工程分析/矩阵指数

矩阵指数

如果我们有一个矩阵A，我们可以将该矩阵提升到e的幂，如下所示

$e^{A}$

重要的是要注意，这并不一定（通常不）等于A的每个元素都提升到e的幂。 使用指数的泰勒级数展开，我们可以证明

$e^{A}=I+A+{\frac {1}{2}}A^{2}+{\frac {1}{6}}A^{3}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}A^{k}$.

换句话说，矩阵指数可以简化为矩阵幂的和。 这来自于指数函数的泰勒级数展开和之前讨论的凯莱-哈密顿定理。

然而，这个无穷和计算起来很昂贵，而且因为序列是无穷的，所以没有一个好的截止点，我们可以停止计算项并称答案为“良好近似”。 为了缓解这一点，我们可以转向凯莱-哈密顿定理。 对Aⁿ求解定理，我们得到

$A^{n}=-c_{n-1}A^{n-1}-c_{n-2}A^{n-2}-\cdots -c_{1}A-c_{0}I$

将等式的两边乘以A，我们得到

$A^{n+1}=-c_{n-1}A^{n}-c_{n-2}A^{n-1}-\cdots -c_{1}A^{2}-c_{0}A$

我们可以将第一个方程代入第二个方程，结果将是Aⁿ⁺¹，以A的前n - 1个幂表示。 事实上，我们可以重复这个过程，这样A^m，对于任意高幂的m，可以表示为A的前n - 1个幂的线性组合。 将此结果应用于我们的指数问题

$e^{A}=\alpha _{0}I+\alpha _{1}A+\cdots +\alpha _{n-1}A^{n-1}$

我们可以求解α项，并有一个表示指数的有限多项式。

逆矩阵

矩阵指数的逆矩阵由下式给出

$(e^{A})^{-1}=e^{-A}$

导数

矩阵指数的导数为

${\frac {d}{dx}}e^{Ax}=Ae^{Ax}=e^{Ax}A$

注意指数矩阵与矩阵A是可交换的。 这在其他函数中并不一定如此。

矩阵的和

如果指数中有一个矩阵的和，我们不能将它们分开

$e^{(A+B)x}\neq e^{Ax}e^{Bx}$

微分方程

如果我们有一个如下形式的一阶微分方程

$x'(t)=Ax(t)+f(t)$

初始条件为

$x(t_{0})=c$

那么该方程的解可以用矩阵指数表示为

$x(t)=e^{A(t-t_{0})}c+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}f(\tau )d\tau$

该方程在控制工程中经常出现。

拉普拉斯变换

出于兴趣，我们将展示矩阵指数函数的拉普拉斯变换

${\mathcal {L}}[e^{At}]=(sI-A)^{-1}$

虽然本书不会再使用这个结果，但其他工程类书籍可能会用到它。