^{(-{\frac {R}{2L}})t}$

$\alpha ^{2}>\beta ^{2}$ ,

${\frac {R}{2L}}$ > ${\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$R>2{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

上述方程式有两个实根

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$I=e^{(}-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})t+e^{-}(\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})t$

$I=e^{(}-\alpha )e({\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})t-e^{-}({\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})t$

$\alpha ^{2}<\beta ^{2}$ .

$R<2{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

上述方程式有两个复根

$s=-\alpha$ + j${\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}$

$s=-\alpha$ - j${\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}$

$I=e^{j}(-\alpha +{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}})t+e^{j}(-\alpha +{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}})t$

电路分析

R = 0

如果 R = 0，则 RLC 电路将简化为 LC 串联电路。LC 电路在谐振时会产生驻波；在谐振时，条件会以稳定的功能方式快速传递。

$Z_{L}=Z_{C}$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

R = 0 Z_L = Z_C

如果 R = 0 并且上面的电路在谐振状态下工作，则电路的总阻抗为 Z = R，电流为 V / R。

在谐振时

$Z_{L}+Z_{C}=0$ 或 $Z_{L}=Z_{C}$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=R+0=R$

$I={\frac {V}{R}}$

在频率处

I = 0。电容器打开电路。I = 0

I = 0。电感器打开电路。I = 0

绘制上面三个 I 值的三个 I，我们得到了一个 I - 0 图。在谐振频率 $\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ 处，电流值达到最大值 $I={\frac {V}{R}}$。如果电流值为一半，则电路具有稳定电流 $I={\frac {V}{2R}}$ 不会随着频率在 É1 - É2 的带宽范围内变化。当电流超过 $I={\frac {V}{2R}}$ 时，电路在窄带宽范围内具有稳定电流。当电流低于 $I={\frac {V}{2R}}$ 时，电路在宽带宽范围内具有稳定电流。

因此，该电路能够选择带宽，使得电路在谐振状态下具有稳定的电流，因此该电路可以用作谐振调谐选择带宽滤波器。

进一步阅读

1. 时域分析 RCL 电路
2. 频域分析 RCL 电路