直线运动
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图表

在物理学中，我们经常使用图表作为重要的工具来描绘某些概念。下面是一些帮助我们描绘位移、速度和加速度概念的图表。

位移-时间图表

下面是显示骑车人从 A 到 C 的位移的图表

该图表显示了骑车人在 10 秒内从 A 移动到 C 的情况。我们知道图表的梯度（斜率）定义为 y 变化量除以 x 变化量，即 ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 。在这个图表中，图表的梯度只是 ${\frac {\Delta {\overrightarrow {s}}}{\Delta t}}$ - 这只是速度的表达式。

重要

速度-时间图表与“时间”轴之间的面积表示物体的位移。

从 A 到 C 的斜率始终保持一致，因此骑车人从 A 到 C 的整个位移过程中速度保持恒定。图 5.1 显示了您将遇到的位移-时间图表的示例。

a) 显示了一个物体在一段时间内静止的图表。梯度为零，因此物体速度为零。

b) 显示了一个物体以恒定速度运动的图表。您可以看到，随着时间的推移，位移不断增加。然而，梯度保持恒定（记住：它是直线的斜率），因此速度是恒定的。这里梯度为正，因此物体沿我们定义为正的方向运动。

c) 显示了一个物体以恒定加速度运动的图表。您可以看到，位移和速度（图表的梯度）都随着时间而增加。梯度随着时间而增加，因此速度随着时间而增加，物体正在加速。

速度-时间图表

匀加速运动和梯度（斜率）

请看下面的速度-时间图表

这是骑车人以恒定加速度从 A 到 B 行驶的速度-时间图表，即速度稳步增加。该图表的梯度（斜率）只是 ${\frac {\Delta {\overrightarrow {v}}}{\Delta t}}$ - 这只是加速度的表达式。因为斜率在该图表的每个点都相同，所以骑车人的加速度是恒定的。恒定加速度为 $2/m/s^{2}$ ，或每秒每秒 2 米（或每秒平方 2 米）

{\begin{matrix}\mathrm {slope\ of\ line} &=&\Delta v/\Delta t\\&=&{\frac {10m/s}{5s}}\\&=&2{\frac {m}{s^{2}}}\\\end{matrix}}

重要

速度-时间图表上的梯度（斜率）等于加速度。

行进距离

我们不仅可以从物体的速度-时间图表获得加速度，还可以获得关于物体位移的一些信息。请看下面的图表

该图表显示了一个物体以 10 m/s 的恒定速度运动了 5 s 的时间。上述图中图表与时间轴之间的面积（阴影区域）将为我们提供这段时间内物体的位移。在这种情况下，我们只需要计算一个宽度为 5s、高度为 10 m/s 的矩形的面积。

{\begin{matrix}\mathrm {area\ of\ rectangle} &=&\mathrm {height} \times \mathrm {width} \\&=&{\overrightarrow {v}}\times t\\&=&10{\frac {m}{s}}\times 5s\\&=&50m\\&=&{\overrightarrow {s}}=\mathrm {displacement} \\\end{matrix}}

因此，我们已经证明，以 10 m/s 的速度运动 5 秒的物体，位移为 50 米。

重要
速度-时间图表与“时间”轴之间的面积表示物体的位移。

这里再举几个速度-时间图的例子，帮助你理解。

图 5.2：一些常见的速度-时间图

图 5.2 展示了你可能会遇到的位移-时间图的例子。

a) 显示了物体在一段时间内以恒定速度运动的图。斜率为零，因此物体没有加速度。

b) 显示了正在减速的物体的图。你可以看到速度随着时间而减小。然而，斜率保持不变（记住：它是直线的斜率），所以加速度是恒定的。这里斜率为负，所以物体沿与其运动方向相反的方向加速，因此它正在减速。

加速度-时间图

在本章关于直线运动的讨论中，我们只讨论以恒定加速度运动的物体，因此所有加速度-时间图将类似于这两个例子。

以下是下面图表的描述。

a) 显示了静止或以恒定速度运动的物体的图。无论哪种情况，加速度都随时间为零。

b) 显示了以恒定加速度运动的物体的图。在这种情况下，加速度为正 - 请记住，它也可以为负。

我们可以从加速度-时间图中得到粒子在某一时间的速度 - 它正好由图与时间轴之间的面积给出。在下图中，显示了以恒定正加速度运动的物体，物体在 2 秒后的速度增加对应于阴影部分。

{\begin{matrix}\mathrm {area\ of\ rectangle} &=&{\overrightarrow {a}}\times t\\&=&5{\frac {m}{s^{2}}}\times 2s\\&=&10{\frac {m}{s}}\\&=&{\overrightarrow {v}}\\\end{matrix}}

在处理问题时，记住下面的图集非常有用。图 5.3 显示了位移、速度和时间之间的关系。给定左边的位移-时间图，我们可以通过记住位移-时间图的斜率给出速度来绘制相应的速度-时间图。类似地，我们可以从速度-时间图的斜率绘制加速度-时间图。

图 5.3：位移、速度和加速度之间的关系

例题

例题 24：位移-、速度-和加速度-时间图之间的关系

问题：给定下面的位移-时间图，绘制相应的速度-时间图和加速度-时间图，然后描述物体的运动。

解答

步骤 1：分析问题，确定已知条件。问题明确给出了一个位移-时间图。

步骤 2：要求什么？

3 件事

绘制速度-时间图
绘制加速度-时间图
描述物体的行为

在最初的 2 秒内，我们可以看到位移保持不变 - 因此物体没有运动，因此在这段时间内它的速度为零。我们也可以通过另一种途径得出这个结论：记住位移-时间图的斜率就是速度。在最初的 2 秒内，我们可以看到位移-时间图是一条水平线，即斜率为零。因此，这段时间内的速度为零，物体处于静止状态。

在接下来的 2 秒内，位移随着时间而增加，因此物体正在运动。观察位移图的斜率，我们可以看到它不是恒定的。事实上，随着时间的推移，斜率变得越来越陡（斜率正在增加）。因此，记住位移-时间图的斜率是速度，速度在这段时间内必须随着时间而增加。

在最后的 2 秒内，我们看到位移仍然随着时间而增加，但这次斜率是恒定的，所以我们知道物体现在以恒定速度运动，因此速度-时间图在这个阶段将是一条水平线。

所以我们的速度-时间图看起来像下面这个。因为我们没有得到位移-时间图垂直轴上的任何值，所以我们无法确定确切的斜率，因此也无法确定速度的值。在这种类型的问题中，重要的是要显示速度是正的还是负的、是增加的、减少的还是恒定的。

一旦我们有了速度-时间图，就很容易得到加速度-时间图，因为我们知道速度-时间图的斜率就是加速度。

在最初的 2 秒内，速度-时间图是水平的，为零，因此斜率为零，在这段时间内没有加速度。（这是有道理的，因为我们从位移-时间图知道物体在这段时间内处于静止状态，因此它不可能在加速）。

在接下来的 2 秒内，速度-时间图具有正斜率。这个斜率在这 2 秒内没有变化（即它是恒定的），因此必须存在一个恒定的正加速度。

物体在最后 2 秒以恒定速度运动。在此期间，速度-时间图的斜率再次为零，因此物体没有加速度。

加速度-时间图如下所示

物体的运动简要描述如下：在 t = 0s 时，物体静止在某个位置，并保持静止直到 t = 2s，然后开始加速。它在正方向加速 2 秒，直到 t = 4s，然后以恒定速度再行驶 2 秒。

例题 25 从速度-时间图计算距离

问题：下方是汽车的速度-时间图。计算汽车在 15 秒后的位移。

解答：我们被要求计算汽车的位移。我们只需要记住，速度-时间图与时间轴之间的面积就是位移。

对于 t = 0s 到 t = 5s，这是左侧的三角形

{\begin{matrix}Area\triangle &=&{\frac {1}{2}}b\times h\\&=&{\frac {1}{2}}5s\times 4m/s\\&=&10m\end{matrix}}

对于 t = 5s 到 t = 12s，位移等于矩形的面积

{\begin{matrix}Area\Box &=&w\times h\\&=&7s\times 4m/s\\&=&28m\end{matrix}}

对于 t = 12s 到 t = 14s，位移等于右侧时间轴上方三角形的面积

{\begin{matrix}Area\triangle &=&{\frac {1}{2}}b\times h\\&=&{\frac {1}{2}}2s\times 4m/s\\&=&4m\end{matrix}}

对于 t = 14s 到 t = 15s，位移等于时间轴下方三角形的面积

{\begin{matrix}Area\triangle &=&{\frac {1}{2}}b\times h\\&=&{\frac {1}{2}}1s\times 2m/s\\&=&1m\end{matrix}}

现在汽车的总位移只是所有这些面积的总和。但是，因为在最后 1 秒（从 t = 14s 到 t = 15s）汽车的速度为负，这意味着汽车正在往相反的方向行驶，也就是说，它回到了原处！所以，为了得到总位移，我们必须加上前 3 个面积（那些具有正位移的面积），然后减去最后一个面积（因为它代表了相反方向的位移）。

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}&=&10+28+4-1\\&=&41m\ in\ the\ positive\ direction\end{matrix}}

例题 26 从位移-时间图求速度

问题：已知下方位移-时间图，

物体在前 4 秒内的速度是多少？
物体从 t = 4s 到 t = 7s 的速度是多少？

解答

在前 4 秒内，速度是曲线的斜率，即 2/4=0.5 m/s

在最后 3 秒，我们可以看到位移保持不变，并且斜率为零。因此， ${\overrightarrow {v}}=0m/s$ .

例题 27 从加速度-时间图到速度-时间图

问题：已知下方加速度-时间图，假设物体从静止开始，画出它的速度-时间图。

解答