数学著名定理/π 是超越数/基本对称多项式

设有一个 n 次多项式，$n\geq 1$

$P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\in \mathbb {C} [z]$

根据代数基本定理，它有 $n$ 个复根（包含重根）。然后我们可以写成

$P(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})$

众所周知，韦达定理 联系了多项式的系数和根

${\begin{cases}z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+\cdots +z_{1}z_{n})+(z_{2}z_{3}+z_{2}z_{4}+\cdots +z_{2}z_{n})+\cdots +z_{n-1}z_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\(z_{1}z_{2}z_{3}+\cdots +z_{1}z_{2}z_{n})+(z_{1}z_{3}z_{4}+\cdots +z_{1}z_{3}z_{n})+\cdots +(z_{2}z_{3}z_{4}+\cdots +z_{2}z_{n-1}z_{n})+\cdots +z_{n-2}z_{n-1}z_{n}=-{\dfrac {a_{n-3}}{a_{n}}}\\\vdots \\z_{1}\cdots z_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}$

我们可以看到，这些和是对称多项式，被称为基本对称多项式。

定义

变量$X_{1},\ldots ,X_{n}$上的基本对称多项式定义如下

${\begin{aligned}E_{1}({\vec {X}}{}^{n})&=\sum _{1\leq i\leq n}X_{i}\\[5pt]E_{2}({\vec {X}}{}^{n})&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\!\!\!\!X_{i_{1}}X_{i_{2}}\\&\,\,\,\vdots \\[5pt]E_{k}({\vec {X}}{}^{n})&=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}\!\!\!\!\!\!X_{i_{1}}\!\cdots X_{i_{k}}\\&\,\,\,\vdots \\[5pt]E_{n}({\vec {X}}{}^{n})&=X_{1}\!\cdots X_{n}\end{aligned}}$

←对称多项式

基本对称多项式

对称多项式的基本定理→