机械能和能量守恒

动能和势能统称为机械能。物体的总机械能（U）是其动能和势能的总和。

{\begin{matrix}U&=&E_{P}&+&E_{K}\\U&=&mgh&+&{\frac {1}{2}}mv^{2}\end{matrix}}

(7.1)

现在，

在没有摩擦的情况下

机械能守恒

${\begin{matrix}U_{initial}&=&U_{final}\\{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}+mgh_{i}&=&{\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}+mgh_{f}\end{matrix}}$

机械能守恒原理是解决物理问题的一个非常强大的工具。然而，在有摩擦的情况下，部分机械能会损失。

在有摩擦的情况下

机械能不守恒

（损失的机械能等于克服摩擦力所做的功）

$\Delta U=U_{before}-U_{after}=\mathrm {Work\ Done\ Against\ Friction}$

使用机械能守恒的实例 45

问题：一个 2kg 的金属球悬挂在绳子上。如果它从点 A 释放并摆动到点 B（其弧线的底部），它在点 B 处的速度是多少？

答案

步骤 1：分析问题以确定提供了哪些信息

这些都以正确的单位表示，因此我们不必担心单位转换。

步骤 2：分析问题以确定要问什么

步骤 3：确定 A 和 B 处的机械能

为了解决这个问题，我们使用机械能守恒定律，因为没有摩擦。由于机械能守恒，

{\begin{matrix}U_{A}=U_{B}\end{matrix}}

因此，我们需要知道球在点 A（U_A）和点 B（U_B）处的机械能。点 A 处的机械能为

{\begin{matrix}U_{A}=mgh_{A}+{\frac {1}{2}}m(v_{A})^{2}\end{matrix}}

我们已经知道 m、g 和 v_A，但 h_A 是多少？注意，如果我们令 h_B = 0，则 h_A = 0.5m，因为 A 比 B 高 0.5m。在问题中，您始终可以自由选择对应于 h = 0 的线。在本例中，最明显的选择是使点 B 对应于 h = 0。

现在我们有，

{\begin{matrix}U_{A}&=&(2kg)\left(10{\frac {m}{s^{2}}}\right)(0.5m)+{\frac {1}{2}}(2kg)(0)^{2}\\&=&10\ J\end{matrix}}

如前所述，U_B = U_A。因此，U_B = 10J，但根据机械能的定义

{\begin{matrix}U_{B}&=&mgh_{B}+{\frac {1}{2}}m(v_{B})^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}m(v_{B})^{2}\end{matrix}}

因为 h_B = 0。这意味着

{\begin{matrix}10J&=&{\frac {1}{2}}(2kg)(v_{B})^{2}\\(v_{B})^{2}&=&10{\frac {J}{kg}}\\v_{B}&=&{\sqrt {10}}{\frac {m}{s}}\end{matrix}}