数学/代数/线性变换中的著名定理

特征空间引理

线性变换A的所有对应于特征值λ的特征向量在L中构成一个子空间L^(λ)。

希洛夫（1969）的证明

事实上，如果Ax₁ = λx₁，并且Ax₂ = λx₂，那么

A(αx₁ + βx₂) = αAx₁ + βAx₂ = αλx₁ + βλx₂ = λ (αx₁ + βx₂)

由此，引理中的结论得证。

特征向量线性无关的引理

线性变换A的特征向量x₁, x₂, ... , x_n，其相应的特征值λ₁, λ₂, ... , λ_n两两不同，是线性无关的。

希洛夫（1969）的证明

该结论通过对数字n进行归纳法证明。显然，对于n = 1，该引理成立。假设该引理对于线性变换A的所有n – 1个特征值成立；现在需要证明它对于线性变换A的所有n个特征向量成立。假设线性变换A的n个特征向量的线性组合为0

α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_nx_n = 0。

对该恒等式应用变换A，得到

α₁λ₁x₁ + α₂λ₂x₂ + ... + α_nλ_nx_n = 0。

将第一个方程乘以λ_n，然后从第二个方程中减去，得到

α₁(λ₁ – λ_n)x₁ + α₂(λ₂ – λ_n)x₂ + ... + α_{n – 1}(λ_{n – 1} – λ_n)x_{n – 1} = 0,

根据归纳法，所有系数必须为零。不同的特征值具有非零的差值，因此对于i < n，每个α_i = 0；第一个方程简化为

α_nx_n = 0

这意味着α_n也为0。因此，所有系数α_i均为0。因此，向量x₁, x₂, ..., x_n是线性无关的。