FHSST 物理/静电学/静电力

静电力

正如我们现在所知，带电物体相互施加力。如果电荷处于静止状态，则它们之间的这种力称为静电力。静电力一个有趣的特征是它可以是吸引力或排斥力，与始终只有吸引力的万有引力不同。两个物体上的相对电荷决定了带电物体之间是吸引力还是排斥力。如果物体带相反的电荷，它们会相互吸引，而如果它们的电荷相似，它们会相互排斥（例如，两个带负电的金属球会相互排斥，而一个带正电的球和一个带负电的球会相互吸引）。

正是这种力决定了电荷在导体表面的分布。当我们在球形导体上放置电荷时，各个相同电荷之间的排斥力会导致它们均匀地分布在球体的表面上。然而，对于形状不规则的导体，电荷会集中在物体尖端或尖端附近。

如果尖端足够尖锐，这种电荷的聚集实际上会导致电荷从导体上泄漏。出于这个原因，建筑物通常在屋顶上安装避雷针来消除建筑物积聚的任何电荷。这可以最大限度地减少建筑物被雷击的可能性。

如果我们在绝缘体上放置电荷，则这种电荷的扩散不会发生，因为电荷不能在绝缘体中移动。

库仑定律

查尔斯·库仑在大约 1784 年对静电力的行为进行了详细研究。通过他的观察，他能够证明任何两个点电荷之间的静电力与其大小成正比，与其距离的平方成反比。因此，如果 F 是力，Q1 和 Q2 是电荷，R 是它们之间的距离，则该定律可总结为

                F=(Q1Q2)/(R^2) 
                          

其中Q₁ 是一个点状物体上的电荷，Q₂ 是第二个物体上的电荷，r 是两者之间的距离。请记住，这里的 F 是根据牛顿第三运动定律，彼此施加的相互作用力，作用于两个电荷。

两个点状电荷之间的静电力的大小由库仑定律给出

${\begin{matrix}F=k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\end{matrix}}$

(12.1)

比例常数k 称为静电常数。我们将使用值

${\begin{matrix}k=8.99\times 10^{9}{\rm {N\cdot m^{2}/C^{2}.}}\end{matrix}}$

静电常数的值已知到非常高的精度（小数点后 9 位）。没有多少物理常数像k 一样精确。

旁白：注意库仑定律与两个点状粒子之间的牛顿万有引力定律的形式多么相似

${\begin{matrix}F_{G}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},\end{matrix}}$

其中m₁ 和m₂ 是两个粒子的质量，r 是它们之间的距离，G 是万有引力常数。有趣的是，库仑定律已被证明无论距离多么小，电荷多么大，都是正确的：例如，它仍然适用于原子内部（距离小于 $10^{-10}{\rm {m}}$

让我们来举一个简单的静电力的例子。

---

例题 59 库仑定律 I

问题：两个带 +3×10⁻⁹ C 和 −5×10⁻⁹ C 电荷的点状电荷相距 2 米。确定它们之间的力的幅度，并说明它是吸引力还是排斥力。

答案

步骤 1

首先绘制这种情况

步骤 2

一切都使用正确的单位了吗？是的，电荷以库仑 [C] 为单位，距离以米 [m] 为单位。

步骤 3

确定力的幅度：使用库仑定律，我们得到

${\begin{matrix}F&=&k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\\&=&(8.99\times 10^{9}{\rm {N\cdot m^{2}/C^{2}}}){\frac {(+3\times 10^{-9}{\rm {C}})(-5\times 10^{-9}{\rm {C}})}{(2{\rm {m}})^{2}}}\\&=&-{\frac {(8.99)(3)(5)}{4}}(10^{-9}){\frac {(N\cdot m^{2}/C^{2}\!\!\!/)(C^{2})}{m^{2}}}\\&=&-3.37\times 10^{-8}{\rm {N}}\end{matrix}}$

因此，力的 *大小* 为 $3.37\times 10^{-8}{\rm {N}}$。负号是由于两个点电荷具有相反的符号。

步骤 4

该力是吸引力还是排斥力？由于这两个电荷带相反的电荷，因此该力是 *吸引* 力。我们也可以从库仑定律得出力的值为负，从而得出该结论。

---

接下来，我们将通过另一个示例来演示万有引力和静电力之间的量级差异。

---

例题 60 库仑定律 II

问题：确定两个相隔 1 埃的电子之间的静电力和万有引力（即原子内部感受到的力）答案：Å 步驟 1

首先绘制这种情况

Riaan 注意：此图像有错误，请重新创建

步骤 2

将所有内容转换为 SI 单位：电子的电荷为 $-1.60\times 10^{-19}{\rm {C}}$，电子的质量为 $9.11\times 10^{-31}{\rm {kg}}$，1 埃 = $1\times 10^{-10}{\rm {m}}$

步骤 3

使用库仑定律计算静电力

${\begin{matrix}F_{E}&=&k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}=k{\frac {e\cdot e}{1\mathrm {\AA} ^{2}}}\\&=&(8.99\times 10^{9}{\rm {N\cdot m^{2}/C^{2}){\frac {(-1.60\times 10^{-19}{\rm {C}})(-1.60\times 10^{-19}{\rm {C)}}}{(10^{-10}{\rm {m)^{2}}}}}}}\\&=&2.30\times 10^{-8}{\rm {N}}\end{matrix}}$

因此，两个电子之间静电力的 *大小* 为 $2.30\times 10^{-8}{\rm {N}}$。（注意，电子带有相同的电荷，因此我们知道该力一定是排斥力。另一种观察方法是，该力的值为正，因此是排斥力。）

步骤 4

计算万有引力

${\begin{matrix}F_{E}&=&G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=G{\frac {m_{e}\cdot m_{e}}{(1\mathrm {\AA} )^{2}}}\\&=&(6.67\times 10^{-11}{\rm {N\cdot m^{2}/kg^{2}}}){\frac {(9.11\times 10^{-31}{\rm {C}})(9.11\times 10^{-31}{\rm {kg}})}{(10^{-10}{\rm {m}})^{2}}}\\&=&5.54\times 10^{-51}{\rm {N}}\end{matrix}}$

两个电子之间引力的强度为 $5.54\times 10^{-51}{\rm {N}}$

---

请注意，两个电子之间的引力远小于静电力。因此，在确定两个带电物体之间的力时，通常会忽略引力。

我们上面提到，放在球形导体上的电荷会均匀地分布在表面。因此，如果我们离带电球体足够远，在静电上，它的行为就像一个点电荷。因此，我们可以将球形导体（例如金属球）视为点电荷，所有电荷都作用在中心。

---

例题 61 库仑定律：挑战题

问题：在下图中，X 是一个带有负电荷的小球体，质量为 10 公斤。它通过绝缘绳索悬挂在屋顶上，绳索与屋顶成 60^o 角。Y 是一个带有正电荷的小球体，其电荷量与 X 相同。Y 通过绝缘支架固定在墙上。假设系统处于平衡状态，X 上的电荷量是多少？

答案：我们如何确定 X 上的电荷量？嗯，如果我们知道 X 和 Y 之间的力，我们可以使用库仑定律来确定它们的电荷量，因为我们知道它们之间的距离。所以，首先，我们需要确定 X 和 Y 之间静电力的强度。

步骤 1

所有单位都是 S.I. 单位吗？X 和 Y 之间的距离为 $50{\rm {cm}}=0.5{\rm {m}}$，X 的质量为 10 公斤。

步骤 2

画出作用在 X 上的力（带方向）并标注。

步骤 3

确定静电力的强度（F_E）。由于没有任何东西在移动（系统处于平衡状态），因此力的垂直分量和水平分量必须相互抵消。因此

${\begin{matrix}F_{E}=T\sin(60^{o})\qquad \qquad F_{g}=T\sin(60^{o}).\end{matrix}}$

我们唯一知道的力是重力 F_g = mg。现在我们可以从上面计算出 T 的强度

${\begin{matrix}T={\frac {F_{g}}{\sin(60^{o})}}={\frac {(10{\rm {kg}})(10{\rm {m/s^{2})}}}{\sin(60^{o})}}=1155{\rm {N}}.\end{matrix}}$

这意味着 F_E 为

${\begin{matrix}F_{E}=T\cos(60^{o})=1154{\rm {N\cdot \cos(60^{o})=577.5{\rm {N}}}}\end{matrix}}$

步骤 4

现在我们已经知道了 X 和 Y 之间静电力的量级，我们可以使用库仑定律来计算它们的电荷。不要忘记 X 和 Y 上电荷的量级是相同的：$|Q_{\rm {X}}|=|Q_{\rm {Y}}|$. 静电力的量级是

${\begin{matrix}F_{E}&=&k{\frac {|Q_{\rm {X}}Q_{\rm {Y}}|}{r^{2}}}=k{\frac {Q_{\rm {X}}^{2}}{r^{2}}}\\|Q_{\rm {X}}|&=&{\sqrt {\frac {F_{E}r^{2}}{k}}}\\&=&{\sqrt {\frac {(577.5{\rm {N}})(0.5{\rm {m}})^{2}}{8.99\times 10^{9}{\rm {N\cdot m^{2}/C^{2}}}}}}\\&=&1.27\times 10^{-4}{\rm {C}}\end{matrix}}$

因此，X 上的电荷是 $-1.27\times 10^{-4}{\rm {C}}$