直线运动
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定义 - 速度和速度 - 图表 - 运动方程 - 重要方程和数量

运动方程

本节介绍如何解决与匀加速运动相关的問題。我们首先介绍变量和方程，然后演示如何推导它们，最后通过几个例子来讲解。

u = 初始速度（m/s）在 t = 0 时

v = 末速度（m/s）在时间 t 时

s = 位移（m）

t = 时间（s）

a = 加速度（m/s²）

v=u+at\,

(5.1)

s={\frac {(u+v)}{2}}t

(5.2)

s=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}

(5.3)

v^{2}=u^{2}+2as\,

(5.4)

$\Delta x=1/2*a*(\Delta t)^{2}+u(\Delta t)$

确保你能背诵这些公式，它们非常重要！对于这些公式，有许多不同的问题类型。基本上，当你解答这类问题时

找出你已知的数值并写下来。
确定你需要使用哪个公式。
写下公式！
将已知的值代入公式并计算答案。

(-1.5,0)

意大利比萨的伽利略·伽利雷是最早确定加速度正确数学规律的人：从静止开始，物体所走过的总距离与时间的平方成正比。他还得出结论：

物体保持其速度，除非有外力（通常是摩擦力）作用于它，从而推翻了亚里士多德的公认假设，即物体在没有外力作用的情况下会“自然”地减速并停止。这一原理被纳入牛顿运动定律（第一定律）。

方程 5.1

根据加速度的定义 $a={\frac {\Delta v}{t}}$ 其中 $\Delta$ v 是速度的变化，即 $\Delta v=v-u$ 。因此我们有

{\begin{matrix}a&=&{\frac {v-u}{t}}\\v&=&u+at\end{matrix}}

方程 5.2

在上一节中我们看到，位移可以从速度-时间图和时间轴之间的面积计算出来。对于匀加速运动，我们能得到的*最复杂*的速度-时间图是一条直线。看下图 - 它表示一个物体以初始速度 u 开始运动，在总时间 t 内加速到末速度 v。

为了计算最终的位移，我们必须计算图形下的面积 - 这只是矩形的面积加上三角形的面积。

{\begin{matrix}Area\triangle &=&{\frac {1}{2}}b\times h\\&=&{\frac {1}{2}}t\times (v-u)\\&=&{\frac {1}{2}}vt-{\frac {1}{2}}ut\end{matrix}}

{\begin{matrix}Area\Box &=&w\times h\\&=&t\times u\\&=&ut\end{matrix}}

{\begin{matrix}Displacement&=&Area\Box +Area\triangle \\s&=&ut+{\frac {1}{2}}vt-{\frac {1}{2}}ut\\&=&{\frac {(u+v)}{2}}t\end{matrix}}

公式 5.3

此公式是通过在公式 5.2 中消去最终速度 v 推导出来的。回想公式 5.1，我们知道

v=u+at

那么公式 5.2 变成

{\begin{matrix}s&=&{\frac {u+u+at}{2}}t\\&=&{\frac {2ut+at^{2}}{2}}\\&=&ut+{\frac {1}{2}}at^{2}\end{matrix}}

公式 5.4

此公式是通过在上述公式中消去时间变量推导出来的。根据公式 5.1，我们知道

t={\frac {v-u}{a}}

将此代入公式 5.3 得

{\begin{matrix}s&=&u({\frac {v-u}{a}})+{\frac {1}{2}}a({\frac {v-u}{a}})^{2}\\&=&{\frac {uv}{a}}-{\frac {u^{2}}{a}}+{\frac {1}{2}}a({\frac {v^{2}-2uv+u^{2}}{a^{2}}})\\&=&{\frac {uv}{a}}-{\frac {u^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}}{2a}}-{\frac {uv}{a}}+{\frac {u^{2}}{2a}}\\2as&=&-2u^{2}+v^{2}+u^{2}\\v^{2}&=&u^{2}+2as\end{matrix}}

(5.5)

这使我们获得了最终速度关于初始速度、加速度和位移的表达式，且与时间变量无关。

例题 28

问题：一辆赛车初始速度为 100 米/秒，它在 10 秒内行驶了 725 米。求它的加速度。

解答

步骤 1

我们已知 u、s 和 t 的值——都已用正确单位表示。我们需要求 a。

步骤 2

我们可以使用公式 5.3 $s=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}$

步骤 3

重新排列公式 5.3 我们得到 $a={\frac {2(s-ut)}{t^{2}}}$

代入已知量的值，得到

{\begin{matrix}a&=&{\frac {2(725{\mbox{ m}}-100{\frac {\mbox{m}}{\mbox{s}}}\cdot 10{\mbox{ s}})}{10^{2}{\mbox{ s}}^{2}}}\\&=&{\frac {2(-275{\mbox{ m}})}{100{\mbox{ s}}^{2}}}\\&=&-5.5{\frac {\mbox{m}}{{\mbox{s}}^{2}}}\end{matrix}}

赛车以 -5.5 m/s² 的加速度加速，或者可以说它以 5.5 m/s² 的速度减速。这个答案是错误的

最好使用 a=v-u/t，然后 a=(725-100)/10s，你会得到 a=625/10，它将等于 62.5m/s2

例题 29

问题：一个物体从静止开始，以恒定的加速度沿直线运动，并在 4 秒内移动了 64 米。计算

它的加速度
它的最终速度
物体经过多少时间才能移动总距离的一半
物体在总时间的一半内移动了多少距离。

解答

步骤 1：我们以正确的单位给出了数量 u、s 和 t。

步骤 2：为了计算加速度，我们可以使用公式 [#eq:eq3 5.3]。重新排列它，我们得到

a={\frac {2(s-ut)}{t^{2}}}

代入已知量的值，得到

{\begin{matrix}a&=&{\frac {2(64m-0{\frac {m}{s}}4s}{4^{2}s^{2}}}\\&=&{\frac {128m}{16s^{2}}}\\&=&8{\frac {m}{s^{2}}}\end{matrix}}

步骤 3：为了计算它的最终速度，我们可以使用公式 5.1 - 记住我们现在也知道了物体的加速度。

{\begin{matrix}v&=&u+at\\&=&0{\frac {m}{s}}+(8{\frac {m}{s^{2}}})(4s)\\&=&32{\frac {m}{s}}\end{matrix}}

步骤 4：物体经过多少时间才能移动总距离的一半。一半的距离是 32m。这里我们有数量 s、u 和 a，所以我们首先使用公式 5.4 来计算这个距离的速度

{\begin{matrix}v^{2}&=&u^{2}+2as\\&=&(0m)^{2}+2(8m/s^{2})(32m)\\&=&512m^{2}/s^{2}\\v&=&22.6m/s\end{matrix}}

现在我们可以使用方程式 5.2 计算时间

{\begin{matrix}t&=&{\frac {2s}{u+v}}\\&=&{\frac {(2)(32m)}{0m/s+22.6m/s}}\\&=&2.8s\end{matrix}}

步骤 5：物体在半时间内所经过的距离。半时间为 2s。因此，我们有 u、a 和 t - 它们都具有正确的单位。我们可以使用方程式 5.3 来得到距离

{\begin{matrix}s&=&ut+{\frac {1}{2}}at^{2}\\&=&(0m/s)(2s)+{\frac {1}{2}}(8{\frac {m}{s^{2}}})(2s)^{2}\\&=&16m\end{matrix}}

实例 30

问题：一个球以 10 m/s 的速度从一栋高楼的阳台垂直向上抛出。阳台距离地面 15 米，重力加速度为 10 m/s²。求 a) 球击中地面所需的时间，b) 球击中地面的速度。

解答：1

步骤 1：在这种情况下，如果我们画出下面的图片，它通常有助于使问题更容易理解

首先，球向上运动，重力加速度使它的速度减慢，直到它到达最高点——在这里它的速度为 0 m/s——然后它开始下降，重力加速度使它在下降过程中速度加快。我们可以将运动分成两个阶段

阶段 1 - 球的向上运动

阶段 2 - 球的向下运动。

我们将向上方向选择为正——这意味着重力加速度为负——我们将从求解阶段 1 的所有变量开始。到目前为止，我们有这些量

{\begin{matrix}u_{1}&=&10m/s\\v_{1}&=&0m/s\\a_{1}&=&-10m/s^{2}\\t_{1}&=&?\\s_{1}&=&?\end{matrix}}

使用方程式 5.1 求 t₁

{\begin{matrix}v_{1}&=&u_{1}+a_{1}t_{1}\\t_{1}&=&{\frac {v_{1}-u_{1}}{a_{1}}}\\&=&{\frac {0m/s-10m/s}{-10m/s^{2}}}\\&=&1s\end{matrix}}

我们可以使用方程式 5.4 求 s₁

{\begin{matrix}v_{1}^{2}&=&u_{1}^{2}+2a_{1}s_{1}\\s_{1}&=&{\frac {v_{1}^{2}-u_{1}^{2}}{2a}}\\&=&{\frac {(0m/s)^{2}-(10m/s)^{2}}{2(-10m/s^{2})}}\\&=&5m\end{matrix}}

对于阶段 2，我们有以下数据

{\begin{matrix}u_{2}&=&0m/s\\v_{2}&=&?\\a_{2}&=&-10m/s^{2}\\t_{2}&=&?\\s_{2}&=&-15m-5m=20m\end{matrix}}

我们可以用公式 5.4 求得最终速度v₂

{\begin{matrix}v_{2}^{2}&=&u_{2}^{2}+2a_{2}s_{2}\\&=&(0m/s)^{2}+2(-10m/s^{2})(-20m)\\&=&400(m/s)^{2}\\v_{2}&=&20m/s{\mbox{ downwards}}\end{matrix}}

现在我们可以用公式 5.1 求得阶段 2 的时间 t₂

{\begin{matrix}v_{2}&=&u_{2}+a_{2}t_{2}\\t_{2}&=&{\frac {v_{2}-u_{2}}{a_{2}}}\\&=&{\frac {-20m/s-0m/s}{-10m/s^{2}}}\\&=&2s\end{matrix}}

最后，

a) 石头落到地面所需时间为

$t=t_{1}+t_{2}=1{\mbox{ s}}+2{\mbox{ s}}=3{\mbox{ s}}$

b) 石头撞击地面的速度为

$v_{2}=-20\ {\mbox{m}}/{\mbox{s}}$

答案：2

应用
${\vec {s}}(t)={\vec {S}}_{i}+{\vec {U}}_{i}\ (t-T_{i})+{\frac {\vec {A}}{2}}(t-T_{i})^{2}$
$0=15{\hat {j}}+10{\hat {j}}(T_{total}-0)+{\frac {-10{\hat {j}}}{2}}(T_{total}-0)^{2}$
$T_{total}^{2}-2\ T_{total}-3=0$
解得
$T_{total}=3,-1$
所以到达时间为3秒，现在应用
${\vec {v}}(t)={\vec {U}}_{i}+{\vec {A}}(t-T_{i})$
${\vec {v}}(3)=10{\hat {j}}+(-10{\hat {j}})(3-0)$
${\vec {v}}(3)=-20{\hat {j}}$