FHSST 物理/静电学/电势

电势

场中的功和能量传递

当带电粒子在电场中移动时，会做功，能量也会传递。这与质量在万有引力场中（如任何大质量物体产生的）移动时的情况完全类似。

场做的功

万有引力情况

一个距离地面高度为 h 的质量具有重力势能，因为如果释放，它将在万有引力场的作用下落下。一旦释放，在没有摩擦的情况下，只有重力作用在质量上，质量会在力的方向（朝向地球中心）加速。

这样，场就会做功。当质量落下距离 h（从点 A 到 B）时，所做的功是，

${\begin{matrix}W&=&Fs\\&=&mgh\end{matrix}}$

在落下过程中，质量会损失重力势能，并获得动能。

能量守恒！

场做的功等于传递的能量，

${\begin{matrix}W=\mathrm {Gain\ in\ } E_{k}=\mathrm {Loss\ in\ } E_{p}\qquad \mathrm {(a\ falling\ mass)} \end{matrix}}$

静电情况

电场中的电荷具有电势能，因为如果释放，它将在电场的作用下移动。当释放时，在没有摩擦的情况下，只有电场力作用在电荷上，电荷将在力的方向上加速（对于正电荷，力与加速度方向与电场方向相同，而负电荷则在与电场方向相反的方向上经历力与加速度）。考虑将一个正电荷 +Q 放置在带相反电荷的平行板之间的均匀电场中。

正电荷会被正极板排斥，被负极板吸引（即它会在电场线的方向上移动）。这样，场就会做功。在电场中移动电荷距离 s 时，所做的功是，

${\begin{matrix}W&=&Fs\\&=&QEs\qquad \mathrm {since\ } E={F \over Q}.\end{matrix}}$

在移动过程中，电荷会损失电势能，并获得动能。场做的功等于传递的能量，

${\begin{matrix}W&=&\mathrm {Gain\ in\ } E_{k}=\mathrm {Loss\ in\ } E_{p}\qquad \mathrm {(charge\ moving\ under\ the\ influence\ of\ an\ electric\ field)} \end{matrix}}$

我们所做的功

万有引力情况

为了将图 12.1 中的质量 *m* 返回到其原始位置（即从 B 提升到 A 的距离 *h*），我们必须施加一个力 *mg* 来平衡重力。起重机所做的功为 *mgh*。在这个过程中，质量获得了重力势能，

${\begin{matrix}mgh&=&\mathrm {Gain\ in\ } E_{p}\qquad \mathrm {(lifting\ a\ mass)} \end{matrix}}$

静电情况

为了将图 12.2 中的电荷返回到其原始位置（即从 B 返回到 A），我们必须对电荷施加一个力 *QE* 来平衡电场对其施加的力。我们所做的功为 *QEs*。在这个过程中，电荷获得了电势能，

${\begin{matrix}QEs&=&\mathrm {Gain\ in\ } E_{p}\qquad \mathrm {(charge\ moved\ against\ an\ electric\ field)} \end{matrix}}$

总之，**当物体在场的力的作用下运动时，场做功，势能转化为动能。势能损失，动能增加。当物体逆着场力运动时，我们必须做功，物体获得势能。**

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例题 62 场中做的功和能量转换

**问题：**一个 +5nC 的电荷在大小为 $2\times 10^{12}\mathrm {N.C^{-1}}$ 的均匀电场中，被移动了 4 cm 的距离，从 A 到 B。

(a) 计算将电荷从 A 移动到 B 所做的功。(b) 现在释放电荷，使其返回到 A。计算电荷在 A 的动能。

**答案：** (a) 步骤 1 

我们已知电荷、场强和电荷必须移动的距离的值。所有值都使用正确的单位。

步骤 2 

由于电荷为正，因此我们必须做功才能将电荷从 A 移动到 B（因为这是逆着场力）。此功由以下公式给出，

${\begin{matrix}W&=&QEs\\&=&(5\times 10^{-9})(2\times 10^{12})(0.04)\\&=&400\ \mathrm {J} \end{matrix}}$

(b)

步骤 3 

释放后，电荷在电场的作用下移动并返回到 A 点。此时，电场做功，所做的功等于动能的增加量，

${\begin{matrix}\mathrm {Gain\ in\ } E_{k}&=&QEs\\&=&(5\times 10^{-9})(2\times 10^{12})(0.04)\\&=&400\ \mathrm {J} \end{matrix}}$

由于电荷最初静止，所以动能的增加量即为最终的动能，

${\begin{matrix}E_{k}^{\mathrm {at\ A} }&=&400\ \mathrm {J} \end{matrix}}$

电势差

考虑一个正的试验电荷 + Q 放在另一个正点电荷的电场中的 A 点。

试验电荷在另一个电荷的电场作用下向 B 点移动。在此过程中，试验电荷损失了电势能，获得了动能。因此，在 A 点，试验电荷的电势能比在 B 点的电势能高——A 点的电势比 B 点高。电荷在电场中某一点的电势能定义为将该电荷从无穷远处移动到该点的功。

两点之间的电势差定义为将单位正试验电荷从低电势点移动到高电势点所需的功。如果将电荷 Q 从一个点移动到另一个点需要做 W 功，那么这两点之间的电势差由下式给出：

${\begin{matrix}V&=&{W \over Q}\qquad \mathrm {unit:J.C^{-1}\ or\ V\ (the\ volt)} \end{matrix}}$

从这个公式可以得出，如果将一个库仑的电荷从一个点移动到另一个点需要做一焦耳的功，那么这两个点之间的电势差为一伏。

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例题 63 电势差

问题：如图所示，将一个带正电的物体 Q 放在图中所示的位置。两点 A 和 B 之间的电势差为$4\times 10^{-4}\ \mathrm {V}$

(a) 计算一个 +2nC 的电荷从 A 点移动到 B 点时电势能的变化。(b) 哪一点，A 点还是 B 点，电势更高？解释。(c) 如果将这个电荷换成另一个 -2nC 的电荷，它的能量变化会受到怎样的影响？

答案：(a) 正电荷从 A 点移动到 B 点时，它的电势能降低，因为它是在物体 Q 产生的电场方向上移动的。这种电势能的损失等于电场做的功，

${\begin{matrix}\mathrm {Loss\ in\ Electrical\ Potential\ Energy} &=&W\\&=&VQ\qquad \mathrm {(Since\ } V={W \over Q})\\&=&(4\times 10^{-4})(2\times 10^{-9})\\&=&8\times 10^{-13}\ \mathrm {J} \end{matrix}}$

(b) 由于从B点移动正电荷到A点需要做功，因此A点的电势高于B点。(c) 如果电荷被负电荷取代，则在从A点移动到B点的过程中，电荷的电势能会增加（在这种情况下，我们必须对电荷做功）。

例如，考虑两个带相反电荷的平行板之间的电场，它们相距d，并保持电压差V。

这个电场是均匀的，因此放置在板之间的任何位置的电荷都会受到相同的力。考虑一个正电荷Q，它被放置在负极板表面的O点。为了将其移动到正极板，我们必须施加一个力QE。将电荷从负极板移动到正极板所做的功为：

${\begin{matrix}W&=&Fs\\&=&QEd,\end{matrix}}$

但从电势的定义来看：

${\begin{matrix}W&=&VQ.\end{matrix}}$

将这两个关于做功的表达式相等：

${\begin{matrix}QEd&=&VQ,\end{matrix}}$

因此，重新排列：

${\begin{matrix}E&=&{V \over d}.\qquad \end{matrix}}$

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例题 64 平行板

题目：两块带电平行板相距180 mm。它们之间的电压差为$3600\ \mathrm {V}$，如图所示。

(a) 如果一个质量可忽略不计的小油滴，带电荷$+6.8\times 10^{-9}\ \mathrm {C}$，被放置在板之间的X点，计算作用在液滴上的静电力的方向和大小。

(b) 如果液滴现在被移动到Y点，作用在它上面的力会比(a)中更大、更小还是相同？

答案：(a)

步骤 1 

首先找到板之间的电场强度：

${\begin{matrix}E&=&{V \over d}\\&=&{3600 \over 0.180}\\&=&20000\ \mathrm {N.C^{-1}\ from\ the\ positive\ to\ the\ negative\ plate} \end{matrix}}$

步骤 2 

现在，作用在X点电荷上的力为：

${\begin{matrix}F&=&QE\\&=&(6.8\times 10^{-9})(20000)\\&=&1.36\times 10^{-4}\ \mathrm {down} \end{matrix}}$

(b)

图 12.3：悬浮在带相反电荷的平行板之间的油滴。

文件：Fhsst electrost29.png

步骤 3 

相同。由于电场强度均匀，作用在电荷上的力在板之间的所有点都相同。

密立根油滴实验

罗伯特·密立根通过研究带电油滴在带相反电荷的平行板之间运动来测量电子的电荷。

考虑图 12.3 中平行板之间的一个这样的负滴。由于这个滴是负的，所以电场对滴施加一个向上的力。除了这个向上的力之外，重力对滴施加一个向下的力。密立根通过改变施加在板上的电势差来调整板之间的电场强度。通过这种方式，密立根能够使油滴静止。*编辑*密立根的实验是让油滴以恒定速率下降。在这个恒定速率下，地球对油滴的力和电场对油滴的力相等 *编辑结束*

${\begin{matrix}F_{\mathrm {up} }&=&F_{\mathrm {down} }\\QE&=&mg\end{matrix}}$

由于 $E={V \over d}$

${\begin{matrix}Q{V \over d}&=&mg,\\\end{matrix}}$

因此，

${\begin{matrix}Q&=&{mgd \over V}\end{matrix}}$

密立根发现所有油滴的电荷都是 $1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C}$ 的倍数。由于物体通过获得或失去电子而带电，所以电子的电荷必须是 $-1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C}$。电子电荷的大小用 e 表示，

${\begin{matrix}e&=&1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} \end{matrix}}$

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例题 65 电荷

问题：一个金属球带 $+3.2\times 10^{-8}\ \mathrm {C}$ 的电荷。它必须失去多少个电子才能达到这个电荷？

答案：由于球是正的，所以它在充电过程中失去了电子（当物体失去负电荷时，它会留下正电荷）。事实上，它失去了，

${\begin{matrix}{3.2\times 10^{-8} \over 1.6\times 10^{-19}}&=&2\times 10^{11}\ \mathrm {electrons} \end{matrix}}$

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例题 66 密立根油滴实验

问题：在一个类似密立根的实验中，一个带正电的油滴被放置在两块水平板之间，两块板相距 20 毫米，如图所示。

两块板间的电势差为 4000V。该油滴的质量为 $1.2\times 10^{-14}$，电荷量为 $8\times 10^{-19}$。（a）画出两板之间电场线的图案。（b）计算

1. 两板之间的电场强度。
2. 作用在油滴上的重力的量级。
3. 作用在油滴上的库仑力的量级。

（c）通过显微镜观察油滴。观察到的油滴会做什么？解释一下。（d）在不进行进一步计算的情况下，给出两种可以使油滴保持固定位置的方法。

答案：(a)

（b）1.

${\begin{matrix}E&=&{V \over d}\\&=&{4000 \over 0.02}\\&=&2\times 10^{5}\ \mathrm {V.m^{-1}\ up} \\\end{matrix}}$

2.

${\begin{matrix}F_{\mathrm {grav} }&=&mg\\&=&(1.2\times 10^{-14})(10)\\&=&1.2\times 10^{-13}\mathrm {N} \end{matrix}}$

3.

${\begin{matrix}F_{\mathrm {Coulomb} }&=&QE\\&=&(8\times 10^{-19})(s\times 10^{5})\\&=&1.6\times 10^{-13}\mathrm {N} \end{matrix}}$

（c）由于 $F_{up}>F_{down}$，油滴向上加速。

（d）可以通过减小两板之间的电场强度来减小库仑力。由于 $E={V \over d}$，可以通过增加 d 或减小 V 来实现。