波和波动
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定义 - 波的类型 - 波的性质 - 实际应用：声波 - 实际应用：电磁波 - 方程和量

什么是波？

波是每个人都持续体验的现象；水波、声波、光波、主队得分时的人浪……不胜枚举。当被问及什么使波成为波时，最常见的答案可能是波是某种运动的东西，或者传播的东西，或者也许是某种重复的东西。这些性质确实抓住了波的基本特性。现在我们必须定量地确定这些性质，并发现是什么支配了它们的特性。

通常，波被定义为任何可以用以下形式的函数建模的现象 $f({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t)$ 其中 $r$ 向量表示空间中的位置， $t$ 表示时间， $k$ 向量和 omega 都是常数。不要被参数中的向量吓倒——我们最初的时间大部分都花在一维波上。例如，如果波仅在一个空间维度 'x' 上，例如在绷紧的弦上传播的波，它可以简单地写成 $f(kx-wt)$ 。

任何这种形式的函数都会随着时间的推移沿 ${\bar {k}}$ 方向传播。随着时间的推移，函数的参数增加；随着时间的推移，函数的形式有效地穿过空间。尝试想出这种形式的函数，并在时间 $t=0$ 绘制它们，然后在稍后的时间再次绘制它们。这种渐进性质将变得很明显。尝试找出函数推进的速度！（我们将在以后研究这个）时间项前面的负号会导致波沿定义为正的方向传播（如果这看起来令人困惑，请尝试绘制更多函数随时间的推移，并检查结果）。如果你用正号替换负号（或者考虑 omega 的负值），波将沿负方向传播。

一个非常特殊且重要的波案例是数学函数 $f({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t)=\sin({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t)$ ，或者在一维中， $f(kx-\omega t)=\sin(kx-\omega t)$ 。这是一个正弦波——它在两个方向上无限地上下振荡，并且随着时间的推移而移动。我提到波具有重复的特性，即周期性。然而，上面提到的许多函数形式似乎并没有重复。但是，当你学习傅里叶变换时，你会发现所有波都可以分解为这些简单、无限重复波的总和。

除了任何其他概念之外，物理学家发现波在所有可想象的尺度上表征着宇宙的结构。当你学习波在日常生活中的物理学时，保持开放的心态，在你转过身的地方寻找波和波的行为。

让我们考虑一个非常著名的波现象例子：水波。水波由移动的波峰和波谷组成。波峰是水面上高于静止水位的地方，波谷是水面上低于静止水位的地方。

因此，波具有波峰和波谷。这可能是我们对波的第一个属性。下图显示了波上的波峰和波谷。

在物理学中，我们力求尽可能定量。如果我们仔细观察，会发现波峰高于静止水位的距离与波谷低于静止水位的距离相同。

波是以周期性的方式重复物理量，并在过程中传递能量。例如，水波可以被认为是重复任何物理量，如“波峰”、“波谷”、“势能”或“动能”。甚至，我们可以将水波视为扰动（能量）的运动。波的能量方面对于理解不同类型的波至关重要，其中许多波是不可见的。

仔细观察水波，我们可以认识到波峰和波谷除了代表水面相对于静止水位的上升和下降外，基本上还代表了极端的势能和动能。在波峰处，能量只有势能，而在波谷处，能量只有动能。类似地，电磁波的传播与磁场和电场在空间中以一定的周期性重复相关联。由于电场或磁场的存在不需要任何介质，因此电磁波即使在没有介质的情况下也能传播。

波的特征：振幅

我们使用约定俗成的符号来标记波的特征量。波峰的特征高度和波谷的特征深度称为波的振幅。波谷底部到波峰顶部的垂直距离是振幅的两倍。简而言之，振幅是指波从介质到波峰或波谷的距离。

例题 1

问题：（自备笔记：使这个问题更有趣）波从介质到波峰的高度为 2 米。求波峰到波谷的距离。

答案

振幅为 2 米。（阅读上一段了解原因）。波峰到波谷的距离为 4 米。

波的特征：波长

再仔细观察一下波峰和波谷。两个相邻（彼此相邻）波峰之间的距离是相同的，无论你选择哪两个相邻波峰。因此，波峰之间的距离是固定的。

同样地，你会注意到两个相邻波谷之间的距离是相同的，无论你观察哪两个波谷。但更重要的是，它与波峰之间的距离相同。这个距离是波的特征，称为波长。

波具有特征波长。波长的符号是希腊字母 lambda， $\lambda$ .

波长是两个相位相同的相邻点之间的距离。两个相位相同的点之间的距离为一个完整的波周期（0、1、2、3、…）的整数倍。它们不必是波峰或波谷，但必须相隔一个完整的波周期。

波的特征：周期

现在想象一下，你坐在池塘边，看着波浪从你身边经过。先是波峰，然后是波谷，然后又是波峰。如果你测量两个相邻波峰之间的时间，你会发现它们是相同的。现在，如果你测量两个相邻波谷之间的时间，你会发现它们总是相同的，无论你选择哪两个相邻波谷。你一直在测量的时间是通过一个波长的持续时间。我们将这个时间称为周期，它是波的特征。

波的周期用符号 $T$ 表示。

波的特征：频率

还有另一种表征波的时间间隔的方法。我们计时了一个波长通过的时间。我们也可以反过来，说一秒钟内有多少个波通过。

我们可以很容易地确定这个数字，我们称之为频率，并用 f 表示。为了确定频率，即一秒钟内通过的波数，我们通过将一秒钟除以通过时间 T 来计算一秒钟内通过的波的几分之几。如果一个波需要 1/2 秒通过，那么在一秒钟内必须有两个波通过。 ${\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$ 。频率的单位是Hz或s⁻¹。

波具有特征频率。

f={\frac {1}{T}}


f	: 频率（Hz或s⁻¹）
T	: 周期（s）

通常，波的频率是每单位时间通过的波峰数。

波的特征：速度

现在，如果你正在观察一个波浪经过，你会注意到它们以恒定的速度运动。回顾一下直线运动，你会记得我们知道如何计算物体运动的速度。速度是物体在一定时间内所走过的距离除以所用的时间。这很好，因为我们知道波在时间 T 内移动了距离 $\lambda$ 。这意味着我们可以确定速度。

v={\frac {\lambda }{T}}


v	: 速度（m.s⁻¹）
$\lambda$	: 波长（m）
T	: 周期（s）

波的各种特征量之间存在着许多关系。一个简单的例子是，如何利用频率和波长来确定波速。我们可以利用上述方程式，将频率和周期之间的关系代入，得到速度的方程式：

v=f\lambda


v	: 速度（m.s⁻¹）
$\lambda$	: 波长（m）
f	: 频率（Hz或s⁻¹）

这个公式正确吗？一个简单的检查方法是检查单位！等式右边是速度，单位为ms⁻¹。等式左边是频率，单位为s⁻¹，乘以波长，单位为m。等式左边的单位为ms⁻¹，正好是我们想要的。

弦上传播的波速

沿振动弦传播的波速 (v) 与弦的张力 (T) 除以线密度 (μ) 的平方根成正比。

v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}\,

μ 等于弦的质量除以弦的长度。

$\mu ={\frac {M}{L}}$