工程声学/声速

当声波在介质中传播时，它们会导致介质中的压力、密度、温度和粒子速度发生波动。介质中的总压力， $P$ ，可以表示为

$P=P_{o}+p'$

其中 $P_{o}$ 是静水压力或环境压力， $p'$ 是声压或压力波动。

静水压力可以看作平均压力，而声压代表平均压力周围的波动。类似地，密度、温度和粒子速度也分成平均值和波动分量。

$\rho =\rho _{o}+\varrho '$

$T=T_{o}+T'$

${\vec {U}}={\vec {u}}_{o}+{\vec {u}}'$

其中 $\rho _{o}$ 是环境密度； $\varrho '$ ，密度波动； $T_{o}$ ，环境温度； $T'$ ，温度波动； ${\vec {u}}_{o}$ ，平均速度；和 ${\vec {u}}'$ ，粒子速度。请注意，压力、密度和温度是标量，而粒子速度是矢量。

让我们考虑一个在充满静止流体的管道中沿 x 方向传播的平面波 ( ${\vec {u}}_{o}=0$ )，该管道具有恒定的压力、密度和温度 ( $P_{o}$ ， $\rho _{o}$ ，以及 $T_{o}$ ）。当波以速度 $c_{o}$ 通过流体传播时，它会在前面最初静止的流体中产生无穷小的波动。描述流体的四个量都在其平均值附近变化，增加或减少取决于流体是受到压缩还是膨胀。为了获得传播速度 $c_{o}$ 的关系，使用了惯性参考系，并在波周围绘制了一个控制体积。

应用连续性方程，

$\rho _{o}c_{o}A=(\rho _{o}+\varrho ')(c_{o}-u')A$

忽略高阶项，

$\rho _{o}u'=c_{o}\varrho '$

应用动量守恒定律，

$P_{o}+\rho _{o}c_{o}^{2}=P_{o}+p'+(\rho _{o}+\varrho ')(c_{o}-u')^{2}$

忽略高阶项，

$\rho _{o}c_{o}^{2}=p'+(\rho _{o}+\varrho ')(c_{o}^{2}-2c_{o}u')$

$0=p'+-2c_{o}\rho _{o}u'+\varrho 'c_{o}^{2}$ ,

并使用连续性方程，

$c_{o}^{2}={\frac {p'}{\varrho '}}$

声速与压力波动（声压）与密度波动的比率有关。鉴于声速始终为正值，流体压力的增加意味着流体密度的增加，反之亦然。总压力用关于环境密度的泰勒级数展开式表示，以将它无穷小的波动与总压力和密度相关联。

$P(\rho _{o}+\varrho ')=P_{o}+p'=P(\rho _{o})+{\frac {\partial P(\rho _{o})}{\partial \rho }}\varrho '+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}P(\rho _{o})}{\partial \rho ^{2}}}\varrho '^{2}+...$