力
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待办事项清单 - 定义 - 图表 - 力的平衡 - 牛顿运动定律 - 万有引力定律 - 示例 - 重要数量、方程和概念

牛顿运动定律

我们当前的运动定律是由艾萨克·牛顿爵士发现的。据说牛顿爵士在被一个掉落的苹果砸到头部后开始思考运动和万有引力的本质。

牛顿发现了描述运动的 3 个定律

第一定律

牛顿第一定律基本上说，要使物体运动或停止运动，必须对物体施加力。该陈述的第一部分绝对有道理。我让某个东西运动的唯一方法是让某个东西推它。该陈述的第二部分可能并不那么容易被直接接受为事实。我们都见过物体在没有人推它们的情况下减速。那么我们怎么能说停止物体运动的唯一方法是施加力呢？答案是我们并不总是看到力。大多数情况下，我们看不到的力是摩擦力。

摩擦力是两个物体相互滑动时产生的阻碍运动的力。要理解什么是摩擦力，想想砂纸。如果你试图摩擦两块砂纸，你会发现很难让它们滑动。在一定程度上，所有物体之间都存在着这种现象。这种摩擦力是使物体减速或停止运动的原因。

第二定律

定义：动量的变化率与施加的力成正比，且方向与力相同。

该定律可以用以下基本形式表示（选择合适的测量系统使得比例常数为 1）

{\vec {F}}={\frac {d(m{\vec {v}})}{dt}}

质量和速度的乘积，即 $m{\vec {v}}$ 称为动量。因此，作用在粒子上的合力等于粒子动量随时间的变化率。一般情况下，所考虑物体的质量是恒定的，因此可以从导数中提取出来

{\begin{aligned}{\vec {F}}&=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\\{\vec {F}}&=m{\vec {a}}\end{aligned}}

对于恒定质量， ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

力等于质量乘以加速度。牛顿第二运动定律的这个版本假设物体的质量不随时间变化，因此它不是该定律的通用数学形式。因此，例如，该方程不能应用于火箭的运动，因为火箭会随着时间的推移而损失质量（损失的质量从火箭后部喷出）。

加速度的方向与合力的方向相同是有道理的。如果你推开某个东西，它不会朝你移动，当然除非还有另一个力作用在物体上朝你移动！

实例 16 牛顿第二定律

问题：质量为 10 kg 的物体以 2 m·s⁻² 的加速度运动。作用在物体上的合力的大小是多少？

答案

步骤 1

我们已知

物体的质量
物体的加速度

所有单位都正确。

步骤 2

我们要求作用在物体上的力的幅值。牛顿第二定律告诉我们物体的加速度和力之间的关系。由于我们只需要幅值，因此我们不需要担心向量的方向

{\begin{matrix}F_{Net}&=&ma\\&=&10\ {\mbox{kg}}\times 2{\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\\&=&20\ {\mbox{N}}\end{matrix}}

因此，作用在箱子上的合力必须为 20 牛顿。

示例 17 牛顿第二定律 2

问题：一个质量为 100 毫克的物体放置在无摩擦的水平面上，在正方向 x 方向上施加一个 12 牛顿的力。物体的加速度是多少？

答案

步骤 1

我们已知

物体的质量
施加的力

但质量单位不正确。

步骤 2

让我们先将质量转换为正确单位

{\begin{matrix}100{\mbox{ mg}}&=&100\times 10^{-3}{\mbox{ g}}=0.1{\mbox{ g}}\\1000{\mbox{ g}}&=&1\ {\mbox{kg}}\\1&=&1kg\times {\frac {1}{1000g}}\\&=&{\frac {1kg}{1000g}}\\0.1g&=&0.1g\times 1\\&=&0.1g\times {\frac {1kg}{1000g}}\\&=&0.0001\ kg\\\end{matrix}}

步骤 3

我们知道合力会导致加速度。由于没有摩擦，因此施加的力就是物体上的合力（参考之前关于在桌面上推动物体的例子）。根据牛顿第二定律，物体将在该力的方向上加速。

步骤 4

要确定加速度的大小

{\begin{matrix}F_{Res}&=&ma\\12{\mbox{ N}}&=&(0.0001{\mbox{ kg}})a\\a&=&{\frac {12{\mbox{ N}}}{0.0001{\mbox{kg}}}}\\&=&120000{\frac {\mbox{N}}{\mbox{kg}}}\\&=&120000{\frac {{\mbox{kg}}\cdot {\mbox{m}}}{{\mbox{s}}^{2}\cdot {\mbox{kg}}}}\\&=&120000{\frac {\mbox{m}}{{\mbox{s}}^{2}}}\\&=&1.2\times 10^{5}\ {\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\end{matrix}}

根据牛顿第二定律，加速度的方向与合力的方向相同。最终结果是，物体在正方向 x 方向上以 $1.2\times 10^{5}\ {\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}$ 的加速度加速。

重量与质量

你一定听过人们说我的体重是 60 公斤。这实际上是正确的，尽管物理学家往往难以理解这一点，因为用公斤衡量的是质量。这与力学中使用的“重量”一词的含义不同，在力学中，重量是指地球对具有质量的物体的重力。

{\begin{matrix}F_{weight}=mg\end{matrix}}

因此，重量是用牛顿来衡量的。

如果将此方程式与牛顿第二定律进行比较，你会发现它们看起来完全相同，只是将a替换为g。因此，当重量是作用在物体上的唯一力时（即当 $F_{weight}$

F_weight是作用在物体上的合力）物体具有加速度g。这样的物体被称为自由落体。g的值对于所有物体都是相同的（即它与物体的质量无关）。

${\begin{matrix}g=9.8{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\approx 10{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\end{matrix}}$

{\begin{matrix}g=9.8{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\approx 10{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\end{matrix}}

(4.3)

你将在第 ??? 章中学习如何从地球的质量和半径计算这个值。实际上，g的值在地球表面的不同地点略有不同。

我们经常混淆重量和质量的原因是，秤测量你的重量（以牛顿为单位），然后使用上面的方程式显示你的质量。

例题 18 计算合力然后计算加速度

问题：一个放在无摩擦平面的木块（质量为 20 公斤）在正 x 方向上受到 45 牛顿力的作用。此外，在负 x 方向上施加了 25 牛顿力。作用在木块上的合力是多少，木块的加速度是多少？

答案

步骤 1

我们已知

物体的质量
力 F₁ = 45 牛顿，在正 x 方向上。
力 F₂ = 25 牛顿，在负 x 方向上。

所有单位都正确。

步骤 2

我们要确定木块会发生什么。我们知道合力会导致加速度。我们需要确定作用在木块上的合力。

步骤 3

由于 F₁ 和 F₂ 沿同一直线作用，我们可以应用矢量章节中讨论的矢量加法的代数方法来确定合力。选择正 x 方向作为我们的正方向。

正 x 方向是正方向。

{\begin{matrix}F_{Res}&=&(+45\ {\mbox{N}})+(-25{\mbox{ N}})\\&=&+20\ {\mbox{N}}\\&=&20{\mbox{N}}\ in\ the\ positive\ x-direction\end{matrix}}

其中，我们在最后一步记得用文字包含合力的方向。根据牛顿第二定律，木块将在合力的方向上加速。

步骤 4

接下来，我们确定加速度的大小。

{\begin{matrix}F_{Res}&=&ma\\20{\mbox{N}}&=&(20{\mbox{kg}})a\\a&=&{\frac {20{\mbox{N}}}{20{\mbox{kg}}}}\\&=&1{\frac {\mbox{N}}{\mbox{kg}}}\\&=&1{\frac {{\mbox{kg}}\cdot {\mbox{m}}}{{\mbox{s}}^{2}\cdot {\mbox{kg}}}}\\&=&1\ {\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\\\end{matrix}}

最终结果是木块在正 x 方向（与合力相同的方向）上以 $1\ {\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}$ 的速度加速。

例题 19 倾斜平面上的木块

问题：一个木块（质量为 10 公斤）从一个斜面上释放。如果角度 θ 为 25 度，木块与斜面之间的摩擦系数为 0.25，木块的加速度是多少？

解决方案

步骤 1：方块的加速度将平行于斜面，因此我们将问题分成两部分 - 垂直于斜面的力（由于垂直于斜面没有加速度，因此必须抵消）和平行于斜面的力。

步骤 2：我们知道在垂直于斜面方向上没有加速度，换句话说 $a_{\perp }=0$ 。因此我们知道

{\begin{matrix}\\\sum {F_{\perp }}&=&0\\N-W_{\perp }&=&0\\N-m\ g\ {\cos \theta }&=&0\\N&=&m\ g\ {\cos \theta }\\&=&(10\ kg)(9.8\ {m \over {s^{2}}})\ {\cos 25^{\circ }}\\&=&88.82\ N\end{matrix}}

步骤 3：将平行于斜面的力求和得到

{\begin{matrix}\\\sum {F_{\|}}&=&m\ g\ {\sin \theta }-\mu \ N\\ma_{\|}&=&m\ g\ {\sin \theta }-\mu \ N\\(10kg)a_{\|}&=&(10kg)(9.8\ {m \over s^{2}})\sin 25^{\circ }-(0.25)\ (88.82\ N)\\a_{\|}&=&(9.8\ {m \over s^{2}})\ \sin 25^{\circ }-(0.25)\ {{88.82\ N} \over {10\ kg}}\\&=&5.5\ {m \over {s^{2}}}\end{matrix}}

最终结果是方块以 $5.5\ m\cdot s^{-2}$ 的加速度沿着斜面向下加速。

第三定律

定义：对于一个物体施加在另一个物体上的每一个力（作用力），总会有一个大小相等、方向相反的力，另一个物体施加回第一个物体（反作用力）。

该定律是线性动量守恒原理的直接结果。

牛顿第三定律很容易理解，但应用起来却相当困难。需要认识到的是，作用力和反作用力永远不会作用在同一个物体上，因此不能对同一个合力做出贡献。

例题 20 识别作用-反作用力对

问题：考虑在一个粗糙的桌面上推一个箱子。

画一个力图，指示所有作用在箱子上的力。
确定作用在箱子上的每个力的反作用力。

答案

下图显示了作用在箱子上的所有力

需要认识到一个与牛顿第三定律有关的重要问题。想象一下从悬崖上扔一块石头。它落下是因为地球对其施加了一个力（见第 ?? 章），而且似乎没有其他力在作用。那么牛顿第三定律错了吗？不，石头重量的反作用力是石头施加在地球上的力。下一章将详细说明这一点。

例题 21 牛顿第三定律

问题：一块质量为 0.5 kg 的石头以 10 m·s⁻² 的加速度朝地球坠落。

地球对石头的作用力是多少？
石头对地球的作用力是多少？
已知地球的质量为 5.97 × 10²⁷ kg，它的加速度是多少？

答案

步骤 1：我们知道

- 石头的质量
- 石头的加速度（g）

根据牛顿第三定律，石头必须对地球施加一个大小相等、方向相反的力。因此，石头以 5 N 的力朝石头施加在地球上。
我们有

- 作用在地球上的力
- 地球的质量

File:Fhsst forces13.png

牛顿首次在《自然哲学的数学原理》（1687 年）中发表了这些定律，并用它们证明了许多关于物理物体运动的结果。直到 1916 年，

牛顿定律才被爱因斯坦的相对论所取代。

文件：Fhsst forces15.png

接下来的两个实例相当冗长且复杂，但理解它们非常重要，因为它们说明了牛顿定律的重要性。

实例 22 火箭

问题： 火箭如何在太空中加速？

答案

气体在火箭内部爆炸。
这种爆炸的气体在火箭的两侧施加力（如下方火箭内部爆炸室的图片所示）。

文件：Fhsst forces17.png

请注意，此图片中显示的力是代表性的。爆炸时，会产生各个方向的力。

由于情况的对称性，所有施加在火箭上的力都被相反侧的力抵消，除了打开的一侧的力。作用在上表面的这个力是不平衡的。
因此，这是作用在火箭上的合力，它使火箭向前加速。

系统和外力

系统和外力的概念在物理学中非常重要。系统是任何物体的集合。如果在一个这样的系统周围画一个想象的盒子，那么外力是由盒子外面的人或物体施加的力。例如，想象一辆汽车拉着一辆拖车。

系统概念极其重要。考虑一个例子，一个人头戴重物（盒子），站在平台上。

现在计算一下力

(i) 盒子向下压人 (ii) 人向上推盒子（对盒子重量的反应）(iii) 盒子被地球向下拉 (iv) 地球被盒子向上拉 (v) 人向下压地板 (vi) 地板向上推人 (vii) 人被地球向下拉，以及 (viii) 地球被向上拉。

很混乱。哪些是内力，哪些是外力？这里识别系统就派上用场了。我们可以选择盒子或人作为分析力的系统，我们甚至可以将盒子和人一起视为一个系统。选择系统时，唯一需要注意的条件是系统的各个部分应该具有相同的加速度。如果两个部分具有不同的加速度，则每个部分都应该被视为一个独立的系统。